劉冬梅

(東華大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 上海 201620)

?

二維空間中具間接信號(hào)產(chǎn)出趨化模型解的整體存在性

劉冬梅

(東華大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 上海 201620)

摘要：考慮一個(gè)山松甲殼蟲(chóng)的擴(kuò)散和聚集趨化模型，該模型由兩個(gè)反應(yīng)-擴(kuò)散方程和一個(gè)常微分方程構(gòu)成.證明了對(duì)任意的充分光滑的初始值該模型整體解的存在性，從而排除了解在有限時(shí)間爆破的可能性，討論了該模型在初始細(xì)胞質(zhì)量適當(dāng)小的假設(shè)下整體解的有界性.

關(guān)鍵詞：趨化性； 間接信號(hào)產(chǎn)出； 整體存在性； 有界性

趨化性是指由信號(hào)濃度的空間變化而引起的細(xì)胞的偏向運(yùn)動(dòng).著名的趨化數(shù)學(xué)模型(以下簡(jiǎn)稱KS模型)是由Keller-Segel提出[1].設(shè)細(xì)胞的密度為u=u(x，t)，而相應(yīng)的信號(hào)濃度為w=w(x，t)，則上述提及KS模型如下：

在KS模型的基礎(chǔ)上，本文研究的是在文獻(xiàn)[8]中提出的關(guān)于山松甲殼蟲(chóng)聚集模式的模型.近年來(lái)，由于氣候變暖，主要生活在加拿大的山松甲殼蟲(chóng)快速繁殖，并給森林造成了巨大的危害.它們把卵產(chǎn)在松樹(shù)上，直到第二年夏天時(shí)，幼蟲(chóng)變?yōu)槌上x(chóng)離開(kāi)樹(shù)洞，然后繼續(xù)攻擊下一批松樹(shù)，再準(zhǔn)備產(chǎn)卵.需要強(qiáng)調(diào)的是：做窩的甲殼蟲(chóng)通過(guò)釋放一種化學(xué)物質(zhì)來(lái)吸引飛行的甲殼蟲(chóng)[8].而本文關(guān)心的是這種甲殼蟲(chóng)的擴(kuò)散和聚集行為.

設(shè)飛行的甲殼蟲(chóng)的密度為u=u(x，t)，做窩的甲殼蟲(chóng)的密度為v=v(x，t)，相應(yīng)的信號(hào)濃度為w=w(x，t)，則關(guān)于甲殼蟲(chóng)的模型[8]如下：

(1)

其中：Ω?Rn是一個(gè)光滑有界區(qū)域；參數(shù)δ>0.模型(1)中，第一個(gè)方程描述飛行的甲殼蟲(chóng)密度隨時(shí)間的變化情況，等式右邊第一項(xiàng)表示飛行的甲殼蟲(chóng)的隨機(jī)擴(kuò)散，第二項(xiàng)表示飛行的甲殼蟲(chóng)趨向于化學(xué)物質(zhì)濃度增加的方向移動(dòng)；第二個(gè)方程描述做窩的甲殼蟲(chóng)密度隨時(shí)間變化情況，δ表示相應(yīng)的死亡率；第三個(gè)方程表明化學(xué)信號(hào)由做窩的甲殼蟲(chóng)產(chǎn)出，并隨時(shí)間衰減.

模型(1)給出了一個(gè)間接信號(hào)產(chǎn)出過(guò)程，即這種化學(xué)物質(zhì)并不是由飛行的甲殼蟲(chóng)直接產(chǎn)出，而是由飛行甲殼蟲(chóng)轉(zhuǎn)變而來(lái)的做窩的甲殼蟲(chóng)產(chǎn)出的.從數(shù)學(xué)的角度來(lái)說(shuō)，模型(1)和KS模型的一個(gè)本質(zhì)區(qū)別在于：由直接信號(hào)產(chǎn)出的KS模型，在二維空間中，當(dāng)初始細(xì)胞的質(zhì)量大于某個(gè)特定值時(shí)，模型的解會(huì)在有限時(shí)間爆破；而間接信號(hào)產(chǎn)出的模型(1)是不可能在有限時(shí)間爆破的.更精確地說(shuō)：

而當(dāng)t→+∞時(shí)，解是否會(huì)爆破這一問(wèn)題，目前尚不清楚，有待進(jìn)一步深入研究.

如前面所述，KS模型存在臨界質(zhì)量現(xiàn)象.另外一個(gè)有趣的問(wèn)題是模型(1)是否也存在類似的臨界質(zhì)量現(xiàn)象？本文將探討這一問(wèn)題.

為了陳述結(jié)論，首先回顧Gagliardo-Nirenberg不等式：設(shè)Ω?R2是一個(gè)光滑有界區(qū)域，則對(duì)任意的u(x)∈W1， 2(Ω)，存在CG N=CG N(Ω)>0，使得

成立.

