文平，賈達(dá)明

(常州工學(xué)院數(shù)理與化工學(xué)院,江蘇常州213002)

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Sharpe比率與RR比率的一致性研究

文平，賈達(dá)明

(常州工學(xué)院數(shù)理與化工學(xué)院,江蘇常州213002)

摘要：研究發(fā)現(xiàn)在位置-尺度分布族中，只要RR比率中的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度與報(bào)酬測(cè)度滿(mǎn)足正齊次性與平移不變性,根據(jù)RR比率進(jìn)行的投資業(yè)績(jī)排名與用Sharpe比率的排名是一致的。由于文中的RR比率中的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度與報(bào)酬測(cè)度均滿(mǎn)足正齊次性與平移不變性，故在位置-尺度分布族中使用Sharpe比率作為業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)指標(biāo)是一種不錯(cuò)的選擇。

關(guān)鍵詞：Sharpe比率；RR比率；位置-尺度分布族；測(cè)度

0引言

Sharpe比率[1]是最著名的基金業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)指標(biāo)。傳統(tǒng)的觀點(diǎn)認(rèn)為，只有當(dāng)基金收益分布為正態(tài)分布或效用函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，Sharpe比率才是有效的。然而，收益的正態(tài)分布假設(shè)和二次效用函數(shù)假設(shè)均存在理論上的缺陷，以及缺乏實(shí)證支持。所幸的是上述2條要求都不是使用Sharpe比率評(píng)價(jià)投資所必須的。Meyer[2]證明了當(dāng)投資收益屬于位置-尺度分布族時(shí)，即任意2份投資收益的分布只存在位置參數(shù)與尺度參數(shù)的差異時(shí)，期望效用暗含了Sharpe比率對(duì)投資的排序，文獻(xiàn)[3]證明了在位置-尺度分布族中當(dāng)源的支撐可達(dá)到負(fù)無(wú)窮時(shí)，均值-方差準(zhǔn)則與期望效用理論是完全一致的。Levy[4-5]指出描述投資收益的很多分布屬于位置-尺度分布族。這些都預(yù)示著投資收益的非對(duì)稱(chēng)和肥尾都不是拒絕使用Sharpe比率的理由。

繼Sharpe比率被提出后，在最近20年里，基金先后出現(xiàn)了一系列業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)指標(biāo)，其中一類(lèi)包含許多評(píng)價(jià)指標(biāo)的測(cè)度是RR比率[6]。與Sharpe比率不同的是RR比率計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整的投資的正報(bào)酬。那么，是否存在條件使得Sharpe比率與RR比率一致？為回答這個(gè)問(wèn)題，有必要搞清楚位置-尺度分布族及其性質(zhì)、RR比率及其所包含的主要評(píng)價(jià)指標(biāo)等問(wèn)題，這些將分別在下文加以闡述，并給出了主要研究結(jié)果。

1位置-尺度分布族

位置-尺度分布族可以用很多方法定義，通常的定義如下描述。

在經(jīng)濟(jì)、管理中，為了便于應(yīng)用，位置-尺度分布族通常被定義為由1個(gè)隨機(jī)變量經(jīng)過(guò)仿射變換Y=μ+σX生成的分布族。這樣任何1個(gè)隨機(jī)變量都可生成1個(gè)位置-尺度分布族。為討論方便，不妨設(shè)X是均值為0、方差為1的隨機(jī)變量，并稱(chēng)X為位置-尺度分布族的源。否則，

此時(shí)，Y可視為由X1生成的分布族,而X1是均值為0、方差為1的隨機(jī)變量。由此可以得到位置-尺度分布族的等價(jià)定義。

顯然，若X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則以X為源的位置-尺度分布族就是正態(tài)分布族。若X服從均值為0，方差為1的均勻分布，則以X為源的位置-尺度分布族就是由所有均勻分布組成的分布族。位置-尺度分布族還包括拉柯西分布族、拉普拉斯分布族、穩(wěn)定分布族等。從定義可以看出，任何1個(gè)均值為0，方差為1隨機(jī)變量X都可以生成1個(gè)位置-尺度分布族，位置-尺度分布族中的任何1個(gè)隨機(jī)變量都是其源的1個(gè)仿射變換。

文獻(xiàn)[3]證明了在位置-尺度分布族中當(dāng)源的支撐可達(dá)到負(fù)無(wú)窮時(shí)，均值-方差準(zhǔn)則與期望效用理論是完全一致的，有如下定理。

