王唯,唐志華(南京理工大學(xué)瞬態(tài)物理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇南京210094)

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靶道空間三點(diǎn)法標(biāo)定與誤差分析

王唯,唐志華
(南京理工大學(xué)瞬態(tài)物理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇南京210094)

摘要:為了避免現(xiàn)有激光準(zhǔn)直標(biāo)定系統(tǒng)在激光光斑對(duì)準(zhǔn)過(guò)程中的困難,簡(jiǎn)化標(biāo)定系統(tǒng)組成,提高標(biāo)定效率和標(biāo)定精度,增強(qiáng)標(biāo)定系統(tǒng)的場(chǎng)地適應(yīng)性。利用空間內(nèi)任意不共線的三點(diǎn)分別在標(biāo)定坐標(biāo)系和靶道坐標(biāo)系下的坐標(biāo)構(gòu)造過(guò)渡坐標(biāo)系,得到標(biāo)定坐標(biāo)系到靶道坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系。研究標(biāo)定坐標(biāo)系下標(biāo)定點(diǎn)的位置偏差以及靶道坐標(biāo)系下對(duì)應(yīng)點(diǎn)的測(cè)量誤差對(duì)最終待測(cè)點(diǎn)測(cè)量誤差自協(xié)方差的影響,通過(guò)雅克比矩陣得到相應(yīng)的誤差模型,導(dǎo)出坐標(biāo)測(cè)量誤差均值和方差的表達(dá)式。依據(jù)向量范數(shù)和矩陣范數(shù)之間的關(guān)系以及Cauchy-Schwarz不等式研究測(cè)量誤差均值與方差的增益系數(shù)的理論上限。通過(guò)實(shí)彈擊發(fā)實(shí)驗(yàn),考察三點(diǎn)標(biāo)定方法的實(shí)踐效果。研究結(jié)果表明:最終測(cè)量誤差均值向量的模長(zhǎng)等于被測(cè)點(diǎn)在標(biāo)定坐標(biāo)系下均值向量的模長(zhǎng);確定標(biāo)定坐標(biāo)系到靶道坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系的任意不共線三點(diǎn)之間距離及其包圍的面積越大,則測(cè)量誤差的自協(xié)方差增益系數(shù)越小;將過(guò)渡坐標(biāo)系原點(diǎn)靠近預(yù)計(jì)彈道線有利于減小測(cè)量誤差的自協(xié)方差增益系數(shù);取決于測(cè)量方法及其誤差形式,隨著標(biāo)定坐標(biāo)系原點(diǎn)遠(yuǎn)離靶道坐標(biāo)系原點(diǎn),與靶道坐標(biāo)系中三點(diǎn)坐標(biāo)測(cè)量誤差相關(guān)的被測(cè)點(diǎn)測(cè)量誤差自協(xié)方差增益有所不同;基于三點(diǎn)標(biāo)定方法,使用常見(jiàn)的通用儀器、設(shè)備就可以完成標(biāo)定過(guò)程,且經(jīng)過(guò)三點(diǎn)法標(biāo)定的靶道測(cè)量數(shù)據(jù)質(zhì)量較高。

關(guān)鍵詞:兵器科學(xué)與技術(shù);靶道空間標(biāo)定;靶道實(shí)驗(yàn);誤差控制;誤差分析

0　引言

在靶道測(cè)量過(guò)程中,利用彈道靶道配備的多臺(tái)套陰影閃光成像系統(tǒng)[1]捕捉彈丸飛行過(guò)程中的姿態(tài)及空間位置信息。為了能夠正確綜合各個(gè)照相站所捕捉到的彈丸在飛行過(guò)程中的不同位置信息,準(zhǔn)確確定照相站在靶道中的空間位置,提高彈道參數(shù)測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確性,需要對(duì)照相站及靶道的空間進(jìn)行標(biāo)定[2-5]?，F(xiàn)有的標(biāo)定方法主要依據(jù)陰影成像系統(tǒng)和以雙重田字網(wǎng)格為載體的靶道空間基準(zhǔn)系統(tǒng)[6-9]建立相機(jī)圖片到靶道空間坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系。本文通過(guò)確定空間內(nèi)任意不共線的三點(diǎn)分別在標(biāo)定坐標(biāo)系[5]和靶道坐標(biāo)系下的坐標(biāo),得到標(biāo)定坐標(biāo)系到靶道坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系,據(jù)此建立照相站的測(cè)量誤差模型,考察標(biāo)定模型參數(shù)[10]對(duì)測(cè)量誤差的影響和作用,提高了標(biāo)定方法的場(chǎng)地適應(yīng)性。通過(guò)標(biāo)定坐標(biāo)系到靶道坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣研究測(cè)量誤差對(duì)最終靶道空間測(cè)量數(shù)據(jù)的影響,分析各個(gè)誤差來(lái)源對(duì)測(cè)量結(jié)果所造成的影響,找出相應(yīng)的處理方法。最后通過(guò)實(shí)彈擊發(fā)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了三點(diǎn)標(biāo)定法的實(shí)際效果。

