倪慶樂,王雨時,聞 泉,張志彪

(南京理工大學機械工程學院,南京 210094)

彈丸空氣阻力定律全定義域解析函數經驗公式*

倪慶樂,王雨時,聞 泉,張志彪

(南京理工大學機械工程學院,南京 210094)

為找出1943年彈丸空氣阻力定律、航彈阻力定律在全定義域內的有理解析函數經驗公式,從而便于通過計算機編程進行外彈道數值解算和求解析解,運用1stOpt數學軟件對1943年彈丸空氣阻力定律和航彈阻力定律在其全定義域內進行了曲線擬合,對應各阻力定律得到了通用于全定義域的有理解析函數經驗公式。這些經驗公式均不再分段。其中擬合1943年彈丸空氣阻力定律的經驗公式最大相對誤差為3.271%,擬合高阻和低阻航彈阻力定律的分別為1.914%和3.328%。

外彈道學;經驗公式;空氣阻力;阻力定律;阻力系數

0 引言

在外彈道計算中,空氣阻力系數是重要的參數。目前工程設計中的外彈道解算多數仍采用彈丸彈形系數概念和彈丸空氣阻力定律,并且其精度一般均能滿足工程設計要求[1]。目前身管武器彈丸常用的阻力定律主要是1943年阻力定律,但1943年彈丸空氣阻力定律是以表值形式給出的。為了便于空氣外彈道解算計算機程序編制,并作進一步的解析分析,需要對該表值定律進行曲線擬合,轉換成解析形式。文獻[2]給出的1943年彈丸空氣阻力定律的阻力函數經驗公式,以250 m/s、400 m/s、1 400 m/s為速度節(jié)點將阻力函數曲線分為4段,同樣應用不方便。文獻[3]曾用三次拋物線分段擬合方法給出了1943年阻力定律的解析函數表達式,其誤差雖然不大于4%,但分段過多,在外彈道編程應用中不方便。文獻[4]對文獻[3]的曲線分段擬合方法進行了改進,以跨音速段的最大值為界分亞音速段和超音速段兩段,利用Logistic曲線進行擬合處理,給出了1943年阻力定律的分段解析函數表達式,其最大誤差為5.05%。文獻[5]采用三次B樣條曲線對1943年阻力定律進行擬合,最大誤差為2.2%,但由于是根據遞推定義所做的曲線,對曲線中間點的值只能通過前面點推導得出,不能由一個解析式表達出整條曲線,過程繁瑣,不便于推廣使用。航彈阻力定律也有與此類似的問題。文中為找出1943年阻力定律、航彈阻力定律在全定義域內的直觀的有理解析函數經驗公式,擬運用1stOpt軟件對其進行擬合。

1 曲線回歸理論基礎與1stOpt軟件簡介

1.1 曲線回歸理論基礎

曲線回歸是以最小二乘法分析變量間在數量變化上的特征和規(guī)律的方法,主要用來確定兩個變量間數量變化的某種特定的規(guī)律,估計表示該種曲線關系特點的一些重要參數(極大值、極小值、漸近值等),進行數值內插或理論上的外推。

最小二乘法通過最小化誤差的平方和來尋找數據的最佳函數匹配,將實測值yi與擬合函數對應值yj離差的平方和∑(yi-yj)2最小作為優(yōu)化判據。

相關系數是用以反映變量之間關系密切程度的統(tǒng)計指標,是按積差方法計算,以兩變量與各自平均值的離差為基礎,通過兩個離差相乘來反映兩變量之間的相關程度。相關系數恒小于1,其值越接近于1表明兩者相關程度越高。

方差用來度量隨機變量與其數學期望之間的偏離程度,也可以反映出隨機變量或一組數據的離散程度,方差越大,離散程度越大。設x是一個隨機變量,若E{[x-E(x)]2}存在,則稱E{[x-E(x)]2}為x的方差,其中E(x)表示x的數學期望。

1.2 1stOpt軟件簡介

1stOpt是我國七維高科有限公司獨立開發(fā)的一套數學優(yōu)化分析綜合工具軟件包,主要用于曲線擬合、非線性復雜模型參數估算求解、線性/非線性規(guī)劃等領域。1stOpt軟件不僅操作界面簡單,而且其核心的通用全局優(yōu)化算法克服了當今世界上優(yōu)化計算領域使用迭代法必須給出合適初始值的難題,即不需要用戶給出參數初始值,在絕大多數情況下,僅依靠自身的全局搜索能力,從任意隨機值出發(fā),即可求得最優(yōu)解。

