劉培德，李洪剛，王 鵬，劉俊麟

（1.山東財經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，山東濟(jì)南 250014；2.中國民航大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，天津 300300）

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基于區(qū)間中智集的ELECTRE方法及其在多屬性決策中的應(yīng)用

劉培德1，2，李洪剛1，王 鵬1，劉俊麟1

（1.山東財經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，山東濟(jì)南 250014；2.中國民航大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，天津 300300）

摘 要：針對多屬性決策中信息的不確定性，不完全性和不一致性，考慮到不同數(shù)據(jù)類型的可能度問題，文章提出了基于區(qū)間中智數(shù)的ELECTRE方法。首先介紹了區(qū)間中智集和可能度，然后針對傳統(tǒng)的以實(shí)數(shù)表示評價信息的ELECTRE方法的不足，將ELECTRE方法與區(qū)間中智數(shù)相結(jié)合提出一個擴(kuò)展的ELECTRE方法，在方案屬性值用區(qū)間中智數(shù)表示的基礎(chǔ)上，計算每個方案相對于其他方案的相對優(yōu)先度和相對劣勢度，并根據(jù)凈優(yōu)勢度對方案進(jìn)行排序。最后用一個實(shí)例驗證該方法的可行性和有效性。

關(guān)鍵詞：區(qū)間中智數(shù)；ELECTRE方法；多屬性決策

0 引 言

多屬性決策問題被廣泛應(yīng)用于政治、經(jīng)濟(jì)、文化等領(lǐng)域［1 -3］，成為當(dāng)今研究的重點(diǎn)。通常情況下，在多屬性決策中決策信息是不確定、不完全和不一致的。傳統(tǒng)的模糊集［4］只考慮了隸屬度而忽視了非隸屬度的重要性，雖然之后提出的直覺模糊集［5］和區(qū)間直覺模糊集［6 -7］將非隸屬度補(bǔ)充到了模糊集中，但他們還是只能處理不完全的信息，不能處理不確定、不一致的信息。為了更加全面地處理各種信息，Smarandache［8］提出了中智數(shù)理論。中智數(shù)考慮了直覺模糊數(shù)所忽視的猶豫度，所以，中智數(shù)較之直覺模糊數(shù)更加適合處理不確定信息。但是，單值的中智集［9］用實(shí)數(shù)去表示隸屬度、非隸屬度和猶豫度，還不能更好地表示信息的模糊性，因此，Wang等［10］提出了區(qū)間中智集，用區(qū)間數(shù)表示隸屬度、非隸屬度和猶豫度，這使得評價結(jié)果更為可靠。

到目前為止，已經(jīng)有了很多的多屬性決策方法，TOPISIS、VIKOR、PROMETHEE、灰色關(guān)聯(lián)度、灰色投影等［11 -15］。ELECTRE方法，首先由Benavoun，Roy與Sussman于20世紀(jì)60年代提出，隨后很多人將其進(jìn)一步發(fā)展，相繼提出ELECTRER I法、ELECTRE II法和ELECTRE III法［16］。這些方法大多針對的決策數(shù)據(jù)是明確數(shù)據(jù)，為了更好地應(yīng)用于實(shí)際問題，劉培德［17］提出了基于語言變量改進(jìn)的ELECTRE方法，吳彩虹等［18］進(jìn)一步提出了針對區(qū)間數(shù)的改進(jìn)的ELECTRE方法，Wan等［19］則將ELECTRE方法所需要的可能度擴(kuò)展到區(qū)間直覺模糊數(shù)，也就是用模糊數(shù)去描述決策信息，使得更模糊更復(fù)雜的數(shù)據(jù)有了更好更簡單的處理方法。無論是實(shí)數(shù)還是模糊數(shù)在描述模糊決策信息方面都不如區(qū)間中智數(shù)，區(qū)間中智數(shù)可以通過隸屬度、猶豫度和非隸屬度來表示專家對評價方案的肯定度、不確定度和否定度，用區(qū)間數(shù)表示隸屬度、猶豫度和非隸屬度能使評價結(jié)果更準(zhǔn)確?；趨^(qū)間中智數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，本文將其擴(kuò)展到ELECTRE方法中，該方法能夠克服以往決策問題中所遇到的復(fù)雜模糊不確定信息難處理的問題，具有簡單實(shí)用的特點(diǎn)，使之能夠被應(yīng)用到更多的領(lǐng)域。

