段夢(mèng)雅,吳　濤,b,馬　闖

(安徽大學(xué) a.數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，b.教育部計(jì)算智能與信號(hào)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥 230039)

?

多值區(qū)間直覺(jué)模糊軟集

段夢(mèng)雅a,吳濤a,b,馬闖a

(安徽大學(xué) a.數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，b.教育部計(jì)算智能與信號(hào)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥 230039)

摘 要：軟集理論作為一種處理不確定性問(wèn)題的新數(shù)學(xué)工具，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)不確定性理論在參數(shù)不足的缺陷，近年來(lái)在理論上得到長(zhǎng)足發(fā)展，但是忽略了元素的像為多值且隸屬度和非隸屬度為區(qū)間數(shù)情形的討論。將多值直覺(jué)模糊軟集推廣到多值區(qū)間直覺(jué)模糊軟集，并給出了多值區(qū)間直覺(jué)模糊軟集的一些運(yùn)算(交，并，補(bǔ))，討論了其相應(yīng)的一些性質(zhì)，從而能更好的描述和求解不確定問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：模糊軟集;多值直覺(jué)模糊集;多值區(qū)間直覺(jué)模糊軟集

自1965年Zadeh提出了模糊集[1]的概念后，1986年Atanassovt提出直覺(jué)模糊集[2]的概念，和傳統(tǒng)的模糊集相比較,直覺(jué)模糊集考慮了隸屬度、非隸屬度和猶豫度。而由于客觀世界存在復(fù)雜性和不確定性，直覺(jué)模糊集中的隸屬度和非隸屬度難以用精準(zhǔn)的數(shù)字來(lái)表示，于是Atanassov 提出了用區(qū)間數(shù)[3]來(lái)表示，同時(shí)提出區(qū)間模糊集的概念。然而隨著科學(xué)的不斷發(fā)展,人們發(fā)現(xiàn)，用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)工具來(lái)描述和分析一些不確定性問(wèn)題存在很多問(wèn)題，直到1999年Molodtsov提出了軟集理論[4]，這一重大研究成功彌補(bǔ)了傳統(tǒng)模糊集理論在參數(shù)上的缺陷。現(xiàn)如今，軟集理論作為一種新的數(shù)學(xué)工具被廣泛運(yùn)用到經(jīng)濟(jì)、工程和環(huán)境的問(wèn)題中，和粗糙集理論、模糊集理論、區(qū)間數(shù)學(xué)作為數(shù)學(xué)工具來(lái)處理不確定性問(wèn)題。文獻(xiàn)[5]將軟集理論與數(shù)據(jù)分析結(jié)合，文獻(xiàn)[6]研究了軟集理論與預(yù)測(cè)的聯(lián)系，文獻(xiàn)[7-9]將軟集理論運(yùn)用到?jīng)Q策中去。在那么多的軟集理論研究當(dāng)中，其中軟集與模糊集的融合是一種重要的研究方向，文獻(xiàn)[10]將模糊集與軟集融合提出了模糊軟集，文獻(xiàn)[11]將直覺(jué)模糊集與軟集融合提出了直覺(jué)模糊軟集，文獻(xiàn)[12]提出區(qū)間型直覺(jué)模糊軟集。

基于對(duì)同一個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象不同的專家給出的結(jié)果不同，同一個(gè)專家從不同的角度來(lái)判斷得到的結(jié)果也是不同的，張善文和S.Sebastian等人先后提出多值直覺(jué)模糊集的概念[13-14]。直到2014年江立輝等人將多值直覺(jué)模糊集與軟集結(jié)合，提出了多值直覺(jué)模糊軟集的概念[15]并研究了其相關(guān)性質(zhì)。本文鑒于Atanassov、et al的思想，提出了多值區(qū)間直覺(jué)模糊集的概念，更能完善的描述客觀問(wèn)題，為解決實(shí)際問(wèn)題提供了另一種方式，同時(shí)討論了其相關(guān)的一些性質(zhì)。

1基本概念

定義1(軟集)[4]設(shè)U是一個(gè)非空有限集合，E是一個(gè)參數(shù)集，P(U)表示U的冪集，A?E。設(shè)F:A→P(U)為一個(gè)映射，則稱(F,A)是U上的軟集。

定義2(模糊軟集)[10]設(shè)U是非空論域，E是一個(gè)參數(shù)集,I=[0,1],IU表示U上所有模糊集的全體，則稱序數(shù)對(duì)(F,E)為論域U上的模糊軟集(FSs),其中F:E→IU為參數(shù)集E到IU的映射，即對(duì)?e∈E,F(e)={(u,μF(e)(x))|u∈U}∈IU其中，μF(e)(u)表示元素u屬于模糊集F(e)的隸屬度。