1　標(biāo)定模型的建立

1.1標(biāo)定坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換

定義A、B、C為空間中任意不共線三點(diǎn),則A、B、C三點(diǎn)在標(biāo)定坐標(biāo)系中可以表示為: A1=, B1= [χB1yB1zB1]T, C1=.則由A、B、C三點(diǎn)可以確定向量:

由V1和U1可以確定一個(gè)以V1為X軸,(V1× U1)×V1為Y軸,V1×U1為Z軸的過(guò)渡坐標(biāo)系OXYZ.若過(guò)渡坐標(biāo)系OXYZ中任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為[χ y z]T,則在標(biāo)定坐標(biāo)系中其坐標(biāo)表示為

式中:M1=表示由過(guò)渡坐標(biāo)系OXYZ轉(zhuǎn)換到標(biāo)定坐標(biāo)系的方向余弦矩陣。

1.2靶道坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換

同理,令A(yù)、B、C三點(diǎn)在靶道坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為A2=, B2=, C2=,則由A、B、C三點(diǎn)在靶道坐標(biāo)系下的坐標(biāo)可以確定的向量:

相應(yīng)的過(guò)渡坐標(biāo)系OXYZ中的坐標(biāo)[χ y z]T在靶道坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示為

式中:M2=表示由過(guò)渡坐標(biāo)系OXYZ轉(zhuǎn)換到靶道坐標(biāo)系的方向余弦矩陣。聯(lián)立(3)式和(6)式可得到標(biāo)定坐標(biāo)系到靶道坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

式中: M = M2M1-1表示對(duì)標(biāo)定坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn);- M·表示對(duì)標(biāo)定坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)平移。

2　標(biāo)定模型的誤差分析

由(7)式可知,影響[χ2y2z2]T的主要因素有:A、B、C三點(diǎn)在標(biāo)定坐標(biāo)系下選取時(shí)所產(chǎn)生的偏差和;A、B、C三點(diǎn)在靶道坐標(biāo)系下測(cè)量所得的偏差、δB2=和以及坐標(biāo)[χ1y1z1]T的偏差.于是A、B、C三點(diǎn)在標(biāo)定坐標(biāo)和靶道坐標(biāo)的坐標(biāo)真值與測(cè)量值的關(guān)系可以分別表示為=,i = 1,2.其中下標(biāo)i為1時(shí)表示標(biāo)定坐標(biāo)系,下標(biāo)i為2時(shí)表示靶道坐標(biāo)系。

2.1A、B、C的誤差特性

2.1.1A、B和C三點(diǎn)在標(biāo)定坐標(biāo)系下的誤差特性

由于A、B、C為空間中任意取定的不共線三點(diǎn),可以將其偏差Δ1= [δA1δB1δC1]T視為獨(dú)立的隨機(jī)變量,且均服從期望μ1,方差ε的正態(tài)分布。即

