呂　鍇

(東華大學(xué) 理學(xué)院， 上海 201620)

?

半空間上MHD方程弱解的衰減下界

呂鍇

(東華大學(xué) 理學(xué)院， 上海 201620)

摘要：研究了磁流體力學(xué)(MHD)方程的弱解在半空間+上的衰減性質(zhì)，通過建立一族產(chǎn)生弱衰減的初值， 得到了MHD方程的衰減下界.

關(guān)鍵詞：磁流體力學(xué)(MHD)方程； 半空間； 衰減下界

磁流體力學(xué)(MHD)方程的一般形式為

(1)

對于方程(1)的Cauchy問題，文獻(xiàn)[1]構(gòu)造了一類類似于Navier-Stokes方程的Leray-Hopf弱解的整體弱解.在全空間n上方程(1)的Cauchy問題的衰減性質(zhì)的研究上，已有不少研究成果.文獻(xiàn)[2-3]在文獻(xiàn) [4]的基礎(chǔ)上研究了強(qiáng)解的衰減性質(zhì).而對于弱解的衰減性質(zhì)的研究，可以參見文獻(xiàn)[5-7].然而上述針對全空間n問題的結(jié)論，大多使用Fourier變換法，并不適用于半空間+∶={x=(x1，x2， …，xn)∈n；xn>0}問題.對于半空間上的MHD方程，文獻(xiàn)[8]研究了弱解的L2衰減.文獻(xiàn)[9]證明了當(dāng)半空間上的Navier-Stokes方程(N-S)的初值在滿足一定條件的情況下，可以得到N-S弱解的衰減下界的估計(jì).本文在文獻(xiàn)[9]研究成果的基礎(chǔ)上，得到了半空間+上的MHD方程的相關(guān)結(jié)論.

(2)

1主要結(jié)論

在介紹本文的主要結(jié)論之前，首先給出一些符號的定義.

簡便起見，將Ar簡寫為A.

下面給出方程(2)弱解的定義[10].

定義1.1若(u，B)滿足以下條件：

-(u(t)， φ(t))+(u(s)， φ(s))

-(B(t)， φ(t))+(B(s)， φ(s))，

(3)

(iii) 能量不等式

(4)

則稱(u，B)為方程(2)在上的弱解.

其中：m≥0， α， γ， δ>0.

假設(shè)考慮滿足以下條件的初值：

(A2)a′(x′，xn)=(a1(x′)η1(xn)， (a2(x′)η1(xn)， …，an-1(x′)η1(xn))∶=a″(x′)η1(xn)和b′(x′，xn)=(b1(x′)η2(xn)， (b2(x′)η2(xn)， …，bn-1(x′)η2(xn))∶=b″(x′)η2(xn)，其中ηi∈L2(且滿足對幾乎所有的，都有，這里的表示ηi相對于xn的奇延拓，即

定理1.1若n≥3，a，b∈Lr((滿足假設(shè)(A1)～(A3)，且r和m滿足(i)或(ii)：

則存在T>1及常數(shù)C>0，使得當(dāng)t≥T時(shí)，方程(2)的任意弱解(u，B)都有

(5)

定理1.1為本文主要結(jié)論.

2Stoke方程及熱方程解的衰減

(6)

其中：q需滿足1

(7)

其中：C=C(n， m， α， γ， δ)>0.

定理2.1[9]若n≥3，a滿足假設(shè)(A1)～(A3)，則當(dāng)t≥1時(shí)，有

(8)

其中：C=C(n， m， α， γ， δ)>0.

定理2.2若n≥3，b滿足假設(shè)(A1)～(A3)，則當(dāng)t≥1時(shí)，有

(9)

其中：C=C(n， m， α， γ， δ)>0.

證明：因?yàn)閎n≡0，所以有hn(t)≡0和h′(t)=eΔtb′.因此，由Plancherel定理和Fubini定理，有

(10)

對于I1，由引理2.1可知，存在C=C(n-1， m， α， γ， δ)>0，使得當(dāng)t≥1時(shí)，有

(11)

(12)

3MHD方程解的衰減

本節(jié)研究MHD方程解的衰減性質(zhì)并給出定理1.1的證明.為了估計(jì)非線性項(xiàng)，首先給出以下引理.

