郭昭亮任國武張世文湯鐵鋼劉倉理

(1.中國工程物理研究院流體物理研究所，四川 綿陽 621999;2.中國工程物理研究院，四川 綿陽 621999)

膨脹柱殼恒定應(yīng)變率的本構(gòu)關(guān)系*

郭昭亮1，任國武1，張世文1，湯鐵鋼，劉倉理2

(1.中國工程物理研究院流體物理研究所，四川 綿陽 621999;2.中國工程物理研究院，四川 綿陽 621999)

考慮到金屬柱殼膨脹過程中隨機(jī)裂紋萌生對(duì)測(cè)試結(jié)果的可能干擾，設(shè)計(jì)了預(yù)置有中心穿透圓孔的柱殼樣品，采用多普勒光纖探針測(cè)量系統(tǒng)獲得了柱殼外壁更優(yōu)的徑向速度歷史?；谂蛎浿鶜?shí)驗(yàn)中固有的非恒定應(yīng)變率現(xiàn)象，研究了獲得恒定應(yīng)變率下本構(gòu)方程的方法，并采用改進(jìn)后的本構(gòu)方程確定方法，獲得了20鋼恒定應(yīng)變率下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。

固體力學(xué)；本構(gòu)方程；多普勒光纖探針；膨脹柱殼；恒定應(yīng)變率

材料與結(jié)構(gòu)在高應(yīng)變率下的變形與破壞規(guī)律研究，對(duì)深入認(rèn)識(shí)材料的動(dòng)態(tài)響應(yīng)機(jī)理以及工程防護(hù)有著重要的作用。爆炸膨脹環(huán)作為材料在高應(yīng)變下動(dòng)態(tài)力學(xué)性能的實(shí)驗(yàn)手段，最早由P.C.Johnson 等[1]建立，后逐步發(fā)展為獲得高應(yīng)變率拉伸加載下材料性能的重要工具。近年來，T. Hiroe等[2-3]采用線起爆技術(shù)研究了內(nèi)部爆炸載荷作用下的材料動(dòng)力學(xué)行為。在測(cè)試材料力學(xué)性能的實(shí)驗(yàn)中，對(duì)試件的幾何設(shè)計(jì)有著嚴(yán)格的要求，以避免不合適的試件設(shè)計(jì)帶來的非材料因素的影響。湯鐵鋼等[4-7]討論了爆炸膨脹環(huán)一維應(yīng)力假定，爆炸膨脹環(huán)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法以及爆炸膨脹環(huán)界面尺寸效應(yīng)等問題，并指出在爆炸膨脹環(huán)實(shí)驗(yàn)研究中，適當(dāng)增加膨脹環(huán)的寬度既可以提高加載應(yīng)變率，又可以增加膨脹環(huán)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。在此理念上，本文中發(fā)展了用于研究材料高應(yīng)變率拉伸本構(gòu)的膨脹柱殼樣品設(shè)計(jì)。R.H.Warnes等[8]曾指出，膨脹環(huán)實(shí)驗(yàn)中應(yīng)變率在實(shí)驗(yàn)過程中減小，這并不是一個(gè)缺點(diǎn)，可以通過多次實(shí)驗(yàn)畫出給定材料的應(yīng)力-應(yīng)變-應(yīng)變率曲線。遺憾的是在其分析過程中依然采用了數(shù)據(jù)窗口中心的數(shù)據(jù)來計(jì)算應(yīng)變率，這實(shí)際上依舊是采用平均應(yīng)變率的概念，并未在應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系中剝離應(yīng)變率變化帶來的影響。尤其是對(duì)于應(yīng)變率敏感材料，其動(dòng)態(tài)力學(xué)性能將會(huì)隨應(yīng)變率較小的變化而發(fā)生較大的改變，在材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系測(cè)試中需要將應(yīng)變率的影響分離，進(jìn)而獲得更清晰的認(rèn)識(shí)?；羝战鹕瓑簵U(SHPB)實(shí)驗(yàn)中，可以通過控制加載實(shí)現(xiàn)恒應(yīng)變率條件下的測(cè)試[9]，但膨脹環(huán)實(shí)驗(yàn)中的非恒定應(yīng)變率是由實(shí)驗(yàn)的基本原理確定的，變化范圍太大，可能已經(jīng)不能繼續(xù)選擇平均應(yīng)變率這一概念。

為了獲得膨脹環(huán)、膨脹柱殼的恒定應(yīng)變率本構(gòu)關(guān)系，本文中首先分析爆炸柱殼實(shí)驗(yàn)中非恒定應(yīng)變率的由來；隨后針對(duì)金屬柱殼膨脹斷裂過程中隨機(jī)裂紋的萌生，設(shè)計(jì)預(yù)置中心圓孔的樣品，成功避免隨機(jī)裂紋萌生對(duì)測(cè)速的干擾；最后給出獲得金屬柱殼恒定應(yīng)變率下本構(gòu)關(guān)系的方法。