式中:I9×9是9階單位方陣。

2.1.2A、B和C三點(diǎn)在靶道坐標(biāo)系下的誤差特性

靶道坐標(biāo)系中,為了方便A、B、C三點(diǎn)的測(cè)量,取靶道空間觀測(cè)點(diǎn)為靶道坐標(biāo)系原點(diǎn)O2,過(guò)原點(diǎn)的水平面為O2X2Z2坐標(biāo)面,包含基準(zhǔn)射向的鉛直面為O2X2Y2坐標(biāo)面,上述兩坐標(biāo)面的交線即為X2軸,順射向?yàn)檎?。過(guò)原點(diǎn)垂直于X2軸的平面為O2Y2Z2坐標(biāo)面,該面與O2X2Y2坐標(biāo)面的交線為Y2軸,向上為正,與O2X2Z2坐標(biāo)面的交線為Z2軸,Z2軸的正方向使X2、Y2、Z2三坐標(biāo)軸構(gòu)成右手螺旋坐標(biāo)系。點(diǎn)A在靶道坐標(biāo)系下的位置關(guān)系如圖1所示,可以測(cè)得點(diǎn)A到靶道坐標(biāo)系原點(diǎn)O2的距離為L(zhǎng)A,O2A在O2X2Z2面內(nèi)的投影與靶道坐標(biāo)系X2軸的夾角為αA,以及O2A與O2X2Z2的夾角為βA.同理可得到, 點(diǎn)B到靶道坐標(biāo)系原點(diǎn)O2的距離為L(zhǎng)B,O2B在O2X2Z2面內(nèi)的投影與靶道坐標(biāo)系X2軸的夾角為αB,以及O2B與O2X2Z2的夾角為βB.點(diǎn)C到靶道坐標(biāo)系原點(diǎn)O2的距離為L(zhǎng)C,O2C在O2X2Z2面內(nèi)的投影與靶道坐標(biāo)系X2軸的夾角為αC,以及O2C與O2X2Z2的夾角βC.

圖1　A點(diǎn)在靶道空間的位置Fig.1 Coordinate of Point A in ballistic range system

令LA=LA+ΔLA、LB=LB+ΔLB、LC=LC+ΔLC、αA=A+ΔαA、αB=B+ΔαB、αC=C+ΔαC、βA=A+ΔβA、βB=B+ΔβB、βC=C+ΔβC,其中ΔLA、ΔLB、ΔLC、ΔαA、ΔαB、ΔαC、ΔβA、ΔβB、ΔβC分別表示真值測(cè)量時(shí)所產(chǎn)生的偏差,于是A、B、C在靶道坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示為

令ΔL= [ΔLAΔLBΔLC]T,Δα= [ΔαAΔαBΔαC]T和Δβ= [ΔβAΔβBΔβC]T分別表示影響A、B和C三點(diǎn)在靶道坐標(biāo)系下的測(cè)量誤差來(lái)源。由于測(cè)量過(guò)程中,測(cè)量方法及手段相同,可以將ΔL、Δα和Δβ中的元素分別視為服從期望均為μ2,方差分別為εL、εα和εβ的正態(tài)分布的獨(dú)立隨機(jī)變量。即

式中:I3×3是3階單位方陣。

2.2靶道測(cè)量值的誤差特性分析

令Φ1=表示影響[χ2y2z2]T的各個(gè)誤差來(lái)源,將(7)式按Φ1做級(jí)數(shù)展開(kāi),并忽略各個(gè)偏差小量的高次項(xiàng)和耦合項(xiàng)。得到各個(gè)偏差小量Φ1對(duì)[χ2y2z2]T所造成的影響ΔT為

式中: P3×21=是 [χ2y2z2]T關(guān)于Φ1的雅克比矩陣,其中P1、P2、P3和P4分別表示為[χ2y2z2]T關(guān)于Δ1、ΔL、Δα和Δβ的雅克比矩陣,除了P1的維數(shù)為3×9外,P2、P3和P4的維數(shù)均3×3.

對(duì)(19)式兩邊取均值,即

將(8)式、(13)式、(14)式和(15)式代入(20)式可得

考察Pi,i =1,2,…,4可知,其行和分別為0,即P1ij=0,i = 1,2,3,Pkij= 0,i = 1,2,3,k = 2, 3,4.于是(21)式右端前4項(xiàng)均為0,因此將(21)式化簡(jiǎn)為

(22)式表明靶道坐標(biāo)下坐標(biāo)[χ2y2z2]T的測(cè)量偏差ΔT的均值向量只取決于對(duì)應(yīng)點(diǎn)[χ1y1z1]T在標(biāo)定坐標(biāo)系下的測(cè)量偏差ξ的均值向量。由于M是正交矩陣,不改變變換后向量的模長(zhǎng),即得到|E(ΔT) | = |E(ξ) |.