定理說(shuō)明：位置-尺度分布族滿(mǎn)足某種條件時(shí)，均值-方差準(zhǔn)則與期望效用理論是完全一致的。而Sharpe比率是均值與標(biāo)準(zhǔn)差之比，這隱含著只要業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)指標(biāo)與期望效用理論是一致的，那么它與Sharpe比率也是一致的。

2RR比率

RR比率是一類(lèi)重要的業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)指標(biāo)，它被定義為資產(chǎn)收益的報(bào)酬測(cè)度與資產(chǎn)收益的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的比值，即

式中：r為投資收益；rb代表參照投資的收益，通?？稍O(shè)為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資收益率；ν(r-rb)為報(bào)酬測(cè)度；ρ(r-rb)為風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度。當(dāng)采用不同的報(bào)酬測(cè)度及不同的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度時(shí)，RR比率便成為包含一些比較著名比率的業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)指標(biāo)，包括Sharpe比率、Sortino比率、Sortino-Satchell比率、Farinelli-Tibiletti比率[7-8]、Rachev比率[9]、MAD比率等。

2.1Sharpe比率

資產(chǎn)收益的Sharpe比率是超額收益的數(shù)學(xué)期望與它的標(biāo)準(zhǔn)差的比值，即

式中：r為投資收益；E(r-rf)為r-rf的數(shù)學(xué)期望；σ(r-rf)為r-rf的標(biāo)準(zhǔn)差；rf為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資收益率。廣義來(lái)講Sharpe比率也是一種RR比率。

2.2Sortino比率

資產(chǎn)收益的Sortino比率被定義為

2.3Sortino-Satchell比率

Sortino-Satchell比率是Sortino比率的推廣，通常被定義為

2.4Farinelli-Tibiletti比率

Farinelli-Tibiletti比率的提出是基于2個(gè)偏矩的單邊波動(dòng)率，與Sortino-Satchell比率不同的是，投資的報(bào)酬測(cè)度不是用數(shù)學(xué)期望來(lái)測(cè)度，而是用上偏矩來(lái)測(cè)度，定義為

式中：p≥1；q≥1；rb代表參照投資的收益率。因而，當(dāng)投資收益高于參照投資的收益，它被視為報(bào)酬；當(dāng)投資收益低于參照投資的收益，它被視為風(fēng)險(xiǎn)。

2.5Rachev比率

Rachev比率被定義為

2.6MAD比率

資產(chǎn)收益的MAD比率被定義為

式中：E(r-rf)為r-rf的數(shù)學(xué)期望；rf為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資收益率。

上述6種比率都是RR比率的報(bào)酬測(cè)度與風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度取不同形式得到的。在過(guò)去的幾十年里，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度和報(bào)酬測(cè)度的研究不斷深入，主要表現(xiàn)在以下兩方面：一是對(duì)它們所滿(mǎn)足公理的研究；二是對(duì)測(cè)度方法的研究。

就公理而言，Artzner等[10]在對(duì)風(fēng)險(xiǎn)及其本質(zhì)研究的基礎(chǔ)上指出風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度ρ(X)必須滿(mǎn)足的4條公理。

公理1平移不變性(translationinvariance)：對(duì)于任意隨機(jī)變量X以及任意實(shí)數(shù)α，有ρ(X+α)=ρ(X)-α。

公理2正齊次性(positivehomogeneity)：對(duì)于任意隨機(jī)變量X以及任意正實(shí)數(shù)λ，有ρ(λX)=λρ(X)。

公理3次可加性(subadditivity)：對(duì)于任意隨機(jī)變量X,Y，有ρ(X+Y)≤ρ(X)+ρ(Y)。

公理4單調(diào)性(monotonicity)：對(duì)于任意隨機(jī)變量X,Y，如果有X≤Y，則有ρ(X)≥ρ(Y)。

Giorgi[11]在對(duì)報(bào)酬測(cè)度的研究基礎(chǔ)上，提出報(bào)酬測(cè)度必須滿(mǎn)足下列條件。

公理5平移不變性：對(duì)于任意隨機(jī)變量X以及任意實(shí)數(shù)α，有ν(X+α)=ν(X)+α 。

公理6正齊次性：對(duì)于任意隨機(jī)變量X以及任意正實(shí)數(shù)λ，有ν((λX)=λν(X)。

公理7次可加性：對(duì)于任意隨機(jī)變量X,Y，有ν(X+Y)≥ν(X)+ν(Y)。

公理8單調(diào)性：對(duì)于任意隨機(jī)變量X,Y，如果有X≤Y，則有ν(X)≤ν(Y)。

經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，上述業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)指標(biāo)滿(mǎn)足以下性質(zhì)。