1 區(qū)間中智集及其可能度

1.1 區(qū)間中智集

定義一［8］：設(shè)X是一個對象集，x是對象集X中的元素，X的一個中智集A可以表示為

其中，TA（x），IA（x）和FA（x）是隸屬于］0-，1+［的標(biāo)準(zhǔn)和非標(biāo)準(zhǔn)的子集，分別表示隸屬度、猶豫度、非隸屬度，所以，0-≤TA（x）+ IA（x）+ FA（x）≤3+。

定義二［9］：設(shè)X是一個對象集，x是對象集X中的元素，X的一個區(qū)間中智集A可以表示為

其中，TA（x），IA（x）和FA（x）分別表示隸屬度、猶豫度、非隸屬度，是隸屬于［0，1］的子集，并且0≤sup［TA（x）］+ sup［IA（x）］+ sup［FA（x）］≤3。

我們可以用x =（［TL，TU］，［IL，IU］，［FL，F(xiàn)U］）去表示區(qū)間中智集中的元素，也就是區(qū)間中智數(shù)。

定義三［9］：設(shè)x =（［TL1，TU1］，［IL1，IU1］，［FL1，F(xiàn)U1］），y =（［TL2，TU2］，［IL2，IU2］，［FL2，F(xiàn)U2］）是兩個區(qū)間中智數(shù)，則它們之間的Hamming距離可以定義為：

定理一［10］：設(shè)x =（［TL1，TU1］，［IL1，IU1］，［FL1，F(xiàn)U1］），y =（［TL2，TU2］，［IL2，IU2］，［FL2，F(xiàn)U2］和z =（［TL3，TU3］，［IL3，IU3］，［FL3，F(xiàn)U3］）是三個區(qū)間中智數(shù)，由定義三定義的距離公式滿足以下4個性質(zhì)：

（1）0≤d（x，y）≤1

（2）d（x，x）=0

（3）d（x，y）= d（y，x）

（4）假設(shè)x?y?z，則d（x，z）≥d（x，y）且d（x，z）≥d（y，z）

定義四［20］：設(shè)x =（［TL1，TU1］，［IL1，IU1］，［FL1，F(xiàn)U1］）和y =（［TL2，TU2］，［IL2，IU2］，［FL2，F(xiàn)U2］）是兩個區(qū)間中智數(shù)，其運(yùn)算規(guī)則如下：

定理二［20］：設(shè)x =（［TL1，TU1］，［IL1，IU1］，［FL1，F(xiàn)U1］）和y =（［TL2，TU2］，［IL2，IU2］，［FL2，F(xiàn)U2］）是兩個區(qū)間中智數(shù)，其運(yùn)算規(guī)則滿足如下的運(yùn)算關(guān)系：

1.2 區(qū)間中智數(shù)的可能度

定義五［21］：假設(shè)x =［a，b］和y =［c，d］為兩個區(qū)間數(shù)，那么兩者之間的可能度公式為

區(qū)間數(shù)的可能度具有以下性質(zhì)：

公理1：0≤P（x≥y）≤1

公理2：若a＞d，則P（x≥y）=1；若b＜c，則P（x≥y）=0

公理3：P（x≥y）+ P（x≤y）=1

公理4：若a = c，b = d，則P（x≥y）= P（x≤y）=0.5

公理5：若P（x≥y）≥0.5，P（y≥z）≥0.5，則P（x≥z）≥0.5。當(dāng)且僅當(dāng)P（x≥y）= P（y≥z）=0.5，則P（x ≥z）=0.5

公理6：若P（x≥y）=1，則P（x≥z）≥P（y≥z）

定義六［19］：假設(shè)G1=（［a1，b1］，［c1，d1］）和G2=（［a2，b2］，［c2，d2］）是兩個區(qū)間直覺模糊數(shù)，那么兩者之間的可能度公式為

區(qū)間直覺模糊數(shù)的可能度具有以下性質(zhì)：

公理7：0≤P（G1≥G2）≤1

公理8：P（G1≥G1）=0.5

公理9：P（G1≥G2）+ P（G2≥G1）=1

基于中智數(shù)的猶豫度與非隸屬度的性質(zhì)，本文在區(qū)間直覺模糊數(shù)的基礎(chǔ)上定義了區(qū)間中智數(shù)的可能度。

定義七：假設(shè)N1=（［a1，b1］，［c1，d1］，［e1，f1］）和N2=（［a2，b2］，［c2，d2］，［e2，f2］）是兩個區(qū)間中智數(shù)，那么兩者之間的可能度公式為

