楊旭峰，　凡鳳仙

(上海理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200093)

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聲波夾帶法測(cè)量可吸入顆粒物粒徑的誤差和范圍

楊旭峰，凡鳳仙

(上海理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200093)

摘要：基于同時(shí)考慮Stokes力和非穩(wěn)定力的水平駐波聲場(chǎng)中的顆粒動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)數(shù)值模擬計(jì)算研究聲波夾帶法測(cè)量粒徑的誤差和范圍.結(jié)果表明：對(duì)于特定粒徑的顆粒，存在一個(gè)使測(cè)量誤差為0的最佳測(cè)試聲場(chǎng)頻率，低于該頻率，粒徑測(cè)量值偏大，高于該頻率，粒徑測(cè)量值偏?。浑S著顆粒密度的增加，測(cè)量誤差迅速減小，最終測(cè)量誤差接近0；隨著聲波頻率的增加，測(cè)量范圍的上限和下限均下降，粒徑測(cè)量范圍減小；隨著聲強(qiáng)的增加，測(cè)量范圍上限增大，下限則保持不變，粒徑測(cè)量范圍增大.

關(guān)鍵詞：粒徑測(cè)量； 聲波夾帶法； 可吸入顆粒物； 測(cè)量誤差； 測(cè)量范圍

目前，顆粒物污染已成為我國(guó)突出的大氣環(huán)境問(wèn)題，這些顆粒物主要來(lái)源于火力發(fā)電、交通運(yùn)輸和工業(yè)部門(mén)的排放.其中，粒徑在10 μm以下的可吸入顆粒物(PM10)易于吸附空氣中的有害物質(zhì)，并能夠進(jìn)入人體呼吸系統(tǒng)，給國(guó)民健康帶來(lái)嚴(yán)重威脅[1-3].除塵器的工作效率和顆粒物的危害性均與顆粒粒徑密切相關(guān).因此，對(duì)顆粒進(jìn)行精確的粒徑測(cè)量對(duì)于顆粒物污染防治有著重要意義.此外，微米級(jí)顆粒同樣存在于其他領(lǐng)域，如制藥、水泥、化工等的造粒過(guò)程中，為確保產(chǎn)品質(zhì)量，也需要對(duì)顆粒粒徑進(jìn)行精確測(cè)量.

常規(guī)的單顆粒粒徑測(cè)量方法，如顯微鏡成像法、沉降法和光散射法等，均難以快速、精確地獲得微米顆粒的尺寸[4-5].與這些方法相比，聲波夾帶法能獲取細(xì)微顆粒的粒徑，且測(cè)量時(shí)無(wú)需標(biāo)定，測(cè)量過(guò)程迅速，是一種具有研究?jī)r(jià)值的單顆粒粒徑測(cè)量方法[6]，其在可吸入顆粒物污染防治和微米尺度顆粒造粒領(lǐng)域具有應(yīng)用潛力.該方法借助高速顯微攝像系統(tǒng)獲得聲波作用下顆粒的運(yùn)動(dòng)圖像，并基于顆粒在聲場(chǎng)中的夾帶運(yùn)動(dòng)方程推演出顆粒粒徑.

夾帶運(yùn)動(dòng)是顆粒在聲場(chǎng)中最基本的運(yùn)動(dòng)特性.2006年，姚剛等[7]對(duì)顆粒粒徑表達(dá)式進(jìn)行了理論推導(dǎo)，提出利用聲場(chǎng)中可吸入顆粒物的夾帶寬度和沉降距離測(cè)量單個(gè)可吸入顆粒物粒徑的方法，并進(jìn)行了駐波聲場(chǎng)中的粒徑測(cè)量實(shí)驗(yàn).這種方法的理論推導(dǎo)過(guò)程中只考慮了Stokes力和重力作用，而忽略了顆粒在非均勻流場(chǎng)中受到的Basset力、壓力梯度力、虛擬質(zhì)量力等非穩(wěn)定力的作用.隨著對(duì)聲場(chǎng)中顆粒動(dòng)力學(xué)特性研究的逐步深入，非穩(wěn)定力對(duì)顆粒夾帶運(yùn)動(dòng)的影響逐漸受到關(guān)注.2012年，Cleckler等[8]給出了聲場(chǎng)中顆粒受Stokes力和非穩(wěn)定力作用下的無(wú)量綱運(yùn)動(dòng)方程，研究發(fā)現(xiàn)能否忽略非穩(wěn)定力取決于顆粒與氣體的密度比ε以及無(wú)量綱弛豫時(shí)間ωτ(ω為聲波角頻率，τ為顆粒弛豫時(shí)間)的大小.由于非穩(wěn)定力的影響，用現(xiàn)有的聲波夾帶法來(lái)測(cè)量可吸入顆粒物粒徑存在一定的誤差.此外，特定顆粒的夾帶寬度取決于聲強(qiáng)和頻率.對(duì)于給定的聲場(chǎng)，當(dāng)顆粒自身大小與夾帶寬度相比不能忽略時(shí)，將造成較大的夾帶寬度測(cè)量誤差，從而影響粒徑測(cè)量的準(zhǔn)確性；當(dāng)夾帶寬度接近于聲場(chǎng)中氣體介質(zhì)的振動(dòng)寬度時(shí)，夾帶寬度對(duì)粒徑的變化很不敏感，也不利于顆粒粒徑的精確測(cè)量.因此，給定的聲場(chǎng)將對(duì)應(yīng)于一定的粒徑測(cè)量范圍.