μA(u)?[0,1]νA(u)?[0,1],u∈U,

且滿足:

supμA(u)+supνA(u)≤1,u∈U

顯然，若infμA(u)=supμA(u)且infνA(u)=supνA(u)，則區(qū)間直覺(jué)模糊集退化為直覺(jué)模糊集。

定義5(多值直覺(jué)模糊軟集)[15]設(shè)U是非空論域，E是非空集合，A?E。設(shè)F:A→MkIFS(U)，其中MkIFS(U)為k維多值直覺(jué)模糊軟集，則稱(F,A)為多值直覺(jué)模糊軟集。記為：

其中μij(ui)∈[0,1],i=1,2…s,j=1,2…k。

2多值區(qū)間直覺(jué)模糊軟集

定義6設(shè)U是一個(gè)論域，E是一個(gè)參數(shù)集，設(shè)F:A→MkIVIFS(U))是一個(gè)的映射，其中MkIVIFS(U)表示U的K維多值區(qū)間直覺(jué)模糊集，A?E,則稱(F,A)為U上的K維多值直覺(jué)模糊軟集。

從定義上可以看出，多值區(qū)間直覺(jué)模糊軟集是參數(shù)到MkIVIFS(U)上的映射。它是論域U上多值區(qū)間直覺(jué)模糊集的子集構(gòu)成的參數(shù)族。對(duì)于?e∈E,F(e)可以被看作是一組參數(shù)為e的多值區(qū)間直覺(jué)模糊軟集(F,A)中的元素。

可記作：

其中μij(ui)?[0,1],νij(ui)?[0,1] 且滿足supμij(ui)+supνij(ui)≤1,ui∈U。

特別的，當(dāng)k=1多值區(qū)間直覺(jué)模糊集退化為一般的區(qū)間直覺(jué)模糊軟集。

例：假設(shè)U=(u1,u2,u3)是一組手機(jī)，A=(e1,e2,e3) 是一組參數(shù)，其中代表參數(shù)e1“價(jià)格”，包括貴的和便宜，e2代表參數(shù)“像素“，包括大和小，e3代表參數(shù)“電池?fù)p耗”，包括快和慢。可以定義下面的2維多值區(qū)間直覺(jué)模糊軟集：

從上述軟集(F,A)中可以看出手機(jī)屬性的隸屬度和非隸屬度都是用區(qū)間數(shù)來(lái)表示的，用區(qū)間數(shù)來(lái)表示隸屬度與非隸屬度可以更貼合實(shí)際的表達(dá)物體的屬性值，避免了找不到用精準(zhǔn)數(shù)字表示造成的尷尬。另外還可以看出手機(jī)u1大的的隸屬度為[0.3,0.4]，非隸屬度為[0.4,0.6]；小的隸屬度為[0.5,0.6]，非隸屬度為[0.1,0.2]。

定義7設(shè)(F,A)是一個(gè)K維區(qū)間直覺(jué)模糊軟集，F(xiàn)(e)表示參數(shù)e的K維區(qū)間直覺(jué)模糊值集，則在K維多值區(qū)間直覺(jué)模糊軟集(F,A)中所有K維區(qū)間直覺(jué)模糊值集稱為(F,A)的區(qū)間直覺(jué)模糊值族C(F,A),即C(F,A)={F(ε),ε∈A}。

定義8對(duì)于論域U上的兩個(gè)K維區(qū)間直覺(jué)模糊軟集(F,A)和(G,B)，稱(F,A)是(G,B)的是K維區(qū)間直覺(jué)模糊軟子集，記為(F,A)?(G,B)當(dāng)滿足條件：

(1)A?B

(2)?e∈A,F(e)?G(e)即對(duì)?ui∈U,有μijF(e)(ui)?μijG(e)(ui),νijF(e)(ui)?νijG(e)(ui), 則稱(F,A)是(G,B)的子集。

定義9 設(shè)(F,A)和(G,B)是論域U上兩個(gè)K維區(qū)間直覺(jué)模糊軟集，如果(F,A)?(G,B),且(G,B)?(F,A),則稱(F,A)和(G,B)相等，記為(F,A)?(G,B)。

定義12定義兩個(gè)K維區(qū)間直覺(jué)模糊軟集(F,A),(G,B)的“交”運(yùn)算為(F,A)∩(G,B)=(H,A×B)，其中H(δ,ε)=F(δ)∩G(ε)，?(δ,ε)∈A×B,即：