在豆莢成熟、即豆粒將長(zhǎng)成圓形，但莢內(nèi)種子還不很明顯看得見(jiàn)時(shí)采收。若采收太遲則豆莢過(guò)熟，纖維過(guò)多影響品質(zhì)，一般在盛果期間隔2—3天采一次。

對(duì)(19)式兩邊取方差可得

而Var(Φ1)可以表示為

diag([Var(Δ1) Var(ΔL) Var(Δα) Var(Δβ) Var(ξ)]),于是化簡(jiǎn)(23)式可得

式中:Ki = PiPT

i,i =1,2,…,4,分別表示ε、εL、εα和 εβ的增益系數(shù)矩陣?？疾?24)式左端協(xié)方差矩陣的主元,即測(cè)量值的自協(xié)方差?？芍?當(dāng)各個(gè)偏差的方差特性一定時(shí),使系數(shù)矩陣Ki以及MVar(ξ)MT的主元分別較小時(shí)可令測(cè)量值的自協(xié)方差較小。

用符號(hào)tr(·)表示矩陣求跡運(yùn)算,對(duì)于MVar(ξ)MT分項(xiàng),因?yàn)镸為正交矩陣,即有tr(MVar(ξ)MT)等于tr(Var(ξ)),而Var(ξ)表示被測(cè)點(diǎn)在標(biāo)定坐標(biāo)下的坐標(biāo)偏差,與被測(cè)點(diǎn)在標(biāo)定坐標(biāo)下的空間位置相關(guān),其具體表達(dá)可以參考文獻(xiàn)[3]。以下具體論述減小系數(shù)矩陣Ki的跡的方法和途徑。

對(duì)于K1,由于P1可以表示為

考察[χ2y2z2]T的(7)式,注意到旋轉(zhuǎn)矩陣M = M2M1-1,而M2只取決于A、B和C三點(diǎn)在靶道坐標(biāo)系下的測(cè)量值,即?M2/?Δ1= 0.又因?yàn)?([χ2Ay2Az2A]T) /?Δ1=0,于是將(25)式化簡(jiǎn)為

式中:W1=(M1-1[χ1-χ1A

z1- z1A]T)是 3×9維矩陣。于是K1可以表示為

由于M2為正交矩陣,因此K1是矩陣W1WT1的一個(gè)相似變換。而相似變換不改變矩陣的跡,進(jìn)一步將W1按行分割矩陣并表示為[W11W21W31]T,按照矩陣跡的定義得

式中:符號(hào)‖·‖2在下文中除非有特別說(shuō)明均表示向量的2范數(shù)?？疾煨邢蛄縒i1的具體表達(dá),整理后得

式中:wi1, i = 1,2,3分別是維數(shù)為9×3的系數(shù)矩陣。由向量范數(shù)和矩陣范數(shù)的關(guān)系可知:式中:符號(hào)‖·‖F(xiàn)表示矩陣的Frobenius范數(shù)。直接計(jì)算矩陣wi1的Frobenius范數(shù),化簡(jiǎn)得到‖w11‖2F= 4/ r21、‖w21‖2F= 4/ r21t21、‖w31‖2F= 4/ t21,其中r1= |V1|,t1= |V1×U1|,于是K1矩陣的跡滿足不相等關(guān)系:

對(duì)于Ki, i =2,3,4,由于P2、P3和P4可以分別表示為

式中:Δ2= [δ2Aδ2Bδ2C]T表示A、B和C三點(diǎn)在靶道坐標(biāo)系中的偏差。將(32)式、(33)式和(34)式表示為

與前述處理W1的方法類似,將Wj, j =2,3,4表示為向量形式: Wj= [ W1jW2jW3j]T+[ I1I2I3]T,其中I1=[ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ], I2= [ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ]和I3= [0 0 1 0 0 0 0 0 0],且Wij= wij(M· [χ1-χA1y1- yA1z1- zA1]T), i =1,2,3.則

由三角不等式以及Cauchy-Schwarz不等式, (38)式、(39)式和(40)式具有不相等關(guān)系:

式中:‖?Δ2/?ΔL‖2、‖?Δ2/?Δα‖2和‖?Δ2/?Δβ‖2分別表示?Δ2/?ΔL、?Δ2/?Δα和?Δ2/ ?Δβ的矩陣2范數(shù)。按照矩陣2范數(shù)定義有

