魏 波，陳軍斌，謝 青，張 杰，王漢青，趙逸然

(西安石油大學 石油工程學院，陜西 西安 710065)

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基于擴展有限元的頁巖水平井壓裂裂縫擴展模擬

魏 波，陳軍斌，謝 青，張 杰，王漢青，趙逸然

(西安石油大學 石油工程學院，陜西 西安 710065)

摘要：考慮裂縫內流體流動和巖石受力變形，建立頁巖水平井水力壓裂裂縫擴展數(shù)學模型，采用擴展有限元方法求解該模型。分析水平主應力、巖石力學特征參數(shù)及注入速度對裂縫擴展長度的影響，并研究多條裂縫的擴展及轉向規(guī)律。結果表明：巖石彈性模量越大，泊松比越小，形成的裂縫越長；最小主應力越小，壓裂液注入速度越大，裂縫擴展長度越長。同時擴展的2條裂縫之間存在應力干擾使裂縫向外轉，裂縫間距越近，轉向越明顯。3條裂縫同時擴展，中間裂縫受到左右兩邊裂縫的制約作用，起裂較晚，擴展受到限制；隨著壓裂時間的延長，中間裂縫會擺脫兩邊裂縫的影響，沖出應力干擾區(qū)。

關鍵詞：水力壓裂；水平井；頁巖儲層；多裂縫干擾；數(shù)值模擬；擴展有限元法

魏波，陳軍斌，謝青，等.基于擴展有限元的頁巖水平井壓裂裂縫擴展模擬[J].西安石油大學學報(自然科學版)，2016，31(2)：70-75,81.

WEI Bo,CHEN Junbin,XIE Qing，et al.Simulation of hydraulic fracturing crack propagating of horizontal shale well based on extended finite element method[J].Journal of Xi'an Shiyou University (Natural Science Edition),2016,31(2):70-75，81.

引言

近年來，水力壓裂技術成為頁巖儲層改造的重要手段之一。頁巖儲層水力壓裂裂縫擴展過程是一個復雜的非線性、多物理場耦合的過程[1]，需要綜合研究地層巖石變形、流體流動以及斷裂擴展等條件。水力壓裂過程極其復雜，本文通過數(shù)值模擬法分析裂縫擴展過程。關于水力壓裂裂縫模擬方法，國內外學者應用位移不連續(xù)法[2]、有限元法[3]、擴展有限元法[4]，其中，擴展有限元法由于能夠精細描述巖石內部裂縫的幾何形態(tài)，有效克服裂縫尖端高應力區(qū)和變形集中區(qū)奇點網格劃分困難，并且具有計算速度快等其他方法無法比擬的優(yōu)勢，越來越受到國內外學者的關注[5]。2009年，Lecampion[6]研究了基于擴展有限元法的裂縫擴展過程，但是沒有考慮流體不斷注入撐開巖石的流固耦合作用。2012年，Keshavarzi等[7]基于擴展有限元法模擬裂縫擴展，但假設裂縫內流體壓力保持恒定，與實際情況不符。2013年，Chen[8]建立了水力裂縫擴展有限元數(shù)學模型，并驗證了擴展有限元模型的準確性與實用性。2014年，姚軍等[9]研究了基于擴展有限元法的裂縫擴展過程，得到頁巖脆性參數(shù)及注入速度對裂縫形態(tài)的影響，但多條水力裂縫的相互作用沒有體現(xiàn)。

流固耦合以及裂縫之間的干擾等因素對裂縫擴展有重要的影響。針對上述問題，建立了頁巖儲層水平井水力壓裂裂縫擴展有限元模型，并對單條裂縫與多條裂縫進行模擬實驗，分析了水平主應力、頁巖彈性模量、泊松比以及注入速度對裂縫擴展長度的影響，并分析多條水力裂縫擴展規(guī)律。

1水力壓裂模型

1.1物理模型

頁巖儲層具有很強的非均質性與各向異性，在實際研究中非常復雜。為突出研究的重點，將頁巖儲層水力裂縫擴展域Ω假設為均質、各向同性的二維平面應變模型(圖1)。ΓF，Γu，Γf分別為外力、位移及裂縫邊界。在外力邊界上受到外部載荷F的作用，裂縫面上受到流體壓力p以及水平主應力σH、σh的作用。注入流量為Q0、漏失量為ql，形成的裂縫長度為L、寬度為w。裂縫的擴展被視為準靜態(tài)的、沒有流體的滯后。