(13)

引理3.2設(shè)1≤r<2 ，a，b∈Lr(對于方程(2)的任意弱解(u， B)，當(dāng)t→∞時(shí)，有

(14)

證明：設(shè)λ=λ(t)為(0， ∞)上的光滑函數(shù)，則

(15)

同理可得

(16)

(17)

(18)

由引理3.1，有

‖Eλ(t)u(t)‖2≤‖e-t Aa‖2+

(19)

‖Eλ(t)u(t)‖2≤

(20)

y(t)-g(t， s)+z(s)≤y(s)

(21)

z′(τ)=-λ(τ)y(τ)≤

-λ(τ)[y(t)-g(t， τ )+z(τ)]

(22)

設(shè)Z(τ)≥0為方程Z′(τ)=λ(τ)Z(τ)的解，將式(22)乘上Z(τ)，并對τ作(s， t)上的積分

(23)

對式(23)作分部積分，因?yàn)閦(t)=0， g(t， t)=0，所以

(24)

取λ(τ)=m τ-1， m>0，則Z(τ)=τm.令s→0，得

(25)

(26)

(27)

下面將分情況進(jìn)行討論.

因此，有

引理3.3若1≤r<2， a， b∈Lr(假設(shè)v(t)=e-t Aa和h(t)=eΔ tb,則對于方程(2)的任意弱解(u，B)，當(dāng)t→∞時(shí)，有

‖u(t)-v(t)‖2+‖B(t)-h(t)‖2=

(28)

證明：設(shè)P(t)∶=u(t)-v(t)，Q(t)∶=B(t)-h(t)， (u，B)滿足能量不等式(4)，v和h滿足能量不等式

因此有

(29)

在式(3)中取試驗(yàn)函數(shù)φ(τ)=v(τ)和ψ(τ)=h(τ).此外，因?yàn)閐v/dt=-Av，dh/dt=Δh，所以可得

(u(t)， v(t))=

(30)

(B(t)， h(t))=

(31)

將式(30)和(31)代入式(29)，有

(32)

(33)

‖‖ ‖b‖‖u(τ)‖

(34)

(35)

同理，由命題2.1，有

(36)

(37)

設(shè)λ=λ(t)為(0， ∞)上的光滑函數(shù)，類似引理3.2中式(15)的證明，有

(38)

同理可知

(39)

e-(t -τ)AEλ(t)φ)|dτ≤

(40)

同理有

(41)

類似引理3.2中的證明，可得

(42)

取λ(t)=m t-1，其中m>0足夠大，有

(43)

此時(shí)注意到，若1≤r<2， (u， B)滿足

下面將分情況進(jìn)行討論.

綜上所述，引理3.3得證.

定理1.1的證明.

所以，存在T≥1，使得

再由三角不等式以及定理2.1和2.2，有

‖u(t)‖2+‖B(t)‖2≥

‖v(t)‖2-‖u(t)-v(t)‖2+

‖h(t)‖2-‖B(t)-h(t)‖2≥

綜上所述，定理1.1得證.

參考文獻(xiàn)

[1] DUVAUT G， LIONS J L.Inéquations en thermoélasticité et magnétohydrodynamique [J]. Arch Ration Mech Anal，1972，46(4)：241-279.

[2] ZHAO C， HE Y.GlobalLnstrong solutions to magneto-hydrodynamics equations in the Rnspace [J].Dyn Contin Discrete Impuls Syst Ser A Math Anal，2007，14(6)：805-835.

[3] LI Y， ZHAO C.Existence， uniqueness and decay properties of strong solutions to an evo-lutionary system of MHD type in R3[J].J Dyn Diff Eq，2006，18(2)：393-462.

[4] KATO T. StrongLpsolutions of the Navier-Stokes equations in Rmwith applications to weak solutions [J]. Math Z， 1984， 187(41)： 471-480.

[5] SERMANGE M， TEMAM R.Some mathematical questions related to the MHD equations [J].Comm Pure Appl Math，1983，36(5)：635-664.