很顯然，區(qū)間中智數(shù)同樣具有如下簡單性質(zhì)：

公理10：0≤P（N1≥N2）≤1

公理11：P（N1≥N1）=0.5

公理12：P（N1≥N2）+ P（N2≥N1）=1

2 基于區(qū)間中智集的改進(jìn)ELECTRE方法

步驟一：對于在同一個指標(biāo)Ck（k =1，2，…，n）下的m個方案進(jìn)行兩兩比較，建立區(qū)間中智數(shù)的可能度矩陣：

Pkm×m矩陣是一個互補(bǔ)判斷矩陣，它包含了m個方案相互比較的可能度信息，其元素是所有方案兩兩比較的可能度值。

步驟二：根據(jù)排序公式［22］，對互補(bǔ)判斷矩陣Pkm×m進(jìn)行分析，計算決策矩陣：

yij的次序關(guān)系能夠反映m個方案的次序關(guān)系，所以用它替代原有的評估值不會影響m個方案的次序關(guān)系。經(jīng)映射后形成的決策矩陣為：

其中，元素yij表示第i個方案第j個指標(biāo)經(jīng)映射后的決策數(shù)值。

步驟三：把Y矩陣進(jìn)行規(guī)范化得到規(guī)范化矩陣R：

步驟四：構(gòu)造優(yōu)先關(guān)系并計算優(yōu)先度矩陣：

對于任意一個指標(biāo)Cj，第k個和第i個方案之間的次序關(guān)系可由Rm×n矩陣中元素rkj和rij的大小來表示。若方案Ak等價于方案Ai，則rkj= rij；若方案Ak優(yōu)于方案Ai，則rkj＞rij；若方案Ak劣于方案Ai，則rkj＜rij；若方案Ak優(yōu)于或等價于方案Ai，則rkj≥rij；若方案Ak劣于或等價于方案Ai，則rkj≤rij。

J（k，i）=｛j｜1≤j≤n，?Cj：rkj≥rij｝表示方案Ak優(yōu)于或等價于方案Ai（rkj≥rij）的指標(biāo)集合；J-（k，9）=｛j｜1≤j≤n?Cj：rkj＜rij｝表示方案Ak劣于方案（rkj＜rij）的指標(biāo)集合。

計算相對優(yōu)先度矩陣CM：

其中的元素cmki表示方案Ak優(yōu)于方案Ai的程度。

步驟五：計算相對劣勢矩陣DM：

其中，元素dmki表示方案Ak比方案Ai的劣勢指數(shù)。

比較發(fā)現(xiàn)，cmki只含有指標(biāo)權(quán)重信息，而dmki不僅含有權(quán)重信息，還包含指標(biāo)值信息，所以相對優(yōu)先度和相對劣勢度并沒有互補(bǔ)性。dmkj反映了方案Ak較方案Ai的相對劣勢程度，dmki的值越小越表示方案Ak劣于方案Ai的可能性就越小。

步驟六：計算修正綜合加權(quán)矩陣E：

步驟七：計算凈優(yōu)勢值δk：

步驟八：排序：

δk的值越大方案Ak就越好，按照步驟七得到的δk的大小進(jìn)行排序，就可以得到最終方案的優(yōu)劣排序。

3 實(shí)例分析

為了驗證這個方法的有效性，采用一個例子［23］進(jìn)行計算、比較和分析。有一個投資公司想要選擇一個最好的投資項目進(jìn)行投資。有四個公司的項目可以選擇：A1是一個汽車公司；A2是一個食品公司；A3是一個電腦公司；A4是一個軍火公司。投資公司進(jìn)行選擇時要考慮3個指標(biāo)：C1是風(fēng)險控制水平；C2是潛在發(fā)展水平；C3是創(chuàng)新能力。3個指標(biāo)的權(quán)重為w =（0.35，0.25，0.4）T，對各個方案的評價指標(biāo)以區(qū)間中智數(shù)給出，其評價結(jié)果如矩陣R所示。