圖1　水力裂縫擴展Fig.1　Propagation of hydraulic fracture

1.2巖石變形控制方程

巖石內部應力σ與外部載荷F及流體壓力p之間滿足關系[8]:

在ΓF上，σ·n=F；

(1)

在Γf上，σ·n-=-σ·n+=-pn+=pn-。

式中：n為單位法線向量。

用于描述位移邊界條件及裂縫表面分離的應變與位移滿足關系：

在Ω上，ε=(u+(u)T)/2；

在Γu上，u=0；

(2)

在Γf上，w=u+-u-。

式中：u為位移；ε為應變。

應力與應變關系滿足本構方程

σ=Dε。

(3)

式中：D為彈性矩陣。

1.3流體流動控制方程

裂縫內的流體流動滿足潤滑理論和連續(xù)性方程

(4)

(5)

式中：μ為壓裂液的黏度；q為裂縫延伸單位長度的流體流量。

流體流動的邊界條件：

在入口處，流體流量等于注入量，即

q(0)=Q0；

(6)

在裂縫尖端，流體流量與裂縫開度為0，即

w(L/2)=0,q(L/2)=0。

(7)

式中：L/2為裂縫半長。

壓裂裂縫擴展判據滿足巖石失穩(wěn)條件：巖石應力強度因子KI值達到其斷裂韌性KIC時裂縫失穩(wěn)擴展，即

KI≥KIC。

(8)

2水力壓裂模型離散

2.1擴展有限元法

擴展有限元法(XFEM)最早是由Moes等[10]提出的一種描述位移不連續(xù)問題的有限元修正方法，具有較強的實用性及方便性。核心思想在于用擴充的帶有不連續(xù)性質的形函數(shù)來描述裂縫域內的間斷，不連續(xù)場的描述完全獨立于網格邊界，裂縫路徑與尖端不需要網格重構與加密，并且裂縫以任意方向延伸，不需要預先設定，更反映實際的裂縫擴展規(guī)律。網格劃分簡單，計算耗時短[11-12]。

基于擴展有限元格式的裂縫周圍位移場的近似式[13]為

(9)

H(x)=±1；

(10)

(11)

式中：I為網格中所有的節(jié)點集合；Icr為被裂縫完全貫穿的節(jié)點集合，用階躍形函數(shù)H(x)描述；Itip為沒有被裂縫完全貫穿的節(jié)點集合，用尖端形函數(shù)B(x)描述；Ni(x)為單元節(jié)點形函數(shù)，Nj(x)為單元中含有間斷的節(jié)點形函數(shù)；ui為位移節(jié)點自由度；aj與bjm分別為描述裂縫路徑與尖端額外節(jié)點自由度。

裂縫內的流體壓力可用標準有限元法進行近似，即

(12)

2.2水力壓裂控制方程離散

巖體變形方程的擴展有限元離散[14]為

(13)

式中：C為應變轉換矩陣；CTDC表示剛度矩陣；δp為虛壓力。

裂縫內流體流動控制方程的弱形式[8]：

(14)

將式(13)與(14)耦合求解，即可得到裂縫在流體壓力作用下的幾何形態(tài)。

3模型求解及結果分析

模擬求解耦合了流體流動與巖石變形，注入流體通過射孔孔眼與巖石溝通，并不斷作用于射孔孔眼表面，當滿足斷裂條件時，新裂縫生成，并在流體壓力作用下不斷延伸，這一耦合過程通過式(13)與(14)準確描述，并通過擴展有限元法反復迭代求解，得到裂縫擴展的位移場與應力場。

3.1模型參數(shù)取值

模型參數(shù)見表1。計算結果與經典模型(KGD)[15]進行對比(圖2)，驗證模型的準確性。KGD是水力壓裂解析模型，是一種簡化模型，不對裂縫體進行網格劃分，靈活度較低。而有限元模型通過數(shù)值求解得到裂縫路徑上每一個單元節(jié)點的位移，最終得到裂縫的位移場，更能反映實際的裂縫結構斷裂與擴展規(guī)律以及裂縫之間相互作用的轉向規(guī)律，這是KGD模型不能得到的。

表1　計算參數(shù)取值

圖2　本文模型與KGD模型結果對比Fig.2　Comparison of results obtained by the XFEM model with the KGD model