1 膨脹柱殼非恒定應(yīng)變率起源

中心線起爆加載下的膨脹環(huán)、膨脹柱殼實(shí)驗(yàn)中(實(shí)驗(yàn)裝置示意圖見文獻(xiàn)[4])，一般采用試樣外壁的徑向速度歷史反演應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，膨脹柱殼的運(yùn)動(dòng)分析如圖1所示。

圖1 膨脹柱殼運(yùn)動(dòng)分析示意圖Fig.1 Schematic of dynamic analysis of expanding cylinder

在柱殼中心附近沿著z軸選取高度為dz的范圍，在自由飛行階段，金屬柱殼僅在環(huán)向應(yīng)力σθ作用下做減速運(yùn)動(dòng)，假定材料不可壓，在靠近柱殼中心附近局域沿軸向的變形可以忽略不計(jì)。環(huán)向流動(dòng)應(yīng)力、應(yīng)變、應(yīng)變率分別為(理論分析類似于膨脹環(huán)，見文獻(xiàn)[5])：

(1)

(2)

(3)

式中：ρ0為材料密度，r0為初始外半徑，r為隨時(shí)間變化的膨脹半徑，vr為瞬時(shí)速度。柱殼自由飛行階段，近似為平面應(yīng)變狀態(tài)[10]，σz=(σr+σθ)/2，σr=0，等效應(yīng)力可寫為：

(4)

假定體積不可壓，應(yīng)變之間的關(guān)系滿足：

εz=0

(5)

εr=-εθ

(6)

因此，等效塑性應(yīng)變可寫為：

(7)

典型的膨脹柱殼外壁徑向速度曲線如圖2(a)所示，由公式(3)得到對(duì)應(yīng)的應(yīng)變率隨時(shí)間的變化，如圖2(b)所示。應(yīng)變率在自由膨脹階段，從1.0×104s-1遞減至5.0s-1左右，在建模過程中，不能簡單采用應(yīng)變率平均值描述材料的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

圖2 膨脹柱殼典型的速度、應(yīng)變率隨時(shí)間的變化曲線Fig.2 Curves for typical velocity and strain rate of expanding cylinder

應(yīng)變率隨著時(shí)間減小，是由膨脹環(huán)、柱殼實(shí)驗(yàn)基本原理決定的，在實(shí)驗(yàn)中無法避免。直接采用速度歷史獲得的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系本質(zhì)上不同于應(yīng)變率下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。一般地，我們希望獲得某一恒定應(yīng)變率下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，以便建模；然而，由于爆炸膨脹環(huán)、柱殼特殊的幾何結(jié)構(gòu)，造就了在整個(gè)膨脹變形過程中，應(yīng)變率的非恒定性。為此，我們將通過一組20鋼爆炸膨脹柱殼實(shí)驗(yàn)，建立獲得恒定應(yīng)變下應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的方法。

2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

膨脹柱殼實(shí)驗(yàn)裝置示意圖如圖3(a)所示。諸實(shí)驗(yàn)中驅(qū)動(dòng)器為20鋼，幾何尺寸不變，炸藥采用泰安粉末均勻填裝于裝藥套筒，裝藥高度為56 mm，實(shí)驗(yàn)參數(shù)如表1所示，表中r、R、h、D、m、ρ分別表示試樣內(nèi)徑、試樣外徑、試樣高度、裝藥直徑、裝藥質(zhì)量、裝藥密度。

實(shí)驗(yàn)中除了裝藥量不同外，其他狀態(tài)完全一致，其中實(shí)驗(yàn)2、3為重復(fù)性實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)測(cè)試布局示意圖如圖3(b)所示，樣品為含有中心穿透圓孔(直徑為1 mm)的金屬柱殼，測(cè)速點(diǎn)位于圓孔正對(duì)的位置，以避免在測(cè)速點(diǎn)鄰近區(qū)域萌生裂紋，從而影響速度測(cè)量(不含預(yù)置缺陷的金屬柱殼在內(nèi)部載荷作用下，裂紋將隨機(jī)萌生，測(cè)速點(diǎn)附近可能會(huì)受到局域卸載波的干擾，具體見實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析)。另一方面，我們采用高速攝影技術(shù)觀測(cè)預(yù)置缺陷局部的變形、裂紋萌生及裂紋擴(kuò)展等現(xiàn)象，以此估計(jì)預(yù)置缺陷對(duì)測(cè)速點(diǎn)的干擾。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