定理2上述6種業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)指標(biāo)中的報(bào)酬測(cè)度與風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度均滿(mǎn)足正齊次性和平移不變性。

由于定理2要證明6種業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)指標(biāo)中的報(bào)酬測(cè)度與風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度均滿(mǎn)足正齊次性和平移不變性，所以比較繁瑣，這里略去證明過(guò)程。

3Sharpe比率與RR比率的一致性

設(shè)Yi(i=1,2,…，n)為第i種投資的超額收益(即收益與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益的差)，則Yi的Sharpe比率為

若Yi屬于以X為源的位置-尺度分布族，即Yi=σiX+μi，則第i種投資的Sharpe比率為

一般可設(shè)S(Yi)≥0，否則對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的投資者，他將不投資于這種投資。若ρ(Yi)為Yi的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度，ν(Yi)為Yi的報(bào)酬測(cè)度，且兩者滿(mǎn)足正齊次性，則有以下結(jié)論。

定理3條件設(shè)Y1,Y2同屬以X為源的位置-尺度分布族，S(Y1)=S(Y2)，若Yi的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度、報(bào)酬測(cè)度滿(mǎn)足正齊次性，則RR(Y1)=RR(Y2)。

定理4設(shè)Y1,Y2同屬以X為源的位置-尺度分布族，S(Y1)>S(Y2)，若Y1,Y2的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度、報(bào)酬測(cè)度滿(mǎn)足正齊次性和平移不變性，則RR(Y1)>RR(Y2)。

定理4表明在位置-尺度分布族中根據(jù)RR比率進(jìn)行的投資業(yè)績(jī)排名與用Sharpe比率的排名是一樣的，前提是只要比率中的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度與報(bào)酬測(cè)度滿(mǎn)足正齊次性與平移不變性。根據(jù)定理2，Sortino比率、Sortino-Satchell比率、Farinelli-Tibiletti比率、Rachev比率與MAD比率均滿(mǎn)足正齊次性與平移不變性，故在位置-尺度分布族中根據(jù)這些比率進(jìn)行的業(yè)績(jī)排名與用Sharpe比率的排名是一致的。

定理5設(shè)Y1,Y2同屬以X為源的位置-尺度分布族，Y1=σ1X+μ1，Y2=σ2X+μ2,(-a,b)為源X的支撐，且a=+∞。若Y1?SSDY2，則有S(Y1)>S(Y2)。

定理5說(shuō)明在位置-尺度分布族中，當(dāng)源的支撐可抵達(dá)負(fù)無(wú)窮時(shí)，Sharpe比率與二級(jí)隨機(jī)占優(yōu)時(shí)是一致的，從而與RR比率也是一致的。

位置-尺度分布族是一大類(lèi)分布族，它包括貝塔分布、極值分布、伽馬分布、Logistic分布、正態(tài)分布、t分布、均勻分布、威伯分布、拉普拉斯分布等，被廣泛應(yīng)用于描述投資收益。在位置-尺度分布族中，只要RR比率中的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度與報(bào)酬測(cè)度滿(mǎn)足正齊次性與平移不變性,根據(jù)RR比率進(jìn)行的投資業(yè)績(jī)排名與用Sharpe比率進(jìn)行的排名是一致的。而根據(jù)定理2，上述6種比率均滿(mǎn)足正齊次性與平移不變性，加之位置-尺度分布族被廣泛用于描述投資收益，故在位置-尺度分布族中使用Sharpe比率作為基金業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)指標(biāo)是一種比較好的選擇。

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責(zé)任編輯：陳亮

Consistency of Sharpe Ratio with RR Ratio

WEN Ping，JIA Daming

(School of Sciences and Chemical Engineering,Changzhou Institute of Technology,Changzhou 213002)

Abstract：This paper demonstrates that in location-scale families,as long as the risk measure and reward measure in RR ratio measure satisfy positive homogeneity and translation invariance,the investment performance rankings by RR ratio are consistent with the rankings by Sharpe ratio.The results show the risk measure and the reward measure of RR ratio meet positive homogeneity and translation invariance,so Sharpe ratio as a performance evaluation index is regarded as a good choice in location-scale families.

Key words：Sharpe ratio;RR ratio;location-scate families;measurement

中圖分類(lèi)號(hào)：O211.9

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1671- 0436(2016)01- 0001- 05

作者簡(jiǎn)介：文平(1967—)，男，碩士，教授。

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(71261024)

收稿日期：2015- 08-24

doi:10.3969/j.issn.1671-0436.2016.01.001