3.2結果分析

3.2.1單條裂縫擴展規(guī)律頁巖儲層水平井水力壓裂單條裂縫數(shù)值模擬求解得到的最大主應力分布與位移變化情況分別如圖3(a)與(b)所示。由圖3(a)可知，裂縫沿著最大主應力的方向延伸，尖端出現(xiàn)應力集中現(xiàn)象，應力值最大；由圖3(b)可知，注入點處，裂縫張開位移最大。裂縫擴展的應力分布與位移變化規(guī)律與實際情況相符。

頁巖儲層中，彈性模量、泊松比、水平主應力以及注入速度對裂縫擴展長度的影響如圖4所示。

圖3　單條壓裂裂縫擴展的位移場與應力場Fig.3　Displacement field and stress field in the propagation of single fracture

圖4　壓裂裂縫擴展半長隨壓裂時間的關系曲線Fig.4　Varying curves of half length of fracturing fracture with time in the propagation process

由圖4(a)與圖4(b)可知，彈性模量對裂縫擴展長度的影響比泊松比的影響大得多。高彈性模量、低泊松比的頁巖儲層脆性礦物含量越高，受到流體壓力的作用更容易發(fā)生脆性破裂，同樣的壓裂時間下，高彈性模量、低泊松比的儲層裂縫擴展長度越長。由圖4(c)可知，當水平主應力差等于5 MPa與10 MPa時，發(fā)現(xiàn)裂縫長度的變化不明顯，說明應力差對裂縫長度的影響較小。保持最大主應力值不變，改變最小主應力的值，壓裂40 min，發(fā)現(xiàn)σH=25 MPa時，裂縫半長為62.7 m；σH=20 MPa時，裂縫半長為71.3 m。說明最小水平主應力是制約裂縫起裂與擴展的重要因素。由圖4(d)得出，流體注入速度越大，壓力加載速率越快，裂縫起裂越早，相同壓裂時間下，裂縫延伸越長。

3.2.22條裂縫的擴展規(guī)律本算例設計2條相距25 m的裂縫，擴展過程的最大主應力分布如圖5(a)所示，裂縫張開位移變化規(guī)律如圖5(b)所示。

由圖5(a)可知，2條同時擴展的裂縫之間存在較強的應力干擾，這種相互作用迫使應力場發(fā)生變化，改變了裂縫延伸方向，發(fā)生相斥轉向。裂縫轉向

圖5　間隔25 m 2條裂縫擴展的應力場與位移場Fig.5　Displacement field and stress field in the propagation of two fractures with interval of 25 m

造成裂縫面不平滑，最大主應力分布在裂縫周圍出現(xiàn)不連續(xù)，裂縫寬度減小，并增加流體的流動阻力，不利于壓裂液的流入與支撐劑的填充。從圖5(b)可知，2條裂縫的外邊入口處橫向位移較大，越向邊界，橫向位移逐漸減小，到邊界位移為0，2條裂縫中間區(qū)域位移變化很小，甚至中間區(qū)域沒有橫向位移，說明流體在垂直于裂縫壁面的法向產生擠壓力，由于裂縫面兩邊同時受到作用力，在水平方向上相反的擠壓力相互抵消，造成中間區(qū)域裂縫橫向位移大大降低，最終引起裂縫寬度的減小。

為了研究裂縫干擾作用強弱與裂縫間距之間的關系，算例設計2條間距為45 m的裂縫，最大主應力分布與裂縫張開位移變化分別見圖6(a)與圖6(b)。從圖6(a)中裂縫轉向程度與應力分布發(fā)現(xiàn)，間距為45 m的裂縫面比間距為25 m的裂縫面更加平滑，說明裂縫干擾作用的強弱與裂縫間距有很大的關系，裂縫間距與干擾作用呈負相關關系。通過對比圖5(b)與圖6(b)，45 m間距的2條裂縫中間區(qū)域橫向位移有增加的趨勢，說明裂縫間應力干擾對裂縫寬度具有制約作用。

圖6　間隔45 m 2條裂縫擴展的應力場與位移場Fig.6　Displacement field and stress field in the propagation of two fractures with interval of 45 m

3.2.33條裂縫的擴展規(guī)律算例設計3條間隔為25 m的裂縫在流體壓力作用下的擴展過程，研究3條裂縫的起裂、擴展及轉向規(guī)律。最大主應力分布及裂縫擴展規(guī)律如圖7所示。