采用激光干涉測(cè)速技術(shù)(DPS)，獲得了20鋼柱殼實(shí)驗(yàn)1～4的外壁徑向膨脹速度歷史，如圖4所示。20鋼柱殼自由膨脹階段持續(xù)約40～50 μs，由于裝藥量不同，20鋼柱殼的徑向速度響應(yīng)不同，其中實(shí)驗(yàn)2與實(shí)驗(yàn)3為重復(fù)性實(shí)驗(yàn)，在結(jié)構(gòu)完全一致、裝藥量完全相同的情況下，由于裝藥密度微小的差異(0.6%)，速度差異約為3.1%。從速度曲線可以得到，自由膨脹階段，20鋼實(shí)驗(yàn)1～4的應(yīng)變率變化范圍分別為6.14×103～0 s-1、8.62×103～8.1×102s-1、8.76×103～8.1×102s-1、1.01×104～2.6×103s-1。在如此大的應(yīng)變率變化情況下，如果采用自由膨脹數(shù)據(jù)窗口中心處的應(yīng)變率作為平均值，是不合適的。

通過回收樣品可以看出，如圖5所示，實(shí)驗(yàn)1中，圓孔經(jīng)歷大變形之后，局部萌生裂紋，裂紋微小的擴(kuò)展(約0.5 mm)后，裂紋滯止；實(shí)驗(yàn)2與實(shí)驗(yàn)3變形較大，但均未完全破壞；實(shí)驗(yàn)4中樣品完全破碎。

圖4 20鋼柱殼徑向速度曲線Fig.4 Velocity along radial direction of 20 steel expanding cylinder

圖5 20鋼實(shí)驗(yàn)1～4回收樣品Fig.5 Recovered samples of 20 steel experiments

高速攝影采用前照明，每幅之間間隔2 μs。圖6給出了實(shí)驗(yàn)3高速攝影圖像，可以清晰地看到預(yù)置圓孔局域的膨脹變形，裂紋萌生、擴(kuò)展及止裂等現(xiàn)象。

圖6 實(shí)驗(yàn)3膨脹斷裂高速分幅圖像Fig.6 High-speed image frames of expanding and fracture

在裝置的動(dòng)作過程中，炸藥在中心線起爆之后約4 μs沖擊波傳遞至試樣，由實(shí)驗(yàn)3高速攝影圖像可以看出，在20 μs時(shí)，裂紋萌生，隨后裂紋擴(kuò)展，當(dāng)擴(kuò)展至一定長度后裂紋止裂。隨著裂紋的擴(kuò)展，所發(fā)射的Mott卸載波將會(huì)繞射至速度的測(cè)試點(diǎn)，下面我們將估計(jì)Mott卸載波對(duì)速度測(cè)試的影響。

依據(jù)公式(1)～(2)可以得到實(shí)驗(yàn)1～4的環(huán)向應(yīng)力與環(huán)向應(yīng)變隨時(shí)間的變化關(guān)系，再由公式(4)、(7)可以獲得等效塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，如圖7(a)所示。需要注意的是，此處的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線上不同點(diǎn)的應(yīng)變率不同，這種數(shù)據(jù)對(duì)于建模而言，使用比較困難。

圖7 應(yīng)力應(yīng)變曲線及恒定應(yīng)變率數(shù)據(jù)點(diǎn)分布Fig.7 Curve of stress vs. strain and distribution of constant strain rate dates

本輪20鋼實(shí)驗(yàn)1～4的應(yīng)變率變化范圍分別為6.14×103～0 s-1、8.62×103～8.1×102s-1、8.76×103～8.1×102s-1、1.01×104～2.6×103s-1，其公共應(yīng)變率范圍為6.14×103～2.6×103s-1。為了獲得恒定應(yīng)變率下的流動(dòng)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，原則上可以選擇4發(fā)實(shí)驗(yàn)公共應(yīng)變率范圍內(nèi)的任意數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行處理。不失一般性，選擇5.5×103、5.0×103、4.5×103、4.0×103、3.5×103、3.0×103s-1等6組應(yīng)變率點(diǎn)，盡可能均勻覆蓋公共應(yīng)變率范圍，如圖7(b)所示?？梢钥闯觯S著應(yīng)變率的線性增加，流動(dòng)應(yīng)力準(zhǔn)線性增加，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)展現(xiàn)出明顯的應(yīng)變率效應(yīng)。

標(biāo)準(zhǔn)的JC本構(gòu)方程為

(8)

(9)

并采用修正后的JC本構(gòu)方程擬合6組應(yīng)變率點(diǎn)，如圖8所示。

圖8 恒定應(yīng)變率下的應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.8 Stress-strain curves at constant strain rates