由向量范數(shù)和矩陣范數(shù)的關(guān)系可知:

式中:i =1,2,3; j =2,3,4.由于M為正交矩陣,只改變?cè)邢蛄康姆较虿桓淖兿蛄磕ｉL(zhǎng),則有

注意到V1、U1和V2、U2是A、B和C三點(diǎn)在不同坐標(biāo)系下的向量表示。并有關(guān)系|V2| = |V1| = r1和|V2×U2| = |V1×U1| = t1.進(jìn)一步計(jì)算w1j、w2j和w3j的Frobenius范數(shù),則有

應(yīng)用(44)式～(49)式,化簡(jiǎn)(41)式～(43)式得

由(31)式、(50)式、(51)式和(52)式可知, tr(Ki),i =1,2,…,4的上限與r1和t1的大小以及被測(cè)點(diǎn)相對(duì)A點(diǎn)的距離相關(guān)。增大r1和t1可以使tr(Ki), i =1,2,…,4減小,即削弱了ε、εL、εα和εβ對(duì)測(cè)量偏差自協(xié)方差的影響。由于r1為向量AB的模長(zhǎng),t1是向量AB與向量AC確定的四邊形面積。所以增大A、B兩點(diǎn)距離并增加A、B和C三點(diǎn)所確定四邊形的面積可以使tr(Ki), i =1,2,…,4減小。同時(shí)在標(biāo)定過(guò)程中,將標(biāo)定坐標(biāo)系內(nèi)的A點(diǎn)靠近預(yù)計(jì)彈道線將有利于減小測(cè)量誤差的方差。由于分析中3點(diǎn)在靶道坐標(biāo)中的測(cè)量偏差用球坐標(biāo)形式表達(dá),當(dāng)標(biāo)定坐標(biāo)系遠(yuǎn)離靶道坐標(biāo)系原點(diǎn)時(shí),tr(K3)和tr(K4)增大,即說(shuō)明當(dāng)被測(cè)點(diǎn)遠(yuǎn)離靶道坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)測(cè)量誤差增益增大。若可以直接獲得A、B和C三點(diǎn)在靶道坐標(biāo)系下的測(cè)量誤差,那么(44)式、(45)式和(46)式左端均退化為對(duì)自身的雅可比矩陣的2范數(shù),即偏差增益系數(shù)與被測(cè)點(diǎn)知靶道坐標(biāo)原點(diǎn)的距離無(wú)關(guān)。

3　標(biāo)定與擊發(fā)實(shí)驗(yàn)

3.1標(biāo)定實(shí)驗(yàn)

基于現(xiàn)有的靶道陰影成像系統(tǒng),為了應(yīng)用三點(diǎn)法完成彈道靶道標(biāo)定,需要使用全站儀( Leica-Ts11),標(biāo)定板(定制玻璃刻蝕棋盤(pán)格)和標(biāo)定架(按實(shí)際標(biāo)定環(huán)境制作)。其中全站儀用于建立靶道坐標(biāo)系,標(biāo)定板安裝在標(biāo)定架上實(shí)現(xiàn)相機(jī)鏡頭畸變修正并建立標(biāo)定坐標(biāo)系。標(biāo)定的步驟大致分為鏡頭畸變修正和標(biāo)定坐標(biāo)在靶道坐標(biāo)中位置、姿態(tài)的確定兩部分,按照現(xiàn)場(chǎng)條件可以同時(shí)或分步進(jìn)行。只要保持照相系統(tǒng)位置、狀態(tài)不變,標(biāo)定工作亦可在實(shí)驗(yàn)后進(jìn)行。完成標(biāo)定后將標(biāo)定板作為靜態(tài)標(biāo)志物,提取圖像上標(biāo)定板的特征點(diǎn),應(yīng)用標(biāo)定參數(shù)可以計(jì)算出標(biāo)定板上對(duì)應(yīng)特征點(diǎn)在標(biāo)定坐標(biāo)中的坐標(biāo),經(jīng)實(shí)踐驗(yàn)證計(jì)算得到的特征點(diǎn)坐標(biāo)與實(shí)際坐標(biāo)的偏差小于0.1 mm,有關(guān)標(biāo)定過(guò)程的詳細(xì)情況參考文獻(xiàn)[11]。針對(duì)文獻(xiàn)[11]使用的標(biāo)定系統(tǒng),當(dāng)被測(cè)彈丸在各站標(biāo)定坐標(biāo)原點(diǎn)附近時(shí),與圖像識(shí)別誤差相關(guān)的測(cè)量誤差增益系數(shù)在0.9左右。

