呂愛生

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數(shù)學(xué)透視眼/數(shù)學(xué)百科
CHU ZHONG SHENG SHI JIE

三角函數(shù)發(fā)展史拾趣

呂愛生

三角函數(shù)在中學(xué)教學(xué)中具有十分重要的地位，對于提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)與培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力也起著重要的作用.作為數(shù)學(xué)史的一部分，三角函數(shù)極大地促進了數(shù)學(xué)的應(yīng)用與發(fā)展.同學(xué)們，讓我們一起來感受其產(chǎn)生與發(fā)展的歷史，體會其迷人的價值吧.

一、三角學(xué)與天文學(xué)

三角學(xué)的英文名稱是trigonometry，大約定名于公元1600年，實際源于希臘的三角和測量，其原義為三角形測量（解法），是以研究平面三角形和球面三角形的邊角關(guān)系為基礎(chǔ)，達到測量上應(yīng)用為目的的一門學(xué)科.

早期的三角學(xué)與天文學(xué)是密不可分的.由于航海、遷移、歷法推算以及天文觀察等需要，人們最初以太陽和星星為觀測參考物來確定目標的遠近以及時間的長短，自然地為這種觀測服務(wù)產(chǎn)生一些原始的三角測量.因此可以說，三角學(xué)是緊密地同天文學(xué)相聯(lián)系而邁出自己歷史第一步的.

西方的三角學(xué)始創(chuàng)于公元前約150年，早在公元前300年，古代埃及人已有了一定的三角學(xué)知識，但主要用于測量.公元前2世紀后，希臘天文學(xué)家希帕霍斯為了天文觀測的需要，作了一個和現(xiàn)在三角函數(shù)表相仿的弦表，成為西方三角學(xué)的最早奠基者，這個成就使他贏得了“三角學(xué)之父”的稱謂.

公元2世紀，希臘天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家托勒密繼承希帕霍斯的成就，加以整理發(fā)揮，寫成《天文學(xué)大成》13卷，其中包括從0°到90°每隔半度的弦表及若干等價于三角函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系式，被認為是西方第一本系統(tǒng)論述三角學(xué)理論的著作.在同時代的梅內(nèi)勞斯寫了一本專論球面三角學(xué)的著作《球面學(xué)》，其中包含球面三角形的基本概念和球面三角形許多獨特性質(zhì).他的工作使希臘三角學(xué)達到全盛時期.

后來，阿拉伯數(shù)學(xué)家開始對三角學(xué)進行專門的整理和研究，他們的工作具有使三角學(xué)從天文學(xué)中獨立出來的杰出表現(xiàn)，但是真正把三角學(xué)作為數(shù)學(xué)的一個獨立學(xué)科加以系統(tǒng)論述的，是德國數(shù)學(xué)家雷基奧蒙坦納斯.1464年，他發(fā)表了《論各種三角形》，在這本書中，他把以往散見在各種書上的三角學(xué)知識，系統(tǒng)地綜合了起來，使三角學(xué)成為數(shù)學(xué)上的一個分支.

二、三角函數(shù)發(fā)展史與三角學(xué)

三角學(xué)雖曾是天文學(xué)的一部分，但由于研究范圍的逐漸擴大，才逐漸變成以三角函數(shù)為主要對象的學(xué)科.現(xiàn)在，三角學(xué)的研究范圍不僅限于三角形，已成為數(shù)理分析之基礎(chǔ)，是研究實用科學(xué)所必需的工具.

然而，直到18世紀，三角函數(shù)量：正弦、余弦、正切等等都始終被認為是已知圓與同一條弧有關(guān)的某些線段，即三角學(xué)是以幾何的面貌表現(xiàn)出來的，這也可以說是三角學(xué)的古典面貌.