最終確定20鋼在拉伸加載下應(yīng)變率為3.0×103～5.5×103s-1時(shí)的JC本構(gòu)參數(shù)為:A=0.25 GPa、B=0.54 GPa、n=0.31、c=0.002、d=5×10-5。從圖8可以看出，采用應(yīng)變率修正后的JC本構(gòu)方程，可以更好的擬合20鋼柱殼在拉伸加載下的寬應(yīng)變率范圍下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。需要說明的是，公式(9)是一個(gè)單調(diào)遞增函數(shù)，在應(yīng)變較大時(shí)無法描述應(yīng)變軟化特征。

上述數(shù)據(jù)處理方法，通過一組不同載荷強(qiáng)度下膨脹柱殼的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，在其公共的應(yīng)變率范圍內(nèi)選擇了6組應(yīng)變率下的應(yīng)力應(yīng)變數(shù)據(jù)，通過擬合，獲得了恒定應(yīng)變率下的20鋼柱殼拉伸應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，這種處理手段避免了膨脹環(huán)、膨脹柱殼實(shí)驗(yàn)中應(yīng)變率變化范圍過大的缺陷。另一方面也發(fā)現(xiàn)，利用膨脹環(huán)、柱殼實(shí)驗(yàn)裝置研究材料的拉伸應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，僅通過單次實(shí)驗(yàn)是無法準(zhǔn)確獲得某一恒定應(yīng)變率下的本構(gòu)關(guān)系。這就要求在相同的裝置結(jié)構(gòu)上，獲得載荷強(qiáng)度存在一定差異的一組數(shù)據(jù)，再通過后期的數(shù)據(jù)處理得到恒定應(yīng)變率下的本構(gòu)關(guān)系。雖然為了獲得恒定應(yīng)變率下的本構(gòu)關(guān)系需要的實(shí)驗(yàn)數(shù)量較多，但回報(bào)卻是非常豐厚的，理論上可以獲得對(duì)應(yīng)應(yīng)變率變化范圍內(nèi)任意恒定應(yīng)變率下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。

4 結(jié) 論

針對(duì)膨脹環(huán)、柱殼實(shí)驗(yàn)中非恒定應(yīng)變率現(xiàn)象，從理論和實(shí)驗(yàn)兩方面進(jìn)行研究，初步得到如下結(jié)論：

(1)分析了膨脹柱殼非恒定應(yīng)變率的來源，指出這一現(xiàn)象是實(shí)驗(yàn)基本原理導(dǎo)致，在實(shí)驗(yàn)中無法避免；

(2)設(shè)計(jì)了預(yù)置中心圓孔的金屬柱殼實(shí)驗(yàn)，可以有效避免隨機(jī)裂紋對(duì)速度測(cè)試的影響；

(3)采用不同載荷下相同結(jié)構(gòu)的膨脹柱殼實(shí)驗(yàn)，建立了獲得恒定應(yīng)變率下本構(gòu)方程的方法，獲得了20鋼柱殼在恒定應(yīng)變率(3.0×103～5.5×103s-1)下的本構(gòu)方程。

感謝張振濤、金山、陳浩玉在實(shí)驗(yàn)開展中的幫助，感謝劉明濤、范誠在本文撰寫過程中的建議。

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(責(zé)任編輯 曾月蓉)

Constitutive equation of expanding cylindrical shell at constant strain rate

Guo Zhaoliang1, Ren Guowu1, Zhang Shiwen1,Tang Tiegang1, Liu Cangli2

(1.InstituteofFluidPhysics,ChinaAcademyofEngineeringPhysics,Mianyang621999,Sichuan,China;2.ChinaAcademyofEngineeringPhysics,Mianyang621999,Sichuan,China)

In this work, taking into account of the interference of random cracks in the expansion process, we designed a cylindrical sample made with a preset hole. Then, using the Doppler pins system (DPS), we obtained some better curves for the cylinder’s radial speed histories. Based on the non-constant strain rate phenomena in the expanding ring and expanding cylinder experiments, we conducted experiments and studied a method for obtaining constitutive equation at constant strain rate. The improved constitutive equation method was used to obtain the modified constitutive equation at constant strain rate for 20 steel.

solid mechanics; constitutive equation; Doppler pins system(DPS); expanding cylindrical shell; constant strain rate

10.11883/1001-1455(2016)05-0583-07

2015-01-12； < class="emphasis_bold">修回日期：2015-05-06

2015-05-06

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11172279,11102191)

郭昭亮(1984— )，男，博士研究生,助理研究員,glogos@caep.cn。

O347.3 <國標(biāo)學(xué)科代碼：13015 class="emphasis_bold"> 國標(biāo)學(xué)科代碼：13015 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A國標(biāo)學(xué)科代碼：13015

A