◎王義勇

初中數(shù)學(xué)易錯(cuò)題的解析與思考

◎王義勇

在數(shù)學(xué)習(xí)題的解題過程中，因?yàn)轭}目本身或者其它客觀原因會(huì)干擾學(xué)生順利完成解題過程，使學(xué)生們的解題過程產(chǎn)生錯(cuò)誤。分析研究這些錯(cuò)誤的原因，能夠使解題錯(cuò)誤發(fā)生的機(jī)率大大降低。本文就解題的錯(cuò)誤原因展開分析與研究。

初中數(shù)學(xué)；易錯(cuò)題；解析思路

一、概念模糊引起的易錯(cuò)題

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，許多學(xué)生存在著不能快速掌握學(xué)習(xí)方法等問題，而且教師對(duì)于講題過于重視，并未注重學(xué)生對(duì)概念的理解程度，這就會(huì)造成許多學(xué)生面對(duì)易錯(cuò)題時(shí)理解不夠，且自身數(shù)學(xué)知識(shí)體系不完善與不扎實(shí)，從而對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)推理的可靠性與精準(zhǔn)性造成不同程度的影響。比如，在對(duì)下面這道“因式分解”題的概念理解時(shí)，許多學(xué)生會(huì)常犯一下幾種錯(cuò)誤：

（1）因式分解a2＋b2－2ab－1

容易錯(cuò)解為：原式等于（a－b）2－1

分析錯(cuò)誤原因：學(xué)生只是將原式中的部分?jǐn)?shù)字進(jìn)行化解是錯(cuò)誤的根本原因，這造成學(xué)生對(duì)原整式化成積的忽略，這種題型，是初中數(shù)學(xué)中學(xué)生易做錯(cuò)的題型之一。

（2）因式分解（x＋2）2－（2x＋1）2

容易錯(cuò)解為：原式等于（x＋2－2x－1）（x＋2＋2x＋1）＝（x－2x＋1）（x＋2x＋3）

分析錯(cuò)誤原因：學(xué)生在做題時(shí)并未徹底分解第一個(gè)因式（x－2x＋1），徹底分解之后應(yīng)該為（x－1）的因式，學(xué)生在做這類型的數(shù)學(xué)題時(shí)，往往會(huì)忽略這一點(diǎn)，造成這種結(jié)果的原因與概念掌握不扎實(shí)有直接關(guān)系。

二、忽視隱含條件引起的易錯(cuò)題

許多學(xué)生在解題時(shí)，只著眼于題設(shè)中已經(jīng)給出的明顯條件，缺乏挖掘題目中所隱含條件的能力，特別對(duì)某些綜合性的數(shù)學(xué)問題，往往因考慮問題不嚴(yán)密，致使解答時(shí)出現(xiàn)了不完美，因而出錯(cuò)。

例如：在解關(guān)于二次方程、二次函數(shù)的有關(guān)習(xí)題中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)忽略考慮二次項(xiàng)系數(shù)不為零、根的判別式△≥0、頂點(diǎn)位置等這些隱含條件，致使解題時(shí)出錯(cuò)。

例1：已知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍。

錯(cuò)解：因?yàn)樵匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

所以△＞0，即＞0，解得k＞－3

分析：由于忽視隱含在題目中的條件，即，故出現(xiàn)錯(cuò)解。

例2：已知二次函數(shù)y＝2x－4x＋1，求當(dāng)0≤x≤5時(shí)，y的變化范圍．

錯(cuò)解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2×0－4×0＋1；當(dāng)x＝5時(shí)，y＝2×5－4×5＋1＝31．

所以當(dāng)0≤x≤5時(shí)，1≤y≤31．

分析：錯(cuò)解的原因是對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)缺乏了實(shí)質(zhì)性的理解，忽視了拋物線頂點(diǎn)的位置．事實(shí)上，在拋物線對(duì)稱軸的x＝1左側(cè)，y隨著x的增大而減小，于是當(dāng)0≤x≤1時(shí)，y的范圍是：－1≤y≤1，而在拋物線對(duì)稱軸的x＝1右側(cè)，y隨著x的增大而增大，于是當(dāng)1≤x≤5時(shí)，y的范圍是：－1≤y≤31，因此綜上可知：當(dāng)0≤x≤5時(shí)，y的變化范圍是－1≤y≤31．

三、公式不熟悉引起的易錯(cuò)題

公式是解數(shù)學(xué)題的基礎(chǔ)，要想學(xué)好數(shù)學(xué)，必須能夠掌握并靈活應(yīng)用公式。有些學(xué)生學(xué)習(xí)公式時(shí)死記硬背，看似會(huì)用公式，實(shí)則對(duì)公式不熟悉，對(duì)公式的理解只限于表面。極容易因?yàn)樾屡f公式的前后干擾，造成所學(xué)知識(shí)混淆而產(chǎn)生錯(cuò)誤。

