趙建英， 李海英

(內(nèi)蒙古商貿(mào)職業(yè)學(xué)院 社科與基礎(chǔ)教學(xué)部， 內(nèi)蒙古 呼和浩特 010070)

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函數(shù)空間類Vitali覆蓋證明及其應(yīng)用

趙建英， 李海英

(內(nèi)蒙古商貿(mào)職業(yè)學(xué)院 社科與基礎(chǔ)教學(xué)部， 內(nèi)蒙古 呼和浩特 010070)

摘要：針對(duì)在較小測(cè)度集下的性質(zhì)不佳函數(shù)確定其積分存在性的問(wèn)題，提出函數(shù)空間下的類Vitali覆蓋定理.從理論角度明確積分存在性與數(shù)值逼近的理論方法，給出對(duì)應(yīng)的數(shù)值逼近方法與結(jié)果，并給予具體論證.最后，結(jié)合理論分析結(jié)果，以示例的方式從應(yīng)用角度提出積分存在性與積分?jǐn)?shù)值逼近的具體應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：函數(shù)空間； 類Vitali覆蓋； 積分存在性； 積分逼近

對(duì)于積分相關(guān)問(wèn)題的存在性，國(guó)內(nèi)已有不少研究成果.李仁貴[1]、汪子蓮等[2]、葉陸紅等[3]、Pintarelli[4]從應(yīng)用角度提出了一種系統(tǒng)性的解決方案.對(duì)于邊值存在性問(wèn)題，覃仕霞等[5]、靳存程[6]、王全義等[7]以理論與應(yīng)用相結(jié)合方式，提出了一種解決方案.對(duì)于測(cè)度論與泛函分析問(wèn)題，海紅[8]、江衛(wèi)華等[9]、陳雪梅等[10]、鄒玉梅等[11]提出了系統(tǒng)性的解決方案.本文提出一種函數(shù)空間下的覆蓋結(jié)論，以期解決積分存在性與數(shù)值逼近的具體問(wèn)題.

1特殊點(diǎn)集的定義及性質(zhì)

1.1孤立點(diǎn)集合

對(duì)于給定集合，其對(duì)應(yīng)的孤立點(diǎn)集合[12]為

需要注意的是，δ(xj)是以xj為圓心，δ為半徑的圓.對(duì)于每一個(gè)孤立點(diǎn)，定義其Vitali覆蓋集為

如上定義的Vitali覆蓋，其覆蓋半徑為h，覆蓋的點(diǎn)為xj.對(duì)于每一個(gè)孤立點(diǎn)，定義滿足某種性質(zhì)的Vitali覆蓋集為

如上定義的Vitali覆蓋，必須滿足性質(zhì)p.

1.2極值點(diǎn)集合

對(duì)于給定集合，其對(duì)應(yīng)的極值點(diǎn)集合[12]為

式中：EEvp，d={xj|xj∈E，?δ(xj)，s.t.f(x)≥f(xj) for ?x∈δ(xj)∈E}；EEvp，u={xj|xj∈E，?δ(xj)，s.t.f(x)≤f(xj) for ?x∈δ(xj)∈E}.需要注意的是，δ(xj)是以xj為圓心，以δ為半徑的圓.對(duì)于每一個(gè)極值點(diǎn)，定義其Vitali覆蓋集為

如上定義的Vitali覆蓋，其覆蓋半徑為h，覆蓋的點(diǎn)為xj.對(duì)于每一個(gè)極值點(diǎn)，定義滿足某種性質(zhì)的Vitali覆蓋集為

EEvp,h(xj，p)={δ(xj，p)|xj∈E，xj∈EEvp，xj∈δ(xj)，r(δ(xj))=h，p(xj)，is ture}.

如上定義的Vitali覆蓋，必須滿足性質(zhì)p.