三角學(xué)的現(xiàn)代特征是把三角量看作函數(shù)，即看作是一種與角相對應(yīng)的函數(shù)值.1748年，歐拉發(fā)表了著名的《無窮小分析引論》一書，指出：“三角函數(shù)是一種函數(shù)線與圓半徑的比值.”（注：這一說法與現(xiàn)行教科書定義似乎不同，究其原因是背景不同，但其實質(zhì)是相通的）

歐拉的這個定義是極其科學(xué)的，它使三角學(xué)從靜態(tài)研究三角形解法中解放出來，使它有可能去反映運動和變化的過程，從而使三角學(xué)成為一門具有現(xiàn)代特征的分析性學(xué)科.正如歐拉所說，引進三角函數(shù)以后，原來意義下的正弦等三角量都可以脫離幾何圖形進入運算，一些三角關(guān)系式也容易從三角函數(shù)定義得出.這就使得許多數(shù)學(xué)家所得出的三角關(guān)系式都有了堅實的理論依據(jù).

三、我國“正弦”一詞的由來

我國古代沒有出現(xiàn)角的函數(shù)概念，只是在《九章算術(shù)》中《勾股》章的最后，提出了測量城池、山高和井深的問題，這種測量方法稱為“重差術(shù)”.三國時代數(shù)學(xué)家劉徽為了解釋“重差術(shù)”，便撰寫《重差》一卷，附在《九章算術(shù)》中《勾股》章之后，到了唐初，這一部分才被人從《九章算術(shù)》中抽出來，成為一部獨立的著作.

明朝崇禎4年（1631年），三角學(xué)傳入我國，德國傳教士鄧玉函、湯若望和明代著名科學(xué)家、政治家、農(nóng)學(xué)家徐光啟合編《大測》，其作為歷書的一部分呈獻給朝廷，這是我國第一部編譯的三角學(xué).同年，徐光啟等人還編寫了《測量全義》，其中有平面三角和球面三角的論述.1653年，薛風祚與波蘭傳教士穆尼閣合編《三角算法》，以“三角”取代“大測”，確立了“三角”名稱.1877年，華蘅煦等人對三角級數(shù)展開式等問題有過獨立的探討.

在《大測》中，首先將sinus譯為“正半弦”，簡稱“正弦”，這就成了我國正弦一詞的由來.

四、一些常用的三角函數(shù)與三角函數(shù)表

除了正弦函數(shù)外，余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)也是常用的三角函數(shù).在九年級，同學(xué)們學(xué)習的三角函數(shù)有正切函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù).

在《論各種三角形》中，雷基奧蒙坦納斯正式提出sine（正弦）一詞.而cosine（余弦）則為英國人根日爾首先使用，最早在1620年倫敦出版的他所著的《炮兵測量學(xué)》中出現(xiàn).

1626年，阿貝爾特·格洛德最早推出的正弦與正切的簡寫三角符號分別為：“sin”與“tan”.1675年，英國人奧屈特最早推出余弦的簡寫三角符號：“cos”.但直到1748年，經(jīng)過數(shù)學(xué)家歐拉的引用后，才逐漸通用起來，并被定格為現(xiàn)在的形式.

所謂三角函數(shù)表，就是把不同角度和它對應(yīng)的三角函數(shù)值放在一起，制作成表，以便隨時查閱.顯然，三角函數(shù)表的出現(xiàn)是自然的，因為對一個函數(shù)來說，任意一個自變量都有唯一一個值與之對應(yīng).

著名的敘利亞天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家阿爾·巴坦尼于公元920年左右，制成了自0°到90°相隔1°的余切函數(shù)表.

公元727年，僧人一行受唐朝皇帝唐玄宗之命撰寫《大衍歷》.為了求得全國任何地方一年中各節(jié)氣的日影長度，一行編出了太陽天頂距和八尺之竿的日影長度對應(yīng)表，太陽天頂距和日影長度比的關(guān)系即為正切函數(shù).而巴坦尼編制的是余切函數(shù)表，是日影長度和太陽天頂距比值列表.兩人的發(fā)現(xiàn)本質(zhì)上是一回事，但巴坦尼比一行要晚近200年.

（作者單位：江蘇省建湖縣城南實驗初中教育集團近湖校區(qū)）