吳任和，張　策

(1.廣東輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，廣州　510300；2.天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津　300072)

?

基于隨機(jī)概率的并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)可靠性分析*

吳任和1，張策2

(1.廣東輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，廣州510300；2.天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津300072)

摘要：針對(duì)3UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。運(yùn)用齊次坐標(biāo)變換理論推導(dǎo)出其運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解方程。在此基礎(chǔ)上，對(duì)其進(jìn)行微分變換得到位姿輸出誤差正解模型。然后應(yīng)用隨機(jī)概率模擬該機(jī)構(gòu)在不確定因素下，觀測(cè)其位姿輸出誤差的變化情況。基于數(shù)理統(tǒng)計(jì)和機(jī)構(gòu)的許用精度范圍求解該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)可靠度。結(jié)果表明，該機(jī)構(gòu)在正常工作的條件下能夠運(yùn)行可靠、平穩(wěn)。

關(guān)鍵詞：并聯(lián)機(jī)構(gòu)； 運(yùn)動(dòng)學(xué)；隨機(jī)概率；運(yùn)動(dòng)可靠性

0引言

運(yùn)動(dòng)可靠性是評(píng)價(jià)并聯(lián)機(jī)構(gòu)性能的一項(xiàng)重要指標(biāo)，主要是考核機(jī)構(gòu)在不可控因素下機(jī)構(gòu)精度的變化情況。目前，國內(nèi)外大多數(shù)學(xué)者考慮并聯(lián)機(jī)構(gòu)加工制造和裝配存在的公差，驅(qū)動(dòng)構(gòu)件重復(fù)位置精度誤差以及外部因素的存在隨機(jī)性的研究還比較少。夏吉兵，楊強(qiáng)[1-2]等人考慮原始輸入誤差的隨機(jī)性，對(duì)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)可靠性分析；張義民，Choi D H[3-4]等人針對(duì)不同的平面機(jī)構(gòu)，在假定設(shè)計(jì)變量和設(shè)計(jì)參數(shù)服從正態(tài)分布的前提下，建立了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度可靠性分析模型，并對(duì)部分設(shè)計(jì)參數(shù)分布概率未知情況下的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度可靠性穩(wěn)健設(shè)計(jì)問題進(jìn)行了初步探索；孫志禮，楊強(qiáng)[5]等利用ADAMS軟件對(duì)3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)可靠性進(jìn)行了分析并計(jì)算得到該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)可靠性。

本文針對(duì)3-UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)可靠性研究。在對(duì)該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)位置逆解求解的基礎(chǔ)上，對(duì)其進(jìn)行微分變換得到位姿輸出誤差正解模型。然后應(yīng)用隨機(jī)概率統(tǒng)計(jì)求解機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)可靠性。

1并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)描述

圖1　3-UPS/PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

3-UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)主要由定平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)、三條結(jié)構(gòu)完全相同的驅(qū)動(dòng)支鏈和一條恰約束支鏈組成。對(duì)于其中任意一條驅(qū)動(dòng)支鏈來說，其一端以虎克鉸(U副)與定平臺(tái)連接，另一端以球副(S副)與動(dòng)平臺(tái)連接，中間為移動(dòng)副(P副)。對(duì)于中間的恰約束支鏈，其底端與定平臺(tái)固定，頂端以虎克鉸與動(dòng)平臺(tái)連接，中間為移動(dòng)副。其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示。

2機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)求解

2.1坐標(biāo)系的建立

2.2位置逆解分析

采用RPY組合變換表示動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)姿態(tài)。其旋轉(zhuǎn)次序?yàn)椋?/p>

RPY(φ,θ,ψ)=Rot(Z1,φ)Rot(Y1,θ)Rot(X1,ψ)

(1)

該機(jī)構(gòu)沒有繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度，因此φ=0。則旋轉(zhuǎn)變換矩陣R可進(jìn)一步表示為:

(2)

則Ai在定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)OAi可表示為:

OAi=R·Ai+O1

(3)

則其位置逆解為：

Li=OAi-Bi=(R·Ai+O1)-Bi

(4)

根據(jù)(4)式即可得到三條驅(qū)動(dòng)支鏈li的位置逆解的函數(shù)式。

3誤差正解模型的建立

在考慮3-UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的桿長誤差、球鉸鉸點(diǎn)安裝誤差和虎克鉸安裝誤差的情況下，運(yùn)用微分法求解其末端執(zhí)行器的位姿輸出誤差[6-7]。

令li表示動(dòng)支鏈的桿長，ni表示由Bi指向Ai的單位向量。則3-UPS/PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置逆解方程可表示為：

li·ni=OAi-Bi=(R·Ai+O1)-Bi

(5)