鑒于此，筆者建立同時(shí)考慮Stokes力和非穩(wěn)定力的駐波聲場(chǎng)中顆粒動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)數(shù)值模擬方法研究聲波夾帶法測(cè)定顆粒粒徑的誤差和測(cè)量范圍，為聲波夾帶法測(cè)量單顆粒粒徑的優(yōu)化提供理論基礎(chǔ)和指導(dǎo)方法.

1數(shù)學(xué)模型

1.1駐波聲場(chǎng)波動(dòng)方程

由Navier-Stokes方程可推導(dǎo)出駐波聲場(chǎng)的波動(dòng)方程[9]為：

ug,x(x,t)=uasin(kx)cos(ωt)

(1)

式中：ug,x為聲波引起的氣體介質(zhì)振動(dòng)速度；x為位置坐標(biāo)；t為時(shí)間；ua為速度振幅；k為波數(shù)，k=ω/c，ω=2πf，c為聲速，f為聲波頻率.

通常采用聲壓級(jí)來(lái)描述聲強(qiáng)，其表達(dá)式為：

(2)

式中：L為聲壓級(jí)；pr為參考聲壓，pr=2×10-5Pa；ps為聲壓有效值.

(3)

式中：ρg為氣體密度.

1.2顆粒動(dòng)力學(xué)模型

處于聲場(chǎng)中的顆粒在水平方向(x方向)上將受到Stokes力、Basset力、壓力梯度力和虛擬質(zhì)量力的作用，其運(yùn)動(dòng)方程可表示為：

(4)

式中：mp為顆粒質(zhì)量；up,x為顆粒速度的水平分量；Fst為Stokes力；Fb為Basset力；Fp為壓力梯度力；Fvm為虛擬質(zhì)量力.

Stokes力的表達(dá)式[10]為：

(5)

式中：μg為氣體動(dòng)力黏度；dp為顆粒粒徑；Cc為Cunningham修正系數(shù).

Cc=1+Kn[1.257+0.4×exp(-1.1/Kn)]

(6)

式中：Kn=2λg/dp,為克努森數(shù)，其中λg為氣體分子平均自由程.

Basset力、壓力梯度力、虛擬質(zhì)量力的表達(dá)式[11-13]分別為：

(7)

(8)

(9)

式中：t′為積分變量.

1.3聲波夾帶法測(cè)量顆粒粒徑的依據(jù)

姚剛等[7]基于聲波夾帶法測(cè)量顆粒粒徑時(shí)認(rèn)為，位于水平駐波聲場(chǎng)中的顆粒水平方向上僅在Stokes力作用下隨聲波在平衡位置往復(fù)振動(dòng)，即發(fā)生夾帶運(yùn)動(dòng)；在豎直方向上受到Stokes力和重力的共同作用，二力平衡后，顆粒將以恒定的速度沉降.

在水平方向上，顆粒夾帶寬度Xp和空氣質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)寬度X0的比值[7]可表示為：

(10)

式中：η為夾帶系數(shù)；ρp為顆粒密度.