2函數(shù)空間類Vitali覆蓋的證明

證明因?yàn)棣Ｊ荅的Vitali覆蓋，先選取該集合中滿足孤立點(diǎn)性質(zhì)及極值點(diǎn)性質(zhì).定義滿足孤立點(diǎn)性質(zhì)的集合為EGlp,h(xj)，其中,xj代表孤立點(diǎn)，h代表該Vitali覆蓋的覆蓋半徑.同理，定義滿足極值點(diǎn)性質(zhì)的集合為EEvp,h(xl)，其中,xl代表極值點(diǎn)，k代表該Vitali覆蓋的覆蓋半徑.因?yàn)槭荅的Vitali覆蓋，所以覆蓋孤立點(diǎn)的集合不僅存在，而且是一系列的.對(duì)于每一個(gè)孤立點(diǎn)，選取其Vitali覆蓋的下確界作為對(duì)該點(diǎn)的覆蓋集.對(duì)應(yīng)的定義為

顯然，對(duì)于任意一點(diǎn)，滿足如上性質(zhì)的最小覆蓋集是唯一存在的.

同理，對(duì)于每一個(gè)極值點(diǎn)，選取其Vitali覆蓋的下確界作為對(duì)該點(diǎn)的覆蓋集.對(duì)應(yīng)的定義為

有了如上的下確界后，首先從E中選取所有的孤立點(diǎn)和極值點(diǎn)，對(duì)于每一個(gè)孤立點(diǎn)，按照孤立點(diǎn)數(shù)值大小排序，可以構(gòu)成一個(gè)可列集EGpl.對(duì)于每一個(gè)極值點(diǎn)，按照極值點(diǎn)數(shù)值大小排序，可以構(gòu)成一個(gè)可列集EEvp.

確定了孤立點(diǎn)與極值點(diǎn)的下確界Vitali覆蓋之后，對(duì)于集合ENew而言，是由兩大類子集所組成.對(duì)點(diǎn)集中的非孤立點(diǎn)與非極值點(diǎn)進(jìn)行分析，以便選取集合來(lái)擴(kuò)充集合ENew.

首先，從集合E-ENew中任意選取一點(diǎn)xrandom，作為備選集合的代表元素.以xrandom作為代表，考察其是否滿足性質(zhì)p.滿足與否的判定方法是，給定判定變量ε，判斷在xrandom的臨域中是否存在該性質(zhì).初始期間，對(duì)于臨域的大小是無(wú)法確定的.因此，選定任意一值域h0作為臨域的大小，如果在此值域內(nèi)

(1)

成立，則初始值可以作為領(lǐng)域的基準(zhǔn)值.這說(shuō)明，P(xq)=1代表存在xrandom臨域，使得在此臨域內(nèi)，某一具體性質(zhì)是成立的.

如果式(1)成立，h0作為xrandom的初始臨域長(zhǎng)度是成立.則依次選取hi=2ih0作為新臨域長(zhǎng)度的選項(xiàng)，繼續(xù)判斷式(1)是否成立.一旦成立，新臨域長(zhǎng)度比原臨域長(zhǎng)度增加一倍，繼續(xù)判定式(1)是否繼續(xù)成立，直到式(1)不成立或者為xrandom的臨域超出E的范圍.如果式(1)成立，h0作為xrandom的初始臨域長(zhǎng)度是不成立的，則依次選取hi=(1/2)ih0作為新臨域長(zhǎng)度的選項(xiàng)，繼續(xù)判斷式(1)是否成立.一旦成立，新臨域長(zhǎng)度比原臨域長(zhǎng)度縮小一倍，繼續(xù)判定式(1)是否繼續(xù)成立，直到式(1)不成立或者為xrandom的臨域超出E的范圍.

采用上述方法，即可確定式(1)成立的上確界范圍，即有

照此方法，確定了一個(gè)新元素，將其納入到集合 ，使其成為集合，即

按照規(guī)則選取集合，有

需要說(shuō)明的是，Eadd是新添加的集合，其與原有的集合ENew的距離(dis(ENew，xi)代表一點(diǎn)與一集合的距離)首先必須達(dá)到下確界，其次,還要滿足是下確界元素中的滿足性質(zhì)的最大臨域集合.