對(duì)(5)式左右兩端進(jìn)行微分處理，可得：

dli·ni+li·dni=dR·Ai+dAi·R+dO1-dBi

(6)

(7)

為了建立3-UPS/PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)位姿誤差輸出正解模型，現(xiàn)將(7)式進(jìn)行簡(jiǎn)化處理。

由并聯(lián)機(jī)構(gòu)的微分關(guān)系可得:

dni=Δni·ni

(8)

式中：

(9)

所以：

(10)

(11)

式中δRy，δRx表示坐標(biāo)變換矩陣R分別對(duì)θ，ψ求微分。

上式可寫成：

(12)

令δli=dli,δAi=dAi,δBi=dBi,則(12)式可寫為：

(13)

將(13)式進(jìn)一步整理為：

δl=JX·δD+JP·δm

(14)

式中，

由此可得到3-UPS/PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)位姿誤差輸出正解模型：

(15)

則(15)式可寫為：

δD=KE·δE

(16)

在3-UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)位姿誤差輸出正解模型(16)式中，δD∈R3×1為動(dòng)平臺(tái)末端執(zhí)行器的位姿輸出誤差，KE∈R3×21為考慮該機(jī)構(gòu)的桿長誤差、球鉸鉸點(diǎn)安裝誤差和虎克鉸鉸點(diǎn)安裝誤差的誤差傳遞系數(shù)矩陣，δE∈R21×1為該機(jī)構(gòu)的桿長誤差、鉸點(diǎn)安裝誤差參數(shù)向量[8-9]。

4機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)可靠性分析

4.1機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)可靠性定義及評(píng)價(jià)指標(biāo)

機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)可靠性是指機(jī)構(gòu)在規(guī)定的使用條件下，在規(guī)定的使用期內(nèi)，精確、及時(shí)、協(xié)調(diào)的完成規(guī)定機(jī)械運(yùn)動(dòng)的能力，用概率來度量時(shí)，即為機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)可靠度R?？煽慷萊是機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)可靠性的最常用的評(píng)價(jià)指標(biāo)[10-11]。

設(shè)機(jī)構(gòu)的輸出參數(shù)為Y(t)，是隨機(jī)變量，機(jī)構(gòu)輸出參數(shù)的允許值范圍為[Y下，Y上]，當(dāng)Y下

R=P(Y下

(17)

對(duì)應(yīng)的機(jī)構(gòu)失效概率Pf為：

Pf=1-R=1-P(Y下

(18)

4.2實(shí)例分析

本文在構(gòu)造3-UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)鉸點(diǎn)安裝誤差數(shù)據(jù)與桿長誤差數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，結(jié)合求解其位姿輸出誤差的理論模型，運(yùn)用隨機(jī)概率統(tǒng)計(jì)法來研究在大批量生產(chǎn)該機(jī)構(gòu)時(shí)其末端執(zhí)行器在三個(gè)位姿方向的可靠度。

給定該機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)為：動(dòng)平臺(tái)半徑ra=300mm、定平臺(tái)半徑rb=500mm和初始高度h=1200mm。設(shè)定并聯(lián)機(jī)構(gòu)的鉸點(diǎn)安裝誤差與桿長誤差均服從正態(tài)分布。為了便于分析，假設(shè)鉸點(diǎn)安裝誤差與桿長誤差的均值與方差如表1與表2所示。

表1　批量生產(chǎn)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)誤差抽樣均值

表2　批量生產(chǎn)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)誤差抽樣方差

根據(jù)給定的誤差均值與方差，由概率統(tǒng)計(jì)構(gòu)造30000組符合正態(tài)分布的誤差數(shù)據(jù)作為該機(jī)構(gòu)的誤差樣本。然后根據(jù)該機(jī)構(gòu)位姿輸出誤差理論求解出機(jī)構(gòu)的位姿輸出誤差，對(duì)其進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，進(jìn)而獲得輸出誤差的均值與方差。

圖2　動(dòng)平臺(tái)X軸轉(zhuǎn)角誤差樣本分布圖

圖3　動(dòng)平臺(tái)Y軸轉(zhuǎn)角誤差樣本分布圖

圖4　動(dòng)平臺(tái)Z軸位置誤差樣本分布圖

根據(jù)由蒙特卡洛法求解得到的3-UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端執(zhí)行器在三個(gè)輸出方向的位姿誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算，求解各個(gè)方向產(chǎn)生的誤差的均值與方差如表3所示。

