廣東省廣州市花都區(qū)廣播電視大學 廣東省廣州市花都區(qū)經(jīng)濟貿易職業(yè)技術學校 賴景東

高等數(shù)學解題應用構造函數(shù)法的分析

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在高等函數(shù)中，應用構造函數(shù)法解題是一種重要的解題方法，本文對構造函數(shù)的常用方法及其在高等數(shù)學中的應用進行了分析，以證明等式、不等式、微分求解、函數(shù)方程的根及函數(shù)極限等方面作為重點，對構造函數(shù)法進行了全面的論述。

構造；拉格朗日中值定理；函數(shù)方程；等式

構造函數(shù)法，是一種特殊的方法。主要用來在創(chuàng)建對象時初始化對象，即為對象成員變量賦初始值，也是高等函數(shù)中的一種重要思想，它涵蓋了高等數(shù)學的各個方面，下面我們舉例分析。

一、拉格朗日中值定理

分析法指的是通過對結果一步一步地倒推，構造輔助函數(shù)，幫助分析，最終通過對重新構造函數(shù)的分析證明得出結論的過程。

拉格朗日中值定理的證明：輔助函數(shù)法：

已知f（x）在ab閉區(qū)間內連續(xù)，開區(qū)間內可導，然后構造輔助函數(shù)g（x），代入（a，g（a）），（b，g（b）），可以得到，g（a）=g（b）=f（a），有因為f（x）在閉區(qū)間內連續(xù)，在開區(qū)間可導，所以，根據(jù)羅爾定理可以證明拉格朗日中值定理的存在性，代入后進行化簡和移項可證明定理存在。

［注：微分學中的基本定理之一的拉格朗日中值定理又名拉氏定理，它反映了可導函數(shù)在區(qū)間內某點的局部變化率與閉區(qū)間上的整體的平均變化率的關系。羅爾中值定理的推廣式，同時柯西中值定理的特殊情形也是拉格朗日中值定理，它還是泰勒公式的弱形式（一階展開），在大多數(shù)不等式證明以及部分微分題中，此原理都有廣泛運用。］

二、證明不等式

1.通過單調性證明不等式的存在性

單調性是指，在一定的定義域內，函數(shù)的增減性，它能夠準確地說明函數(shù)在定義域內在值域上的映射變化，在解決不等式問題時，我們可以根據(jù)增減性來判斷極值點的位置，進而證明不等式的存在性。

例1：證明：當x＞0時，x＞ln（1+x）

分析：通過觀察不等式的結構，我們可以了解到，兩個初等函數(shù)構成了這個不等式，因為初等函數(shù)的微分依舊是初等函數(shù)，所以我們可以想到利用做差法來構造輔助函數(shù)，f（x）=x-ln（1+x），通過求導新構造函數(shù)可以得出相應的極值以及在區(qū)間內的單調性，并由此得出結論。

構造輔助函數(shù)的方法就是做差法，它通過移項，做差構造新的函數(shù)，并通過求導構造的新函數(shù)證明單調性，得出極值，從而解決問題。

2.用拉格朗日中值定理證明不等式

高等數(shù)學中，拉格朗日中值定理可以證明許多不等式題目，大多數(shù)題目在使用拉格朗日中值定理前都需要進行化簡和恒等變形，如果經(jīng)過恒等變形之后不等式符合拉格朗日中值公式的條件，就需要考慮使用公式來解決問題。

例2：證明：當x＞1時，ex＞ex。

分析：初步觀察不等式，看似毫無頭緒，但仔細分析后我們可以發(fā)現(xiàn)x∈（1，x'）（x'＞0）在此區(qū)間，應用中值定理，肯定會出現(xiàn)式子ex′-e，原不等式就可以變形為ex-e＞e（x-1）=ex-e/x-1＞e，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)不等式在變形之后滿足拉格朗日中值定理的應用條件，于是我們在區(qū)間內設輔助函數(shù)f（x）=ex，由于它在區(qū)間內滿足拉格朗日中值定理的條件，所以用拉格朗日中值定理即可證明不等式的存在。

3.用最大最小值證明

當不等式求導后得到的數(shù)值在區(qū)間內符號不同需要分段討論時較為麻煩，因此不能夠用單調性來證明，所以我們可以考慮用最值證明。

三、構造函數(shù)求極限

構造輔助函數(shù)能夠簡化函數(shù)，對于一些較為復雜的函數(shù)，我們沒有辦法應用現(xiàn)有知識進行解決，因此，在解決題目的過程中遇到較為復雜的函數(shù)時，我們應該先對現(xiàn)有函數(shù)進行觀察，化簡，在符合構造函數(shù)條件的情況下通過構造函數(shù)來求極限。