1stOpt擁有強大的非線性回歸功能,可自動搜索最匹配的模型公式。對常用的兩變量及三變量問題,1stOpt模型公式分別預置有超過3 700和近1 000個函數式,且可根據需要自行隨意添加修改。

2 1943年彈丸空氣阻力定律的擬合

2.1 1stOpt軟件自動擬合函數

文獻[6]給出了1943年彈丸空氣阻力定律表值函數,包含了Ma從0～4.9之間的共169組數據(Ma在0.7～2.1之間間隔0.01,Ma在2.1～4.9之間間隔0.1)。在1stOpt軟件代碼框內輸入相應的命令代碼和1943年阻力定律的表值數據,設置好算法后進行擬合,擬合過程采用的算法為麥夸特法+通用全局優(yōu)化法。1stOpt軟件會自動將數據和預置函數進行匹配擬合,并按相關系數由大到小依次列出。

擬合所得的相關系數最高的曲線方程為:

(1)

式中:y為空氣阻力系數;x為馬赫數;p1、p2、p3、p4、p5、p6、p7、p8、p9為待定系數。

擬合所得的待定系數共有15位有效數字,分別是:

p1=0.154 944 442 142 445

p2=-2.645 771 025 713 59

p3=-0.389 894 040 604 623

p4=2.742 885 185 889 92

p5=0.381 002 068 711 428

p6=-1.499 032 921 978 55

p7=-0.237 775 531 351 884

p8=0.471 410 603 010 32

p9=0.114 120 378 908 769

其最大相對誤差為3.355%,方差為2.047 8×10-3,最大相對誤差點在Ma=0.91處。擬合曲線如圖1所示。

圖1 1943年阻力定律擬合曲線

2.2 數據均勻化處理

在2.1節(jié)擬合所依據的數據中,Ma在0.7～2.1之間時間隔0.01,在2.1～4.9之間時間隔0.1,這就造成了2.1～4.9之間的數據在擬合中的權重偏小。為了能使各數值點在擬合中的權重相等,對2.1～4.9之間的數據進行線性插值,使其間隔為0.01,得到共490組數據。利用1stOpt軟件對490組數據進行擬合,得到相關系數最大的方程形式仍同式(1),但擬合所得的待定系數值與式(1)的略有不同:

p1=0.157 182 242 292 442

p2=-2.697 961 914 717 5

p3=-0.422 569 444 115 854

p4=2.834 248 695 049 56

p5=0.448 824 524 761 816

p6=-1.495 221 097 605 56

p7=-0.266 930 620 397 897

p8=0.412 922 615 928 505

p9=0.100 836 885 531 747

其最大誤差為3.906%,方差為2.242×10-3,最大相對誤差點在Ma=0.91處。與2.1節(jié)擬合所得結果比較可知:對數據進行均勻化處理后擬合得到的最大誤差和方差與未進行處理的結果基本相同,因此推薦使用2.1節(jié)所得結果,在后續(xù)擬合中不再進行數據均勻化處理。

2.3 待定系數有效數字位數的選取

由上面所得結果可以看出,擬合所得待定系數的位數較多,不便于計算和應用,因此需要討論待定系數的位數對擬合曲線精度的影響。

不同有效數字位數的待定系數擬合效果的比較列于表1中。從表1可以看出,當待定系數有效數字位數為3～5位時,其擬合效果與最優(yōu)解擬合效果基本上接近,所以在應用中可以將待定系數取3位有效數字。

表1 不同有效數字位數的待定系數擬合效果的比較

2.4 待定系數的優(yōu)化

將所有待定系數按四舍五入法則處理后取5位有效數字所得的擬合曲線與最優(yōu)解擬合曲線雖然很接近,但是仍存在一定的偏差,為此,可依次將其中一個待定系數作為待優(yōu)化項,將其余待定系數賦予5位有效數字的近似值,確定新的擬合方程進行二次擬合,依此來對待定系數進行優(yōu)化。

從表2可以看出,對待定系數進行二次擬合與將

表2 二次擬合與最優(yōu)解取5位有效數字的擬合效果比較

最優(yōu)解取3位有效數字的擬合效果基本相同,因此,1943年彈丸空氣阻力定律的有理式擬合結果為:

(2)

或

(3)

3 航彈阻力定律的曲線擬合

航彈阻力定律分為高阻航彈阻力定律和低阻航彈阻力定律。文獻[7]給出了高阻航彈阻力定律、低阻航彈阻力定律的表值函數,包含了Ma從0～1.5之間的各20組數據。利用相同方法對高阻彈、低阻彈阻力定律進行曲線擬合。擬合所得的相關系數最高的高阻彈阻力定律擬合方程為:y=p1+p2x2+p3x4+p5x8+p6x10+p7x12+

p8x14+p9x16+p10x18+p11x20

(4)