3.2擊發(fā)實(shí)驗(yàn)

在經(jīng)過(guò)標(biāo)定后的靶道進(jìn)行擊發(fā)實(shí)驗(yàn)。發(fā)射平臺(tái)為7.62 mm線膛彈道槍,彈藥為7.62 mm制式彈,光源控制與時(shí)序測(cè)量使用自研的控制板卡,其時(shí)間分辨率為20 ns,參試陰影成像系統(tǒng)為現(xiàn)有的3號(hào)、4號(hào)、8號(hào)、10號(hào)～13號(hào)、15號(hào)和19號(hào)站。完成標(biāo)定后,與A、B、C三點(diǎn)在靶道坐標(biāo)下的測(cè)量誤差相關(guān)的增益系數(shù)上限在6左右,與A、B、C三點(diǎn)在標(biāo)定坐標(biāo)下的測(cè)量誤差相關(guān)的增益系數(shù)上限在3左右。實(shí)驗(yàn)后提取各個(gè)圖像上彈丸特征點(diǎn)(以彈頭為例)的像素坐標(biāo),通過(guò)標(biāo)定參數(shù)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)并求解相關(guān)方程,即獲得靶道坐標(biāo)系下的彈頭點(diǎn)坐標(biāo)。

由于射角較小、接近平射且彈丸飛行的時(shí)間和距離均較短,故可以忽略偏流效應(yīng),靶道內(nèi)也不存在橫風(fēng)擾動(dòng),所以彈丸飛行軌跡在水平面內(nèi)的投影近似為直線,可以使用直線方程擬合。彈丸受到空氣阻力影響,其在豎直面內(nèi)的軌跡不完全符合拋物線規(guī)律,但是在短時(shí)間內(nèi)可以用二次多項(xiàng)式擬合數(shù)據(jù)來(lái)考核測(cè)量數(shù)據(jù)質(zhì)量。對(duì)于本組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),由于彈道傾角的絕對(duì)量始終較小,彈道高變化不大,認(rèn)為彈丸在水平面內(nèi)速度分量的大小滿足近似方程υ·+ aυ2=0,該方程具有通解υ= (at + b)-1,其中a和b是待定系數(shù)。

圖2給出的是靶道坐標(biāo)中彈頭坐標(biāo)在水平面內(nèi)的投影及其與擬合直線之間的偏差。從圖2中可以看出,射向較靶道坐標(biāo)X2軸向略偏左,實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與直線匹配良好,偏差絕對(duì)值主體小于2 mm,最大不超過(guò)4 mm.

圖3給出的是彈丸頭部在射向豎直面內(nèi)的軌跡及其同擬合曲線之間的偏差。從圖3中可以看出,實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與二次曲線匹配良好,偏差絕對(duì)值主體小于1 mm,最大不超過(guò)2 mm.

圖2　不同時(shí)刻彈丸頭部位置測(cè)量值在水平面內(nèi)的投影坐標(biāo)Fig.2 Measured projected coordinates of projectile nose on horizontal plane

圖3　彈丸頭部在射向豎直面內(nèi)的空間軌跡Fig.3 Measured projected coordinates of projectile noseon vertical plane in the direction of fire

圖4給出的是彈丸頭部速度水平分量的時(shí)間歷程及其同擬合曲線的偏差。圖4中時(shí)間軸表示的是各站閃光時(shí)刻相對(duì)于第1次閃光(3號(hào)站閃光時(shí)間)的相對(duì)時(shí)間,速度分量是采用站間差分方法獲得的。從圖4中可以看出,數(shù)據(jù)與擬合曲線偏差較小,速度偏差絕對(duì)值小于0.1 m/ s.