例3：設f（x）=1/x+1+1/x+2+…+1/x+x，求limx→∞f（x）

分析：此題的函數(shù)結構如果用其他方式較為麻煩，而且每一項的格式并不相同，因此，我們考慮對每一項進行變形，構造相應的輔助函數(shù)對其進行統(tǒng)一和簡化，再通過對黎曼積分的使用，困難程度就減輕了，因為：通過極限思想，我們得到了黎曼積分，所以很容易把它反用于極限的求解過程中。

結論：當遇到較為困難且復雜的題目時，我們需要先對其構造輔助函數(shù)，使其滿足黎曼積分的應用條件，并易于考慮題目進一步的計算，通過極限思想，我們得到了黎曼積分，所以很容易把它反用于極限的求解過程中，再通過運用我們已學的有關積分知識就可求得極限值。

四、構造函數(shù)求方程的根

解方程事實上就是使f（x）=0，就是求函數(shù)f（x）的零點，所以許多都要通過移項或簡化來構造輔助函數(shù)，使之易于解決后，再應用相對應的原理來解決問題。

例4：已知f（x）在［0，1］上非負連續(xù)，且f（0）=f（1）=0，求證：對任意的實數(shù)a（0＜a＜1），必存在x0∈［0，1］，使得x0+a∈［0，1］且f（x0）=f（x0+a）。

分析：

只要能夠證f（x0）=f（x0+a），即可證f（x0）-f（x0+a）=0，構造輔助函數(shù)F（x）=f（x）-f（x+a）使其在x0處取得的函數(shù)值為0，由此可以證明。

五、計算積分及函數(shù)值

例5：設在［0，1］上，|f''（x）|＜=M，且f（x）在（0，1）內取得最大值，證明|f'（1）|+|f''（0）|＜=M.

f（x）在（0，1）內取得最大值說明存在k屬于（0，1）

使f'（k）=0

利用中值定理得f'（1）-f'（k）=（1-k）f''（a）

其中a是（k，1）中的某數(shù)

所以|f'（1）|=|（1-k）f''（a）|＜=1-k

同理可證|f'（0）|＜=k

相加即得要證的方程

六、構造函數(shù)解決數(shù)列問題

數(shù)列變形之后首先進行觀察，查看數(shù)列是否符合構造函數(shù)的條件，若符合，根據(jù)數(shù)列自身的性質以及形態(tài)構造特定函數(shù)進行求解。

七、證明恒等式

日常解題過程中，我們經(jīng)常運用拉格朗日中值定理來解決恒等式問題，在符合條件的情況下，拉格朗日中值定理相對于其他方法而言較為便捷。移項過程中，我們通常將含有未知量的方程放在等式左邊，將常量放在等式右邊。

例6：證明恒等式arcsinx+arccosx=π/2（-1≤x≤1）

f（x）=arcsinx+arccosx在［-1，1］連續(xù)，在（-1，1）可導

由拉格朗日中值定理可知，

一定能夠在［-1，1］中找到一個c點，使得f（c）=［f（1）-f（-1）］/（1-（-1））又這個式子可以計算得π/2。

拉格朗日中值定理的推論是：如果函數(shù)f（x）在區(qū)間I上的導數(shù)恒為零，則f（x）在區(qū)間I上是一個常數(shù)（arcsinx）’，所以，f’（x）=0成立。

通過對以上實際問題的舉例分析，我們了解到了高等數(shù)學中，函數(shù)構造法的廣泛應用，它能夠通過簡化函數(shù)形式，使較為復雜的問題更加容易解決，并且能夠應用于不等式的證明，拉格朗日中值定理還有微分求解以及數(shù)列問題的解決，并且能夠“大事化小，小事化了”，縮短解題時間，降低解題所需要耗費的精力。

［1］張平芳.淺談高等數(shù)學中的構造函數(shù)方法［J］.咸寧師專學報，2011（26）.

［2］羅榮.輔助函數(shù)在高等數(shù)學中的應用［J］.新疆師范大學學報，2011（17）.

［3］郭靜莉.構造函數(shù)法在高等數(shù)學解題中的應用［J］.赤峰學院學報，2011（25）.