表3　位姿輸出誤差均值與方差

機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)可靠性與許用輸出精度也有關(guān)系，當(dāng)許用輸出精度的范圍較大時(shí)，其可靠性較高，而當(dāng)許用輸出精度的范圍較小時(shí)，其可靠性也會(huì)相應(yīng)的降低。在此以給定該機(jī)構(gòu)X方向與Y軸方向的許用輸出精度為[-0.0003rad,0.0003rad]以及給定Z軸方向的許用精度范圍為[-0.06mm,0.06mm]，來求解機(jī)構(gòu)在各方向的運(yùn)動(dòng)可靠性。

將表3中各方向輸出誤差的均值、誤差與給定的在其相應(yīng)方向的許用輸出精度代入公式并查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得：

(1)X方向的運(yùn)動(dòng)可靠性為:

(2)Y方向的運(yùn)動(dòng)可靠性為:

(3)Z方向的運(yùn)動(dòng)可靠性為：

5結(jié)束語

本文主要對(duì)3-UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)可靠性進(jìn)行了研究，主要完成了以下幾方面工作：

(1)應(yīng)用坐標(biāo)變換法建立了3-UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)位置逆解；

(2)在位置逆解的基礎(chǔ)上，運(yùn)用微分變換法，對(duì)3-UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位姿輸出誤差正解模型進(jìn)行了求解；

(3)根據(jù)求解的位姿輸出誤差正解模型，利用隨機(jī)概率統(tǒng)計(jì)建立了運(yùn)動(dòng)可靠性的求解方法，并對(duì)該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)可靠性進(jìn)行了分析。

[參考文獻(xiàn)]

[1] 夏吉兵,汪永超,趙建平. 基于可拓學(xué)理論的數(shù)控機(jī)床可靠性評(píng)價(jià)研究[J]. 組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù),2015(3):157-160.

[2] 楊強(qiáng)，孫志禮，閆明,等. 改進(jìn)Delta 并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)可靠性分析[J]. 航空學(xué)報(bào)，2008,29(3)：487-491.

[3] Choid H,Yooh H. Reliability analysis of a robot manipulator operation employing single Monte-Carlo simulation[J]. Key Engineering Materials, 2006,321-323(Pt2):1568-1571.

[4] 張義民，黃賢振，賀向東.不完全概率信息牛頭刨床機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度可靠性穩(wěn)健設(shè)計(jì)[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2009,45(4):105-110.

[5] 孫志禮，楊強(qiáng)，閆明,等，3-RPS并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)可靠性仿真研究[J].機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2007,26(6):780-786.

[6] 高猛,李鐵民,鄭浩峻,等. 并聯(lián)機(jī)床鉸鏈制造誤差的補(bǔ)償[J]. 清華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2003,43(5):617-620.

[7] 王曉磊. 3-SPS+SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)誤差建模及靈敏度分析[J].組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù),2014(12):105-108.

[8] Brien J F O，Wen J T. Redundant actuation for improving kinematic manipulability.IEEE International Conference on Robotics and Automation(ICRA)，1999，2:1520-1525.

[9] Stewart D. A Platform with Six Degrees of Freedom [J]. Proceeding of the Institute for Mechanical Engineering, 1965, 180(15): 371-386.

[10] Karouia M, Hervé J M. Asymmetrical 3-dof Spherical Parallel Mechanisms. European Journal of Mechanics A-Solids, 2005(24): 47-57.

[11] 蘇玉鑫,段寶巖.六自由度 Stewart 平臺(tái)運(yùn)動(dòng)精度分析[J].西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2000,27(4):401-403.

(編輯李秀敏)

Kinematic Reliability Analysis of Parallel Mechanism Based on Random Probability

WU Ren-he1，ZHANG Ce2

(1.School of Mechanical Engineering,Guangdong Industry Technical College, Guangzhou 510300, China；2.School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072,China)

Abstract：The kinematics of the 3-UPS-PU parallel mechanism was analyzed and the inverse kinematics solution was derived adopting the homogeneous coordinate transformation theory. The output pose error model was obtained with differential transformation based on previous work. Then the change of the posture error on output was observed under random factors. The mechanism motion reliability was solved in terms of the mathematical statistics and the allowable range accuracy. The results show that the mechanism can work reliably and stably under normal working conditions.

Key words：parallel mechanism; kinematics; random probability; kinematic reliability

中圖分類號(hào)：TH112；TG659

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

作者簡(jiǎn)介：吳任和(1978—)，男，廣東增城人，廣東輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師，碩士，研究方向?yàn)槲⒓{制造、CAD/CAE，(E-mail)wurenhe520@126.com。

*基金項(xiàng)目：廣東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(S2013010011882)

收稿日期：2015-05-10；修回日期：2015-06-05

文章編號(hào)：1001-2265(2016)03-0041-03

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.03.011