μijH(δ,ε)(u)=μijF(δ)∩G(ε)(u)=[min{infμijF(δ)(u),infμijG(ε)},min{supμijF(δ)(u),supμijG(ε)}],

νijH(δ,ε)(u)=νijF(δ)∩G(ε)(u)=[max{infνijF(δ)(u),infνijG(ε)},max{supνijF(δ)(u),supνijG(ε)}]

定義13我們定義兩個(gè)K維區(qū)間直覺(jué)模糊軟集(F,A),(G,B)的“并”運(yùn)算為：

((F,A)∪(G,B)=(O,A×B)，其中O(δ,ε)=F(δ)∨G(ε)，?(δ,ε)∈A×B，

即：μijO(δ,ε)(u)=μijF(δ)∪G(ε)(u)=[max{infμijF(δ)(u),infμijG(ε)},max{supμijF(δ)(u),supμijG(ε)}],

νijO(δ,ε)(u)=νijF(δ)∪G(ε)(u)=[min{infνijF(δ)(u),infνijG(ε)},min{supνijF(δ)(u),supνijG(ε)}]

定義14K維區(qū)間直覺(jué)模糊軟集(F,A) 的補(bǔ)集記為(F,A)C，且(F,A)C=(FC,A), 其中FC:A→MkIVIFS(U)是一個(gè)映射，滿足：

FC(δ)={<ν(u),μ(u)>|u∈U,δ∈A}

顯然(FC)C=F,((F,A)C)C=(F,A)。

定理(F,A),(G,B)和(E,C)論域U上的兩個(gè)K維多值區(qū)間直覺(jué)模糊軟集，則：

(1) (F,A)∪((G,B)∪(E,C))=((F,A)∪(G,B)∪(E,C));

(F,A)∩((G,B)∩(E,C))=((F,A)∩(G,B))∩(G,C) ;

(2) ((F,A)∪(G,B))C=(F,A)C∩(G,B)C;

((F,A)∩(G,B))C=(F,A)C∪(G,B)C;

(3) (F,A)?(G,A),(F,A)?(E,C)?(F,A)?(G,B)∪(E,C);

(F,A)?(G,B),(F,A)?(E,C)?(F,A)?(G,B)∩(E,C) ;

(4) (F,A)∩((G,B)∪(E,C))=((F,A)∩(G,B))∪((F,A)∩(E,C)) ;

(5) (F,A)∪((G,B)∩(E,C))=((F,A)∪(G,B))∩((F,A)∪(E,C));

(6) (F,A)?(G,B)?(G,B)C?(F,A)C;

(7) ((F,A)C)C=(F,A)

證明 現(xiàn)僅對(duì)(4)進(jìn)行證明，(1)、(2)、(3)、(6)、(7)可以根據(jù)以上補(bǔ)集和交、并集的定義可證明得到，(5)的證明仿照(4)。

設(shè)

F(a)={<μijF(a)(ui),νijF(a)(ui)>},

G(b)={<μijG(b)(ui),νijG(b)(ui)>},

E(c)={<μijE(c)(ui),νijE(c)(ui)>}

則，

min{infμijF(a)(ui),max{infμijG(b)(ui),infμijE(c)(ui)}}=

max{min{infμijF(a)(ui),infμijG(b)(ui)},min{infμijF(a)(ui),infμijE(c)(ui)}};

同樣的，

min{supμijF(a)(ui),max{supμijG(b)(ui),supμijE(c)(ui)}}=

max{min{supμijF(a)(ui),supμijG(b)(ui)},min{supμijF(a)(ui),supμijE(c)(ui)}};

又，

max{infνijF(a)(ui),min{infνijG(b)(ui),infνijE(c)(ui)}}=

min{max{infνijF(a)(ui),infνijG(b)(ui)},max{infνijF(a)(ui),infμijE(c)(ui)}};

同樣的，

max{supνijF(a)(ui),min{supνijG(b)(ui),supνijE(c)(ui)}}=

min{max{supνijF(a)(ui),supνijG(b)(ui)},max{supνijF(a)(ui),supμijE(c)(ui)}};

所以，(F,A)∩((G,B)∪(E,C))=((F,A)∩(G,B))∪((F,A)∩(E,C))

3結(jié)束語(yǔ)

自軟集的理論的提出，紛紛受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，尤其是與模糊理論的融合，使得在描述和解決問(wèn)題上的能力得到很大提升。多值直覺(jué)模糊軟集的提出讓我們學(xué)會(huì)從不同角度來(lái)考慮問(wèn)題，本文在此基礎(chǔ)上考慮了隸屬度和非隸屬度為區(qū)間數(shù)的情況，從而提供了另一種解決不確定性問(wèn)題的方法。

參考文獻(xiàn)：

[1]William M，Lee M D.Hepatitis B Virus Infection[J].New England Journal of Medicine，1997，337(24)：1733-1745.