下面陳述有關(guān)模型(1)的一個(gè)小初值整體解有界的結(jié)果.

定理2假設(shè)n=2且設(shè)

‖u(·， t)‖L∞(Ω)≤C

成立.

1解的整體存在性：定理1的證明

利用合適的不動(dòng)點(diǎn)方法可以證明關(guān)于模型(1)的解的局部存在唯一性結(jié)論.

進(jìn)一步，如果Tmax<∞，則當(dāng)t→Tmax時(shí)，有

‖u(·，t)‖L∞(Ω)→∞.

證明：該證明過(guò)程類似于文獻(xiàn)[9]，故在此不重復(fù)其細(xì)節(jié).

由引理1.1知，要證明模型(1)的解在Ω×(0， ∞)上存在，需要建立u(·，t)在L∞(Ω)空間中的估計(jì)，即要證明：對(duì)任何T∈(0，Tmax)，存在某個(gè)常數(shù)C(T)，使得

‖u(·， t)‖L∞(Ω)≤C(T)，?t∈(0， T)

(2)

成立.

以下的質(zhì)量估計(jì)是建立估計(jì)式(2)的起點(diǎn).

引理1.2模型(1)的古典解(u，v，w)具有如下性質(zhì)：

‖u(·， t)‖L1(Ω)=‖u0‖L1(Ω)，t∈(0， Tmax)，

(3)

‖v(·， t)‖L1(Ω)≤

(4)

‖v0‖L1(Ω)+‖w0‖L1(Ω)，t∈(0， Tmax).

(5)

證明：模型(1)中第一個(gè)方程在Ω上求積分，并利用分部積分和模型(1)中零流邊界條件得

由此推得

(6)

即式(3)成立.

模型(1)的第二個(gè)方程的兩邊在Ω上求積分得

據(jù)此并利用式(6)得

(7)

即式(4)成立.

類似地，有

解之并根據(jù)式(7)得

從而式(5)得證.

證明：模型(1)中第一個(gè)方程兩邊同時(shí)乘以lnu后再在Ω上積分，并利用分部積分、零流邊界條件及Young不等式得

(8)

其中：ε>0為任意常數(shù).

接下來(lái)，模型(1)中第二個(gè)方程兩邊同時(shí)乘以2v后在Ω上積分，并利用Young不等式得

(9)

再由模型(1)中第三個(gè)方程兩邊同時(shí)乘以(-Δw)后在Ω上積分得

由此并利用Young不等式得

從而

(10)

綜合式(8)～(10)得

(11)

利用Gagliardo-Nirenberg不等式進(jìn)一步估計(jì)式(11)中右邊第二個(gè)積分

(12)

舍棄不等式左邊后3個(gè)非負(fù)項(xiàng)得

(13)

則式(13)變?yōu)?/p>

y′(t)≤c1y(t)+c2，

即

從而引理1.3得證.

為了建立u的Lp估計(jì)，需先引入下列關(guān)于熱方程的正則性引理[9].

引理1.4假設(shè)n=2并設(shè)z0∈W1， ∞(Ω)， f∈L2(Ω)，z滿足方程

則對(duì)任意的1

‖z‖W1， q(Ω)≤C(q)‖f‖L2(Ω)，t>0.

(14)

證明：根據(jù)模型(1)中第三個(gè)方程知，式(14)是引理1.3和1.4的直接推論.

(15)

成立.

證明：根據(jù)模型(1)中的第一個(gè)方程直接計(jì)算，并利用Cauchy不等式得

(16)

進(jìn)一步，由式(14)得：存在某個(gè)常數(shù)c1(p，T)，使得

(17)

再利用Gagliardo-Nirenberg不等式及式(3)估計(jì)式(17)中右邊的積分

因此

從而由Young不等式得

(18)

綜合式(16)～(18)得

因此

引理1.6得證.

定理1的證明：根據(jù)模型(1)中的第一個(gè)方程，利用估計(jì)式(14)和(15)及標(biāo)準(zhǔn)的Moser迭代[10]可以得到

‖u(·， t)‖L∞(Ω)≤C(T)，t∈(0， T).

(19)

據(jù)此并利用引理1.1及其中的延拓準(zhǔn)則知：

Tmax=+∞，

從而定理1得證.

2解的有界性：定理2的證明

由解的整體存在性的證明過(guò)程可以看出，要證明模型(1)的解在Ω×(0， ∞)上有界，關(guān)鍵要建立u的Lp(Ω)(關(guān)于t的)一致先驗(yàn)估計(jì).下面的基本引理在后面將會(huì)用到.

引理2.1存在常數(shù)C>0，使得

(20)

成立.