在豎直方向上，極短時(shí)間(t=3τ)內(nèi)顆粒運(yùn)動(dòng)速度即可達(dá)到終端沉降速度，此后顆粒做勻速運(yùn)動(dòng).弛豫時(shí)間τ和沉降距離Yp的表達(dá)式[14]分別為：

(11)

(12)

式中：g為重力加速度.

聯(lián)立式(10)和式(12)消去Cc，可得到顆粒粒徑的表達(dá)式：

(13)

由式(13)可知，在顆粒密度、聲波頻率、空氣動(dòng)力黏度、空氣質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)寬度已知的情況下，如果能測(cè)得時(shí)間t內(nèi)顆粒夾帶寬度和沉降距離，就能確定顆粒粒徑.

1.4計(jì)算方法

采用變步長(zhǎng)四階Runge-Kutta算法對(duì)顆粒運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行求解.其中，Basset力通過(guò)將氣體速度和顆粒速度基于經(jīng)歷的時(shí)間步進(jìn)行離散而計(jì)算得到，即

(14)

式中：n為顆粒運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間步數(shù)；Δug,xi和Δup,xi分別為第i個(gè)時(shí)間步內(nèi)氣體速度和顆粒速度增量；i為時(shí)間步數(shù)，i=1，2，…，n；t0為第1個(gè)時(shí)間步的起始時(shí)間；ti為第i個(gè)時(shí)間步的終止時(shí)間.

顆粒的運(yùn)動(dòng)軌跡可由各時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)顆粒的位移疊加獲得.根據(jù)二階隱式Adams插值算法，顆粒在聲波傳播方向的位移為

(15)

式中：xp為位移；Δt為時(shí)間步長(zhǎng).

2不同密度比下的夾帶系數(shù)

為說(shuō)明非穩(wěn)定力對(duì)顆粒夾帶運(yùn)動(dòng)的影響，圖1給出了不同密度比(ε=ρp/ρg)情況下，考慮非穩(wěn)定力以及僅考慮Stokes力時(shí)夾帶系數(shù)的對(duì)比關(guān)系.由圖1可知，ωτ≤1時(shí)，4種計(jì)算情況下的曲線(xiàn)幾乎完全重合，這表明此時(shí)非穩(wěn)定力對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響可以忽略；當(dāng)ωτ>1時(shí)，隨著ωτ的增加，有、無(wú)非穩(wěn)定力情況下夾帶系數(shù)計(jì)算結(jié)果的差別趨于明顯，并且不同密度比下顆粒的夾帶系數(shù)也有差別，如ωτ=5時(shí)，僅考慮Stokes力時(shí)的夾帶系數(shù)相對(duì)于考慮了非穩(wěn)定力且ε=2 000和ε=500時(shí)的夾帶系數(shù)的偏差分別為8.62%和10.65%.由圖1還可以看出，對(duì)于特定的顆粒，隨著聲波頻率的增加，夾帶系數(shù)先是接近于1，接著急劇減小，最后夾帶系數(shù)的變化又趨于平緩.在聲波夾帶法測(cè)量顆粒粒徑過(guò)程中，通過(guò)高速顯微攝像系統(tǒng)獲得顆粒的夾帶寬度，當(dāng)測(cè)量粒徑所依據(jù)的夾帶系數(shù)接近于1或者0時(shí)，微小的夾帶寬度變化將帶來(lái)較大的粒徑變化，給粒徑測(cè)量帶來(lái)較大誤差.為減小這種測(cè)量誤差，選取0.1≤η≤0.9為宜.由于夾帶系數(shù)主要由聲波頻率決定，因而一定頻率的聲場(chǎng)對(duì)應(yīng)于一定的測(cè)量范圍.另外，在頻率給定的情況下，顆粒的夾帶寬度隨聲強(qiáng)的增加而增大，如果采用的聲強(qiáng)過(guò)小，會(huì)引起顆粒夾帶寬度過(guò)小，此時(shí)顆粒粒徑對(duì)顆粒夾帶寬度的干擾較強(qiáng)，對(duì)測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確性帶來(lái)不利影響；如果聲強(qiáng)過(guò)大，聲源的成本和能耗將增加.為兼顧測(cè)量的準(zhǔn)確性和測(cè)量裝置的成本，夾帶寬度Xp滿(mǎn)足10dp≤Xp≤100dp為宜.可見(jiàn)，聲波夾帶法測(cè)量顆粒粒徑時(shí)，不同強(qiáng)度的聲場(chǎng)也對(duì)應(yīng)于不同的粒徑測(cè)量范圍.