[2]Atanassov K．Intuitionistic Fuzzy Sets[J]．Fuzzy Sets and Systems,1986,20(1):87-96.

[3]ATANASSOV K,GARGOV G. Interval-valued Intuitionistic Fuzzy Sets[J]. Fuzzy Sets and Systems, 1989,31(3):343-349.

[4]Molodtsov D.Soft Set Theory-first Results[J].Computer and Mathematics with Applications，1999,37(4):9-31.

[5]Zou Y,Xiao Z.Data Analysis Approaches of Soft Sets under Incomplete Information[J].Knowledge-Based Syst, 2008, 21(8):941-945.

[6]Xiao Z，Gong K，Zou Y.A Combined Forecasting Approach Based on Fuzzy Soft Sets[J].Computers and Mathematics with Applications,2009,228(1):326-333.

[7]Das P K, Borgohain R.An Application of Fuzzy Soft Set in Multicriteria Decision Making Problem[J].International Journal of Computer Applications,2012,38(12):33-37.

[8]Maji P K,Biswas R,Roy A R.Soft Set Theory[J].Computers and Mathematics with Applications,2003,45(4):555-562.

[9]Maji P K,Biswas R,Roy A R.An Application of Soft sets in a Decision Making Problem[J].Computers and Mathematics with Applications,2002,44(8/9):1077-1038.

[10] Feng Feng,Young Bae Jun.An Adjustable Approach to Fuzzy Soft Set Based Decision Making [J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2010,234:10-20.

[11] Jiang Y CH,Tang Y,Chen Q M.An Adjustable Approach to Intuitionsitic Fuzzy Soft Sets Based Decision Making [J].Applied Mathematical Modeling,2011,35:824-836.

[12] Jiang Y CH,Tang Y.Interval-valued Intuitionistic Fuzzy Soft Sets and Theirbproperties [J]. Computers and Mathematics with Applications,2010,60:906-918.

[13] Sebastian S,Ramakrishnan T V.Multi-fuzzy Sets:an Extension of Fuzzy Sets[J].Fuzzy Information，2011,11(1)：35-43.

[14] 張善文，李曉曼，雷英杰.多值直覺(jué)模糊集定義[J].計(jì)算機(jī)科學(xué)，2008,35(1):176-177.

[15] 江立輝，陳華友,丁芳潔，等,多值直覺(jué)模糊集[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2014,50(23):114-117.

[責(zé)任編輯：張永軍]

Multi-valued Interval Intuitionistic Fuzzy Soft Set

DUAN Meng-yaa，WU Taoa，b，MA Chuanga

(a. School of Mathematical Sciences, b. Key Laboratory of Intelligent Computing & Signal Processing Ministry of Education, Anhui University, Hefei 230039, China)

Abstract:As a new mathematical tool to deal with uncertainty problems, soft set theory makes up for the shortages of the traditional uncertainty theory in parameters, and its theory and applications have get great progress. But the case that elements mapping are multiple value and the membership and non-membership are interval numbers has not been discussed. Multi-valued intuitionistic fuzzy soft set will be extended to multi-valued interval intuitionistic fuzzy soft set in this article, the operations of multi-valued interval intuitionistic fuzzy soft set and their properties are presented. Multi-valued interval intuitionistic fuzzy soft set can describe the practical uncertainty issue better.

Key words:fuzzy soft set; multi-valued intuitionistic fuzzy; multi-valued interval intuitionistic fuzzy soft set

中圖分類號(hào)：O159

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-162X(2016)01-0009-04

作者簡(jiǎn)介：段夢(mèng)雅(1990—)，女，安徽亳州人，安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院2013級(jí)碩士研究生，研究方向：智能計(jì)算和不確定理論；吳濤(1970—)，男，安徽阜陽(yáng)人，安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授，博士，研究方向：智能計(jì)算和不確定理論。

基金項(xiàng)目：安徽省高等學(xué)校省級(jí)自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(KJ2013A033)、安徽大學(xué)研究生學(xué)術(shù)創(chuàng)新研究項(xiàng)目資助。

收稿日期：2015-06-20修回日期：2015-12-11