(5)

高阻彈、低阻彈阻力定律擬合方程待定系數取不同位數時擬合效果的比較如表3所列。

由表3可看出,利用此方法可以很好的對高阻航彈阻力定律、低阻航彈阻力定律進行曲線擬合,擬合結果為擬合方程中的待定系數均取5位有效數字,即對于高阻航彈:

y=0.581 98+0.397 84x2-5.088 6x4- 53.419x8+49.707x10-0.020 752x12- 37.437x14+30.065x16-9.889 8x18+ 1.216 4x20

(6)

而對于低阻航彈:

(7)

高阻航彈阻力定律、低阻航彈阻力定律的擬合曲線分別如圖2和圖3所示。其最大相對誤差分別在Ma=0.9和Ma=0.8處。

圖2 高阻航彈阻力定律擬合曲線

圖3 低阻航彈阻力定律擬合曲線

4 結束語

文中利用1stOpt軟件對1943年阻力定律、高阻航彈阻力定律、低阻航彈阻力定律進行了曲線擬合,結果表明:該方法可以很好的擬合各阻力定律,可表

示為一個全定義域內的通用解析函數經驗公式,不再是分段函數,便于計算程序編制和做進一步解析求解;該方法擬合精度也更高,對1943年阻力定律擬合的最大誤差為3.271%,低于兩段Logistic曲線擬合時的最大相對誤差5.05%,對高阻航彈阻力定律擬合的最大誤差為1.914%,對低阻航彈阻力定律擬合的最大誤差為3.328%,均可以滿足彈道解算精度要求。而對于通過風洞試驗和計算流體力學仿真所得的彈丸阻力系數與馬赫數之間的對應數值關系,也可按此方法給出類似的全定義域內的解析函數經驗公式。

[1] 楊翔, 王雨時, 聞泉. 應用阻力系數擬合曲線解析式數值解算外彈道諸元 [J]. 彈箭與制導學報, 2014, 34(5): 151-155.

[2] 浦發(fā), 芮筱亭. 外彈道學 [M]. 修訂本. 北京: 國防工業(yè)出版社, 1989: 39-40.

[3] 王雨時. 外彈道學阻力定律的三次拋物線分段擬合 [C]∥遼寧省兵工學會第5屆學術年會論文, 1994.

[4] 王雨時. 彈丸戰(zhàn)斗部及其破片空氣阻力系數的Logistic曲線分段擬合 [J]. 彈箭與制導學報, 2006, 26(1): 242-244.

[5] 趙靜, 杜忠華, 趙永平, 等. 基于三次B樣條曲線的一維彈道修正彈空氣阻力系數擬合 [J]. 火力與指揮控制, 2015, 40(4): 123-126.

[6] 徐明友. 火箭外彈道學 [M]. 北京: 兵器工業(yè)出版社, 1989: 352.

[7] 浦發(fā), 薛曉中, 程豫生. 航空炸彈彈道學 [M]. 北京: 中國人民解放軍空軍后勤部軍械部, 1986: 41.

Empirical Formulas of Projectile Air Resistance Law in Whole Definition Domain in Analytic Function

NI Qingle,WANG Yushi,WEN Quan,ZHANG Zhibiao

(School of Mechanical Engineering, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

In order to find out rational analytic function empirical formulas of projectile air resistance law and aerial bombs resistance law in 1943 in the whole definition domain to proceed numerical calculation of exterio trajectory and analytical solution by computer programming, using 1stOp mathematical software was used to fit curves of projectile air resistance law in 1943 and aerial bombs resistance law in the whole definition domain. Rational analytic function empirical formulas common to the whole definition domain was got corresponding to the resistance laws. These empirical formulas are no longer segmented. The maximum relative error of empirical formula fitting projectile air resistance law in 1943 was 3.271%, and the maximum relative error of empirical formula fitting high resistance aerial bomb and low resistance aerial bomb air resistance law were 1.914% and 3.328% respectively.

exterior ballistics; empirical formula; air resistance; resistance law; resistance coefficient

2016-03-08

江蘇省2015年度普通高校研究生科研創(chuàng)新(實踐)計劃項目(KYLX15_0334)資助

倪慶樂(1991-),男,河北衡水人,碩士研究生,研究方向:引信設計及其動態(tài)特性的研究。

TJ012.3

A