由圖7可知：t=1.5 min時，左右兩邊的裂縫開始起裂，這是由于外側的2條裂縫在壓力加載過程中會對中間裂縫施加額外的力，致使中間裂縫應力場發(fā)生變化，起裂變得困難，起裂時間較晚。t=6.0 min時，左右兩邊的裂縫開始發(fā)生輕微轉向。t=10.5 min時，左右兩邊裂縫發(fā)生較大程度的轉向，從這一時間的最大水平主應力場圖看出，同時擴展的裂縫之間存在應力干擾，改變最大水平主應力的方向，促使裂縫發(fā)生相斥轉向。t=18.0 min時，左右兩邊裂縫發(fā)生較大角度的轉向，降低了對中間裂縫的制約作用，中間裂縫突破了左右兩邊裂縫的應力干擾，并且加劇了左右兩邊裂縫的轉向程度。t=22.0 min時，隨著左右兩邊裂縫轉向角度的增加，壓裂液流動阻力增大，致使裂縫的擴展受到了制約，但對中間裂縫的擴展不造成影響。t=40.0 min時，中間裂縫的擴展長度明顯大于兩邊裂縫，擴展長度是兩邊裂縫的1.76倍。為了使所有裂縫都能發(fā)生均勻擴展，必須選擇合理的裂縫間距。

圖7　3條間隔為25 m的裂縫擴展動態(tài)Fig.7　Dynamic diagram in the propagation of three fractures with interval of 25 m

4結論

(1)水平主應力差對裂縫長度的影響很小，最小主應力是制約裂縫擴展的主要因素，最小主應力越小，裂縫延伸長度越長；高彈性模量、低泊松比的巖石，裂縫延伸長度越長；注入速度越大，流體壓力的加載速率越快，裂縫起裂越早，延伸長度越長。

(2)2條同時擴展的裂縫存在應力干擾作用，迫使裂縫延伸方向發(fā)生相斥轉向，轉向處裂縫寬度減小，曲折度增加；隨著裂縫間距的減小，應力干擾作用越強，轉向角度越大。

(3)3條裂縫同時擴展時，左右兩邊的裂縫先起裂延伸并對中間裂縫產生一定的制約作用，直到t=18.0 min之后，中間裂縫逐漸擺脫來自兩邊裂縫的影響，沖破應力干擾區(qū)，并加劇了兩邊裂縫的轉向，大大減小了左右兩邊裂縫的擴展長度。為了使所有裂縫都能發(fā)生均勻擴展，必須選擇合理的裂縫間距。

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責任編輯：賀元旦

Simulation of Hydraulic Fracturing Crack Propagating of Horizontal Shale Well Based on Extended Finite Element Method

WEI Bo,CHEN Junbin,XIE Qing,ZHANG Jie,WANG Hanqing,ZHAO Yiran

(College of Petroleum Engineering,Xi'an Shiyou University,Xi'an 710065,Shaanxi,China)

Abstract:The mathematical model for the hydraulic fracturing crack propagating of horizontal well in shale reservoir was established under considering the flow of fluid in cracks and the deformation of rock,and it was solved using the extended finite element method.The influences of horizontal principal stress,the mechanics parameters of rock and the injection rate of fracturing fluid on the propagation length of cracks were analyzed,and the propagation and steering law of multiple fractures was researched.The results show that the greater the elasticity modulus of reservoir rock and the less the Poisson's ratio of it,the longer the fractures;the lower the minimum principal stress and the greater the injection rate,the longer the fractures.There is stress interference between two simultaneously propagating fractures,which makes two fractures turning to the outside.The closer the fractures are,the more obvious the steering is.When the three fractures simultaneously propagate,the fracture in middle is restricted,and its initiation is later than on both sides.With the fracturing time increasing,the middle fracture breaks away from the stress interference of the cracks on both sides and propagates.

Key words:hydraulic fracturing;horizontal well;shale reservoir;multi-fracture interference;numerical simulation;extended finite element method

文章編號：1673-064X(2016)02-0070-06

文獻標識碼：A

DOI：10.3969/j.issn.1673-064X.2016.02.011

中圖分類號：TE357.1

作者簡介：魏波(1987-)，男，碩士研究生，主要從事頁巖氣藏水平井壓裂裂縫起裂與擴展規(guī)律研究。

基金項目：國家自然科學基金項目“頁巖氣藏水平井液態(tài)氣動力壓裂增產新方法研究”(編號：51374170)；西安石油大學優(yōu)秀碩士學位論文培育項目(編號：2014yp130101)

收稿日期：2015-12-25

E-mail:xysuweibo131010097@163.com