圖1　夾帶系數(shù)隨無(wú)量綱弛豫時(shí)間的變化

3粒徑測(cè)量誤差和測(cè)量范圍分析

在氣體靜壓p=101 325 Pa、溫度T=300 K、顆粒初始位置橫坐標(biāo)x0=3λ/4的條件下，對(duì)聲波夾帶法測(cè)量可吸入顆粒物粒徑的誤差和范圍進(jìn)行數(shù)值分析.

3.1忽略非穩(wěn)定力引起的測(cè)量誤差分析

3.1.1聲波頻率對(duì)測(cè)量誤差的影響

圖2給出了ε=2 000時(shí)，顆粒粒徑dp為1 μm、2 μm、3 μm和4 μm情況下，聲波夾帶法測(cè)量顆粒粒徑的相對(duì)誤差隨聲波頻率的變化關(guān)系.圖中，以測(cè)量顆粒粒徑的相對(duì)誤差Δdp來(lái)表征測(cè)量誤差，Δdp=(dp1-dp)/dp，其中，dp1為粒徑的測(cè)量值.由圖2可知，當(dāng)dp=1 μm時(shí)，在聲波頻率為300～20 000 Hz時(shí)，測(cè)量值始終偏大，測(cè)量誤差隨聲波頻率的增大而減??；對(duì)于dp為2 μm、3 μm和4 μm的顆粒，隨著聲波頻率的增大，測(cè)量值先偏大、后偏小，在聲波頻率分別為4 598 Hz、2 145 Hz和1 210 Hz時(shí)，測(cè)量值與真實(shí)值相同.這表明對(duì)于特定粒徑的顆粒，存在一個(gè)使測(cè)量誤差為0的最佳測(cè)試聲波頻率，低于該頻率，粒徑測(cè)量值偏大；高于該頻率，粒徑測(cè)量值偏?。辉浇咏擃l率，測(cè)量越精確.

圖2　測(cè)量誤差隨聲波頻率的變化

3.1.2密度比對(duì)測(cè)量誤差的影響

圖3給出了聲波頻率f=2 000 Hz，顆粒粒徑dp為1 μm、2 μm、3 μm和4 μm條件下，聲波夾帶法測(cè)量顆粒粒徑的測(cè)量誤差隨密度比的變化關(guān)系.由圖3可知，隨著密度比的增加，測(cè)量誤差先迅速減小，而后減小速度趨緩，直至測(cè)量誤差幾乎保持不變.當(dāng)dp為1 μm和2 μm時(shí)，粒徑測(cè)量值偏大；當(dāng)dp為3 μm和4 μm時(shí)，測(cè)量誤差在ε=2 000時(shí)即接近于0.從圖3還可以看出，對(duì)于相同密度比的顆粒，采用同樣的測(cè)試聲場(chǎng)時(shí)，顆粒粒徑越大，對(duì)應(yīng)的測(cè)量誤差越小.

圖3　測(cè)量誤差隨密度比的變化

3.2粒徑測(cè)量范圍分析

為減小測(cè)量誤差，同時(shí)兼顧測(cè)量裝置成本，在忽略非穩(wěn)定力引起的相對(duì)誤差Δdp≤5%，且0.1≤η≤0.9、10dp≤Xp≤100dp條件下，研究聲波頻率和聲強(qiáng)對(duì)粒徑測(cè)量范圍的影響.

3.2.1聲波頻率對(duì)粒徑測(cè)量范圍的影響

圖4給出了ε=2 000、L=140 dB時(shí)，粒徑測(cè)量范圍隨聲波頻率的變化關(guān)系.其中，dpmax為粒徑測(cè)量上限，dpmin為粒徑測(cè)量下限.由圖4可知，隨著聲波頻率的增加，顆粒粒徑測(cè)量上限和下限均降低，相對(duì)于測(cè)量下限，上限的下降程度更為顯著，導(dǎo)致粒徑測(cè)量范圍縮小.下限粒徑對(duì)應(yīng)的顆粒由于具有更小的慣性而具有更好的跟隨性，其夾帶系數(shù)受聲波頻率的影響較弱，顆粒夾帶寬度能夠保持在適宜的范圍內(nèi)，因此下限粒徑對(duì)聲波頻率變化的敏感性較弱；而慣性較大的粒徑測(cè)量上限對(duì)應(yīng)的顆粒跟隨性較差，聲波頻率對(duì)其夾帶系數(shù)和夾帶寬度有重要影響，使得粒徑測(cè)量上限受聲波頻率變化的影響顯著.