[6] AGAPITO R， SCHONBEK M. Non-uniform decay of MHD equations with and without magnetic diffusion [J].Comm Part Diff Eq，2007，32(11)：1791-1812.

[7] GUO B， ZHANG L.Decay of solutions to magneto- hydrodynamics equations in two space dimensions [J].Pro R Soc Lond Ser A Math Phys Eng Sci，1995，449(1935)：79-91.

[8] 劉穎，李佳.半空間 MHD 方程組弱解的L2衰減 [J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2010，30A(4)： 1166-1175.

[10] SCHONBEK M E， SCHONBEK T P，SüLI E.Large-time behaviour of solutions to the magnetohydrodynamics equations [J]. Math Ann，1996，304(1)：717-756.

[12] BORCHERS W， MIYAKAWA T.L2decay for the Navier-Stokes flow in half-spaces [J]. Math Ann，1988， 282(1)：139-155.

《東華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)》征稿簡則

《東華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)》是由國家教育部主管、東華大學(xué)主辦的以紡織、服裝、纖維材料科學(xué)及相關(guān)學(xué)科為特色的學(xué)術(shù)性期刊(雙月刊).從2008年起本刊欄目設(shè)有纖維與材料工程、紡織與服裝工程、化學(xué)化工與生物工程、計(jì)算機(jī)與信息工程、機(jī)械與制造工程、環(huán)境科學(xué)與工程、經(jīng)濟(jì)與管理工程、基礎(chǔ)科學(xué)，主要刊登本校師生的科學(xué)研究成果，適量刊登校外作者的優(yōu)秀科技論文.本刊以高校師生、科研人員、工程技術(shù)人員及其他相關(guān)人員為讀者對象.為保證刊物質(zhì)量，根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)和本刊的編排規(guī)則，特制定本簡則.

1. 來稿要求

(1) 來稿要求論點(diǎn)明確、數(shù)據(jù)可靠、邏輯嚴(yán)密、文字精煉.來稿必須包括題名、作者姓名、單位及郵編、中英文摘要和關(guān)鍵詞(3～8個(gè))、中國圖書資料分類號、第一作者簡介(包括姓名，出生年，性別，籍貫，職稱，學(xué)位，目前主要從事的研究方向及E-mail地址)、正文、參考文獻(xiàn).在文稿的首頁地腳處注明論文屬何基金項(xiàng)目資助及項(xiàng)目編號.

(2) 論文摘要盡量寫成報(bào)道性摘要，其內(nèi)容獨(dú)立于正文而存在，摘要內(nèi)容應(yīng)包括研究的目的、方法、結(jié)果、結(jié)論等要素，其長度一般在200字左右.中英文摘要一律采用第三人稱表述，不要使用“本文”、“作者”等作為主語.

(3) 論文篇幅(含圖表)限7000字以內(nèi)，科研簡報(bào)限3000字.正文(含圖表)中的量和單位的使用必須符合國家法定計(jì)量單位最新標(biāo)準(zhǔn).文稿中外文字符的大小寫、正斜體、黑白體、上下角標(biāo)及易混淆的字母應(yīng)打印清楚.

(4) 正文中標(biāo)題：一級標(biāo)題1， 2， …；二級標(biāo)題1.1， 1.2， …；三級標(biāo)題1.1.1， 1.1.2， …；引言不排序.

(5) 文中的圖、表應(yīng)有自明性，且隨文出現(xiàn).圖、表應(yīng)有中、英文名.插圖須注意規(guī)范.如為坐標(biāo)圖，需用符號注明所表示的量(斜體)/單位(正體)；如為照片，須黑白分明、層次清晰.

(6) 參考文獻(xiàn)應(yīng)只列出作者查閱過的、最主要的且在正式刊物上發(fā)表過的文獻(xiàn).在正文中引用時(shí)用[1]， [2]， …順序標(biāo)注；在文末“參考文獻(xiàn)”中，相應(yīng)用[1]， [2]， …順序標(biāo)注，序號頂格寫.

文后參考文獻(xiàn)編排格式：

① 期刊：[序號]作者(姓前名后).題名[J].刊名(外文刊名可縮寫)，出版年，卷(期)：起止頁碼.