圖4　彈丸頭部速度在水平面內(nèi)的分量Fig.4 Velocity component of projectile nose on horizontal plane

4　結(jié)論

本文通過(guò)空間任意不共線的三點(diǎn)分別在標(biāo)定坐標(biāo)系和靶道坐標(biāo)系下的坐標(biāo),得到標(biāo)定坐標(biāo)系到靶道坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系。通過(guò)研究測(cè)量值關(guān)于各個(gè)誤差來(lái)源的雅克比矩陣得到了相應(yīng)的誤差模型,導(dǎo)出坐標(biāo)測(cè)量誤差均值和方差的表達(dá)式。研究測(cè)量誤差自協(xié)方差隨標(biāo)定點(diǎn)位置的變化規(guī)律,基于范數(shù)不等式得到減小測(cè)量誤差的標(biāo)定點(diǎn)分布規(guī)律。最終通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證標(biāo)定方法的效果。得出以下結(jié)論:

1)靶道坐標(biāo)下被測(cè)點(diǎn)測(cè)量誤差的均值向量只取決于被測(cè)點(diǎn)在標(biāo)定坐標(biāo)系下的均值向量,并且其模長(zhǎng)大小不變。

2)在標(biāo)定過(guò)程中,增大A、B兩點(diǎn)距離并增加A、B和C三點(diǎn)所確定的四邊形面積有利于減小被測(cè)點(diǎn)測(cè)量誤差的自協(xié)方差。

3)將標(biāo)定坐標(biāo)系內(nèi)的A點(diǎn)(過(guò)渡坐標(biāo)系原點(diǎn))靠近預(yù)計(jì)彈道線,有利于減小被測(cè)點(diǎn)測(cè)量誤差的自協(xié)方差。

4)空間點(diǎn)測(cè)量誤差自協(xié)方差的增益系數(shù)不與被測(cè)點(diǎn)到靶道坐標(biāo)原點(diǎn)的距離直接相關(guān),考慮到測(cè)距誤差通常與距離相關(guān),改善三點(diǎn)的測(cè)距誤差有利于在整個(gè)靶道長(zhǎng)度上獲得較為一致的方差增益系數(shù)。

5)使用近似簡(jiǎn)化的方法對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了粗略的擬合,盡管被擬合函數(shù)并不代表真實(shí)的彈道(6自由度彈道方程),但反映了測(cè)量數(shù)據(jù)較小的離散情況,并在一定程度上體現(xiàn)了標(biāo)定方法較好的性能。

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Three-point Method and Error Analysis of Ballistic Range Calibration

WANG Wei, TANG Zhi-hua
(Science and Technology on Transient Physics Laboratory, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, Jiangsu, China)

Abstract:To avoid the difficulty from laser spot alignment of existing laser collimation system in calibration process, a system composition is simplified, the efficiency and accuracy of calibration are improved, and the adaptability of calibration system is enhanced.A transformation matrix between calibration system and ballistic range system is presented by using the coordinates of three non-collinear points in calibration system and ballistic range system.The mean value and the variance-covariance matrix of the final measuring error are studied by an error model founded by Jacobian matrix between the measuring and various error sources.The self-covariance of measuring error is studied based on the Cauchy-Schwarz inequality and the relationship between vector and matrix norms.An firing experiment of live ammunition is per-book=318,ebook=129formed to verify the three-point calibration method of ballistic range.The research results show that the mean vector length of final measuring error about a point in ballistic range system is equal to the mean vector length of measuring error associated with same point in the calibration system; the larger the distance and the area surrounded by three non-collinear points which links the calibration system and ballistic range system together are, the smaller the self-covariance of the final measuring error is; the self-covariance decreases when the transition coordinate origin which is defined by the three non-collinear points is close to a projected trajectory line; based on the measurement method and the error of the three-point coordinates in ballistic system, the self-covariance of measuring error are changed when the calibration system origin moves away from the ballistic range system origin; and the calibration system based on the three-point method can be build-up by general instruments, and the quality of measured data is better.

Key words:ordnance science and technology; calibration of ballistic range; ballistic range experiment; error control; error analysis

作者簡(jiǎn)介:王唯(1979—),男,講師。E-mail:office2007@ njust.edu.cn;唐志華(1991—),男,碩士研究生。E-mail:974724295@ qq.com

基金項(xiàng)目:瞬態(tài)物理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金項(xiàng)目(9140C300306120C30112)

收稿日期:2015-03-22

DOI:10.3969/ j.issn.1000-1093.2016.02.018

中圖分類號(hào):TB89

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1000-1093(2016)02-0317-08