圖4　粒徑測(cè)量范圍隨聲波頻率的變化

3.2.2聲強(qiáng)對(duì)粒徑測(cè)量范圍的影響

圖5給出了ε=2 000、f=3 000 Hz時(shí)，顆粒粒徑測(cè)量范圍隨聲強(qiáng)的變化關(guān)系.由圖5可知，隨著聲強(qiáng)的增加，粒徑測(cè)量上限增大，粒徑測(cè)量下限則保持不變，使得粒徑測(cè)量范圍增大.同一顆粒的夾帶系數(shù)不受聲強(qiáng)的影響，而夾帶位移隨聲強(qiáng)的增加而增大.在聲波頻率為3 000 Hz、聲強(qiáng)為125～150 dB時(shí)，數(shù)值模擬結(jié)果表明，顆粒粒徑測(cè)量上限由顆粒夾帶寬度確定，即dpmax=Xp/10；粒徑測(cè)量下限由夾帶系數(shù)確定，即dpmin為η=0.9時(shí)對(duì)應(yīng)的顆粒粒徑.由于一定聲波頻率下的顆粒夾帶寬度取決于聲強(qiáng)，隨著聲強(qiáng)的增加，顆粒夾帶寬度增大，粒徑測(cè)量上限隨之增大；同時(shí)，由于夾帶系數(shù)不受聲強(qiáng)的影響，因而粒徑測(cè)量下限不隨聲強(qiáng)而變化.

圖5　粒徑測(cè)量范圍隨聲強(qiáng)的變化

4結(jié)論

(1)對(duì)于特定粒徑的顆粒，存在一個(gè)使測(cè)量誤差為0的最佳測(cè)試聲場(chǎng)頻率，低于該頻率，粒徑測(cè)量值偏大；高于該頻率，粒徑測(cè)量值偏小.

(2)隨著顆粒密度比的增加，測(cè)量誤差迅速減小，最終接近于0；對(duì)于相同密度比的顆粒，粒徑越大，測(cè)量誤差越小.

(3)隨著聲波頻率的增加，顆粒粒徑測(cè)量范圍的測(cè)量上限和下限均下降，但是上限下降更為迅速，使得粒徑測(cè)量范圍隨聲波頻率的增加而減小.

(4)隨著聲強(qiáng)的增加，顆粒粒徑測(cè)量范圍上限增大，下限則保持不變，使得粒徑測(cè)量范圍隨聲強(qiáng)的增加而增大.

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Error and Range in Measurement of Inhalable Particle Sizes by Acoustic Entrainment Method

YANGXufeng,FANFengxian

(School of Energy and Power Engineering, University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093, China)

Abstract：Based on the dynamic model for particles subjected to both the Strokes force and unsteady force in a horizontal standing wave acoustic field, the error and range in measurement of particle sizes by acoustic entrainment method were numerically studied. Results show that for a specified size of particles, there exists an optimal acoustic frequency corresponding to zero error of particle size measurement; when the acoustic frequency is lower or higher than the optimal one, the measured value would be accordingly larger or smaller than the true value. As the particle density increases, the measurement error decreases rapidly, and finally the error approaches to zero. Both the upper limit and lower limit of the measurement range reduce with the increase of acoustic frequency, resulting in decreased range of particle size measurement. As the acoustic intensity increases, the upper limit of the measurement range increases but the lower limit keeps constant, thus the measurement range increases.

Key words：particle size measurement; acoustic entrainment method; inhalable particle; measurement error; measurement range

文章編號(hào)：1674-7607(2016)03-0196-05

中圖分類(lèi)號(hào)：TB52+9

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A學(xué)科分類(lèi)號(hào)：470.10

作者簡(jiǎn)介：楊旭峰(1989-)，男，湖北武漢人，碩士研究生，主要從事聲場(chǎng)中顆粒動(dòng)力學(xué)數(shù)值模擬方面的研究.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51206113，51176128)

收稿日期：2015-04-24

修訂日期：2015-07-13

凡鳳仙(通信作者)，女，副教授，博士，電話(huà)(Tel．)：13761377356；E-mail：fanfengxian@hotmail.com．