例如：下列計(jì)算中正確的有（）：

①（a＋b）2＝a2＋b2；②（x－4）2＝x2－4x＋16；③（5a－1）（－5a－ 1）＝25a2－1；④（－a－b）2＝a2＋2ab＋b2

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)

錯(cuò)解：B或C或D

錯(cuò)誤分析：本題主要考查了完全平方公式和平方差公式的靈活應(yīng)用。

①（a＋b）2應(yīng)等于a2＋2ab＋b2，而不是a2＋b2。中間一項(xiàng)是兩數(shù)乘積的2倍，不能漏掉。

②（x－4）2應(yīng)等于x2－8x＋16，而不是x2－4x＋16。中間一項(xiàng)是兩數(shù)乘積的2倍，不能漏掉。

③（5a－1）（－5a－1）應(yīng)等于1－25a2，而不是25a2－1。－1在兩括號(hào)中符號(hào)沒變，相當(dāng)于公式中的第一個(gè)數(shù)，5a在兩括號(hào)中符號(hào)改變了，相當(dāng)于公式中的第二個(gè)數(shù)。先改寫成（－1＋5a）（－1－5a），就不難做對(duì)了。

正解：A

糾正措施：在教學(xué)時(shí)，絕不能簡(jiǎn)單的把公式拋給學(xué)生。應(yīng)重視公式的形成過程，通過推導(dǎo)、數(shù)形結(jié)合等方式，應(yīng)重視公式的形成過程，通過推導(dǎo)、數(shù)形結(jié)合等方式，引導(dǎo)學(xué)生體悟公式的本質(zhì)特征，從而增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用公式的能力。

四、重視默認(rèn)條件引起的易錯(cuò)題

很多學(xué)生在解題時(shí)，往往根據(jù)自身的解題經(jīng)驗(yàn)，會(huì)不知不覺地誤將一些自己默認(rèn)的條件附加在已知題設(shè)上，或者是將一些根據(jù)特殊情況得出的結(jié)論作為解題的依據(jù)，甚至還有部分學(xué)生想當(dāng)然，會(huì)自己制造出某些來路不明的條件附送在已知條件上，當(dāng)這些條件輕易去用時(shí)，自然會(huì)出現(xiàn)某些不合理、不嚴(yán)密的結(jié)論，從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。

例如：在運(yùn)用等腰三角形的“三線合一”這一性質(zhì)解題時(shí)，學(xué)生容易忽略等腰三角形這個(gè)前提條件。

例4：已知，如圖3，在△ABC中，D為BC中點(diǎn)，AD平分∠BAC．

求證：AD⊥BC．

錯(cuò)證：∵AD為BC邊上的中線，AD平分∠BAC（已知）

∴AD⊥BC（等腰三角形三線合一）

分析：因?yàn)閷W(xué)生在解題時(shí)，對(duì)等腰三角形的“三線合一”這一結(jié)論已經(jīng)耳熟能詳，但忽略了“三線合一”運(yùn)用的前提是此三角形必須為等腰三角形，因此在解題時(shí)往往會(huì)把等腰三角形這個(gè)條件附加在已知條件上，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤解．

此題的正確解法思路不唯一，但不能直接根據(jù)已知條件證明△ABD≌△ACD．

思路一：從“中點(diǎn)延長(zhǎng)法”的思路去考慮，如圖4，根據(jù)證明△ABD≌△ECD（SAS）后再證明．

思路二：應(yīng)用“中點(diǎn)延長(zhǎng)法”，證明四邊形ABEC為菱形，根據(jù)菱形性質(zhì)，從而得證．

思路三：可以作DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AB于點(diǎn)F如圖5，根據(jù)AD為中線得S＝S，又由角平分線的性質(zhì)得DE＝DF，從而得證．

這種類似的錯(cuò)誤主要是默認(rèn)了已知三角形為等腰三角形，原因是學(xué)生思維有一定的障礙，他們?cè)谝阎膱D形中沒有想到運(yùn)用輔助線，找不到全等的條件，故會(huì)想當(dāng)然地附加條件來證明全等。

五、結(jié)束語

解數(shù)學(xué)題一定要嚴(yán)謹(jǐn)、周密，既不能“丟解”，又不能“增解”，許多題目中，命題者經(jīng)常會(huì)刻意設(shè)置陷阱，以考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性。因此在平時(shí)的教學(xué)中，利用“易錯(cuò)題”作為范例來幫助學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真、全面地考慮問題的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)習(xí)題縝密、周全的分析能力。

（作者單位：江西省德安縣第二中學(xué) 330400）