證明：利用洛必達(dá)法則得

因此，存在某個(gè)常數(shù)A>1，使得s>A時(shí)成立

從而由Young不等式得

(21)

又因?yàn)?/p>

所以，存在c1>0， 滿足

(22)

綜合式(21)和(22)得

下面建立v的L2一致先驗(yàn)估計(jì).

引理2.2令n=2. 假設(shè)

(23)

(24)

則存在某個(gè)常數(shù)C>0，使得模型(1)的解滿足

(25)

證明：由式(8)得

(26)

再由式(9)得

(27)

最后由式(10)得

(28)

綜合式(26)～(28)得

由假設(shè)式(23)知：2δ-3≥0，因此

t>0，

滿足

t>0.

再根據(jù)引理2.1知

(29)

由式(12)得

(30)

將式(30)代入式(29)得

t>0，

z′(t)+z(t)≤c2.

解之得

z(t)≤z(0)e-t+c2(1-e-t)≤

z(0)+c2∶=c3，t>0.

因此

引理2.2證畢.

根據(jù)引理2.2和1.4可以直接得到下面的推論.

(31)

成立.

接下來(lái)，建立u的Lp(Ω)一致先驗(yàn)估計(jì).

(32)

成立.

證明：由式(16)得

(33)

進(jìn)一步，利用Young不等式及式(31)得：存在某個(gè)常數(shù)c1(p)滿足

(34)

由式(18)得

(35)

綜合式(33)～(35)得

(36)

根據(jù)Young不等式得：存在常數(shù)c5(p)>0，使得

成立，由此并利用式(35)得

(37)

其中：η>0為任意常數(shù).將式(37)代入式(36)的右邊得

解之得

因此引理2.4得證.

定理2的證明：根據(jù)模型(1)中的第一個(gè)方程，利用估計(jì)式(31)和(32)及標(biāo)準(zhǔn)的Moser迭代[10]可以得到：存在常數(shù)C>0，滿足

‖u(·， t)‖L∞(Ω)≤C，t>0.

由此定理2得證.

參考文獻(xiàn)

[1] KELLER E F， SEGEL L A. Initation of slime mold aggregation viewed as an instability[J]. J Theor Biol， 1970， 26(3)： 399-415.

[2] HORSTMANN D. From 1970 until present： The Keller-Segel model in chemotaxis and its consequences[J]. Jahresber Der Deutsch Math-Verein， 2003， 105(3)： 103-165.

[3] HILLEN T， PAINTER K. A users’ guide to PDE models for chemotaxis[J]. J Math Biol， 2009， 58(1/2)： 183-217.

[4] OSAKI K， YAGI A. Finite dimensional attractors for one-dimensional Keller-Segel equations[J]. Funkcial Ekvac， 2001， 44(3)： 441-469.

[5] NAGAI T， SENBA T， YOSHIDA K. Application of the Trudinger-Moser inequality to aparabolic system of chemotaxis[J]. Funkcial Ekvac Ser Int， 1997， 40(3)： 411-433.

[6] NAGAI T. Blow up of nonradial solutions to parabolic-elliptic systems modeling chemotaxis in two-dimensional domains[J]. J Inequal Appl， 2001， 6(1)： 37-55.

[7] WINKLER M. Finite-time blow-up in the higher-dimensional parabolic-parabolic Keller-Segel system[J]. J Math Pures Appl， 2013， 100(5)： 748-767.

[8] STROHM S， TYSON R C， POWELL J A. Pattern formation in a model for Mountain Pine Beetle dispersal： Linking model predictions to data[J]. Bull Math Biol， 2013， 75(10)： 1778-1797.

[9] HORSTMANN D， WINKLER M. Boundedness vs. blow-up in a chemotaxis system[J]. J Differential Equations， 2005， 215(1)： 52-107.

[10] TAO Y S， WINKLER M. Boundedness in a quasilinear parabolic-parabolic Keller-Segel system with subcritical sensitivity[J]. J Differential Equations， 2012， 252(1)： 692-715.

Global Existence in the Two-Dimensional Chemotaxis Model with Indirect Signal Production

LIUDong-mei

(College of Information Science and Technology， Donghua University， Shanghai 201620， China)

Abstract：A chemotaxis model describing the diffusion and aggregation of the Mountain Pine Beetle is considered. The model consists of two reaction-diffusion equations and an ordinary differential equation. It is shown that the model admits global solution for arbitrarily sufficiently smooth initial data， which excludes the possibility of finite-time blow-up. The boundedness of solutions is asserted whenever the initial cell mass is appropriately small.

Key words：chemotaxis； indirect signal production； global existence； boundedness

中圖分類號(hào)：O 175.26

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

作者簡(jiǎn)介：劉冬梅(1987—)，女，安徽宿州人，博士研究生，研究方向?yàn)槠⒎址匠碳皯?yīng)用.E-mail： liudongmei121@sina.cn

收稿日期：2014-12-01

文章編號(hào)：1671-0444(2016)01-0137-08