龔輝
1. “借一還一”思想
有一個古老的故事在新疆流傳:從前,有個牧民辛苦放牧一生,全部財產(chǎn)只有17匹馬,臨終前,他把三個兒子叫到身邊留下遺囑:“孩子們,我把17匹馬留給你們,老大得二分之一,老二得三分之一,老三得九分之一,把馬分完,但是不許把馬宰了再分. ”事后,三兄弟在一起商量了很久,始終無法按照老人的意圖把馬分掉. 他們只好去請教愛動腦筋的老鄰居,老鄰居思索之后告訴他們:“我借一匹馬給你們,共有18匹,這樣就好分了. 老大得二分之一是9匹,老二得三分之一是6匹,老三得九分之一是2匹,你們總共分了17匹,剩下的1匹再還給我. ”
這就是巧妙的“借一還一”思想,既符合老人的遺囑,又讓三兄弟都滿意.
這種“借一還一”思想在數(shù)學(xué)上也有著廣泛的應(yīng)用.
例1 已知4個礦泉水空瓶可以換1瓶礦泉水,現(xiàn)有15個礦泉水空瓶,若不找錢,最多可以喝礦泉水_______瓶.
【分析】正常情況下,15個空瓶只能換3瓶礦泉水,喝掉后手里有6個空瓶,再可以換1瓶礦泉水,這樣總共只能喝到4瓶.
如果先向別人借一個空瓶,情況就不一樣了,16個瓶子可以換回4瓶礦泉水,喝完后4個空瓶又能換回1瓶礦泉水,待喝完后,再把空瓶還給別人,這樣最多可以喝5瓶礦泉水.
解:5瓶.
2. 這還用得著比嗎?
地球的半徑R約為6 370 km,而標(biāo)準(zhǔn)乒乓球的半徑r=2 cm. 假如用繩子繞地球赤道一周,同樣用線繞乒乓球最大的圓一周. 現(xiàn)在同時將這兩根繩子各加長1 m,比較繩子與地球表面的空隙和線與乒乓球表面的空隙,哪個大?
這還用得著比嗎?肯定是乒乓球的空隙要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于赤道表面的空隙,因?yàn)閷Φ厍蚨裕@增加的1 m太微不足道了!
事實(shí)并非如此!
這兩個空隙是一樣大的!
讓數(shù)學(xué)來見證奇跡吧!
由圓周長公式得:C地球=2πR,C乒乓球=2πr(其中R≈6 370 000 m,r=0.02 m),再將周長都加長1 m后,兩個周長分別為:C′地球=2πR+1,C′乒乓球=2πr+1,此時繩圈的半徑分別為:R′==R+,r′==r+. 那么繩子與兩球表面之間的空隙分別為:R′-R=,r′-r=. 顯然R′-R=r′-r,即兩者的空隙是相等的.
從這個例子,我們感受到了數(shù)學(xué)運(yùn)算的強(qiáng)大魅力,特別是字母表示數(shù),一方面簡化了運(yùn)算過程;另一方面,我們還發(fā)現(xiàn),R≈6 370 000 m和r=0.02 m根本沒有參與運(yùn)算,上面的規(guī)律可以推廣到更一般的兩個球體,同樣適用. 同時,也讓我們明白,如果只憑感覺進(jìn)行判斷,有些時候是不正確的. 用數(shù)據(jù)說話,這就是數(shù)學(xué)的無可爭辯性、數(shù)學(xué)的理性精神!
(作者單位:江蘇省太倉市教研室)