② 專著：[序號]作者(姓前名后).書名[M].版本(第1版不寫).出版地：出版者，出版年：起止頁碼.

③ 會(huì)議論文集：[序號]作者(姓前名后).題名[C]//編者.論文集名.出版地：出版者，出版年：起止頁碼.

④ 科技報(bào)告：[序號]作者(姓前名后).題名[R].報(bào)告題名，編號.出版地： 出版者，出版年：起止頁碼.

⑤ 學(xué)位論文：[序號]作者(姓前名后).題名[D].保存地點(diǎn)：保存單位，授予年份：頁碼.

⑥ 國際、國家標(biāo)準(zhǔn)：[序號] 主要責(zé)任者.標(biāo)準(zhǔn)編號，標(biāo)準(zhǔn)名稱[S].出版地：出版者，出版年.

⑦ 專利文獻(xiàn)：[序號] 專利申請者或所有者(姓前名后).專利題名：專利國別，專利號[P].出版日期.

⑧ 電子文獻(xiàn)：[序號] 作者(姓前名后).題名[電子文獻(xiàn)類型/標(biāo)識(shí)](類型：數(shù)據(jù)庫用DB，計(jì)算機(jī)程序用CP，電子公告用EB；標(biāo)識(shí)：磁帶用MT，磁盤用DK，光盤用CD，聯(lián)機(jī)網(wǎng)絡(luò)用OL).(發(fā)表或更新日期)[引用日期].電子文獻(xiàn)的出處或可獲得地址.建議在網(wǎng)址和相應(yīng)的文獻(xiàn)間建立起超鏈接.

文獻(xiàn)作者3名以內(nèi)全部列出，4名及以上只列前3名，后加“，等”或“，et al”.

2. 編輯部與作者的約定

(1) 本刊可接受網(wǎng)上在線投稿，在本刊的自動(dòng)化采編系統(tǒng)完成投稿，凡初審符合要求的稿件，校內(nèi)稿件每篇收取200元審稿費(fèi)(東華大學(xué)校內(nèi)經(jīng)費(fèi)卡轉(zhuǎn)賬)，校外稿件每篇收取300元審稿費(fèi)(將錢款郵匯到本刊編輯部).請勿一稿兩投或多投.稿件經(jīng)專家兩審和編委復(fù)審?fù)ㄟ^同意發(fā)表，方可錄用，對刊用稿件收取一定的發(fā)表費(fèi).凡不宜在本刊發(fā)表的稿件，編輯部將及時(shí)退還作者.如作者投稿4個(gè)月內(nèi)未收到本刊編輯部任何通知，可自行處理稿件.

(2) 為了適應(yīng)我國信息化建設(shè)，擴(kuò)大本刊及作者知識(shí)信息交流渠道，本刊已被國內(nèi)外文獻(xiàn)索引、文摘和全文數(shù)據(jù)庫收錄，作者著作權(quán)使用費(fèi)與本刊稿酬一次性給付.如作者不同意文章被收錄，請?jiān)趤砀鍟r(shí)向本刊說明，本刊將做適當(dāng)處理.

編輯部地址：上海市延安西路1882號東華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)編輯部(200051)；電話：021-62373643， 62373724，傳真：021-62373611；E-mail：dhutougao@126.com；網(wǎng)址： http：//dhdz.cbpt.cnki.net

Lower Bound of the Energy Decay of the Weak Solution of the MHD Equations in the Half-Space

LüKai

(College of Science， Donghua University， Shanghai 201620， China)

Abstract：An asymptotic behavior of weak solution of the magneto-hydrodynamic(MHD) equations in the half-space + is studied. By constructing a class of initial data which cause slow decay， lower bound of the energy decay of the MHD equations is obtained.

Key words：magneto-hydrodynamic(MHD) equations； half-space； lower bound of the energy decay

中圖分類號：O 175.14

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

作者簡介：呂鍇(1988—)，男，江西南昌人，碩士研究生，研究方向?yàn)榇帕黧w力學(xué)方程.E-mail：faustxxiv@gmail.com

收稿日期：2014-10-23

文章編號：1671-0444(2016)01-0160-07