步驟一：利用公式（15）、（16）、（17）計算每一個指標(biāo)Cj下的可能度矩陣：

步驟二：利用公式（18），得出最終的優(yōu)勢度矩陣Y：

步驟三：通過公式（20），得出規(guī)范化決策矩陣R：

步驟四：通過公式（21），計算相對優(yōu)勢度矩陣CM：

步驟五：通過公式（22），計算相對劣勢矩陣DM：

步驟六：通過公式（23），計算修正綜合加權(quán)矩陣E：

步驟七：通過公式（24），計算凈優(yōu)勢值：

步驟八：排序結(jié)果為A4＞A1＞A2＞A3。

所以，四個投資方案中，軍火公司的項目為最好的投資項目。

4 結(jié)束語

區(qū)間中智數(shù)能很好地處理決策信息的不確定性、不完全性和不一致性，本文針對評價值為區(qū)間中智數(shù)的多屬性決策問題，介紹了一種改進(jìn)了的ELECTRE方法，不僅可以解決決策值為不明確的數(shù)據(jù)的方案之間的排序問題，同時還能夠彌補(bǔ)參數(shù)過多、排序過程復(fù)雜所遇到的問題。由于區(qū)間中智數(shù)在描述評價結(jié)果方面的優(yōu)勢和ELECTRE方法應(yīng)用性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，本文為決策信息模糊性較大并且需要考慮級別優(yōu)先關(guān)系的決策問題提供了一個切實(shí)可行的方法。在以后的研究中，還要進(jìn)一步擴(kuò)大這種新方法的應(yīng)用范圍，不斷地完善這種方法也是必不可少的。

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（責(zé)任編輯 王玉燕）

［23］YE J.Similarity Measures Between Interval Neutrosophic Sets and their Applications in Multicriteria Decision - making［J］.Journal of Intelligent and fuzzy Systems，2014，26（1）：165 -172.

ELECTRE Method and Its Application in Multiple Attribute Decision Making Based on INS

LIU Peide1，2，LI Honggang1，WANG Peng1，LIU Junlin1
（1.School of Management Science and Engineering，Shandong University of Finance and Economics，Jinan 250014，China；2.School of Economics and Management，Civil Aviation University of China，Tianjin 300300，China）

Abstract：Aimed at solving information uncertainty，incompleteness and inconsistency in multiple attribute decision making，an ELECTRE method based on interval neutrosophic numbers is proposed with the possibility degrees of different data types taken into consideration.This paper firstly introduces interval neutrosophic set（INS）and possibility degree，and then in view of the deficiency of traditional ELECTRE method which adopts the real number to represent evaluation information，proposes an extended ELECTRE method by combining ELECTRE method and interval neutrosophic numbers.Based on scheme attribute values shown by interval neutrosophic numbers，the priority and disadvantage of each scheme group are calculated compared with all the other schemes before the schemes are ranked according to their net advantage degree.The feasibility and effectiveness of this proposed method are verified with an example.

Keywords：interval neutrosophic number；ELECTRE method；multiple attribute decision making

作者簡介：劉培德，男，山東濰坊人，博士，山東財經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，中國民航大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院教授，研究方向：決策理論與方法、信息管理與決策支持，Email：liupd966@126.com；李洪剛，男，山東德州人，山東財經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院碩士研究生，研究方向：模糊多屬性決策；王鵬，男，山東臨沂人，山東財經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院碩士研究生，研究方向：模糊多屬性決策；劉俊麟，女，山東淄博人，山東財經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院碩士研究生，研究方向：模糊多屬性決策。

基金項目：國家自然科學(xué)基金面上項目“基于中智集的模糊多屬性決策理論、方法與應(yīng)用研究”（7147117）；國家自然科學(xué)基金面上項目“基于二維不確定語言信息的模糊多屬性群決策理論、方法及應(yīng)用研究”（71271124）；國家軟科學(xué)計劃項目“基于模糊與優(yōu)化理論的黃河三角洲高效生態(tài)經(jīng)濟(jì)區(qū)生態(tài)系統(tǒng)健康評價與生態(tài)政策研究”（2014GXQ4D192）；泰山學(xué)者工程專項經(jīng)費(fèi)資助。

中圖分類號：C934

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：2095 -929X（2016）02 -0080 -08

修回日期：2015 -11 -09