確定此集合后，將其繼續(xù)加入到集合ENew中，可得

(2)

對(duì)于滿足式(2)中的待選集合，如果并不唯一，則通過(guò)任意選取其中之一，然后，進(jìn)行逆時(shí)針或者順時(shí)針選取，即可依次選取所有的集合.之所以這樣說(shuō)，是因?yàn)榕c給定集合距離最近的點(diǎn)集，在實(shí)數(shù)空間而言，分布在給定集合中心為指定半徑的圓上.所以選取其中之一后，按照選定元與給定集合之間的關(guān)系，依次進(jìn)行順時(shí)針選取或者逆時(shí)針選取即可得到所有滿足條件的元素.

3在積分存在性與積分?jǐn)?shù)值估計(jì)中的應(yīng)用

3.1在積分存在性中的應(yīng)用

在經(jīng)典的黎曼積分研究中，對(duì)于積分的存在性，一種方法是通過(guò)判斷達(dá)布上和與達(dá)布下和之間的極限差距，由此確定積分的存在性.即有

(3)

將此結(jié)果具體應(yīng)用到式(3)中，可得

(4)

成立.對(duì)式(4)仔細(xì)分析可知：進(jìn)行黎曼積分時(shí)，小區(qū)間的劃分長(zhǎng)度必須滿足一定條件后，達(dá)布上和與達(dá)布下和的差值才能滿足小于指定差距的要求.這一要求對(duì)于可微分函數(shù)而言，在非極值點(diǎn)必須滿足形式(4)的約束條件即可實(shí)現(xiàn).

為了便于直觀理解上述結(jié)果，以幾種類型的函數(shù)黎曼積分為例，對(duì)其進(jìn)行解釋.

例1階梯型函數(shù)的黎曼積分

對(duì)于這種類型的函數(shù)，給出其類中的一個(gè)具體示例的函數(shù)標(biāo)出，有

按照微分的定義，有

例2階段型線性函數(shù)的黎曼積分

對(duì)于這種類型的函數(shù)，給出其類中的一個(gè)具體示例的函數(shù)標(biāo)出，有

按照微分的定義，有

對(duì)于其他類型的函數(shù)，可以采用如上類似的方法進(jìn)行處理，即可確定區(qū)間劃分的具體長(zhǎng)度保證積分的可積性.

3.2在積分?jǐn)?shù)值估計(jì)中的應(yīng)用

在經(jīng)典的黎曼積分中，對(duì)于積分?jǐn)?shù)值的逼近估計(jì)有兩種方法.第一種是用上、下界進(jìn)行估計(jì)，如

其中：f(x)為函數(shù)；Mp為上界；mp為下界.對(duì)于這類函數(shù)的積分，通過(guò)如下的論證說(shuō)明能否可以用界函數(shù)的積分進(jìn)行替代，即

第二種是簡(jiǎn)單函數(shù)替代的方法進(jìn)行估計(jì)，如

其中：f(x)為復(fù)雜函數(shù)；g(x)為簡(jiǎn)單函數(shù).對(duì)于復(fù)雜函數(shù)的積分，通過(guò)如下論證說(shuō)明是否可以用簡(jiǎn)單函數(shù)的積分進(jìn)行替代.即

對(duì)于其他類型的函數(shù)，可采用如上類似的方法進(jìn)行處理，即可確定其積分的取值或取值范圍.

4結(jié)束語(yǔ)

從測(cè)度論的角度，提出并論證了函數(shù)空間下的Vitali覆蓋結(jié)論.該結(jié)論對(duì)如何進(jìn)行積分存在性和積分?jǐn)?shù)值逼近提出了一種分析與驗(yàn)證方法.最后，通過(guò)若干個(gè)示例，從應(yīng)用角度提出了積分存在性與積分?jǐn)?shù)值逼近的具體應(yīng)用.

參考文獻(xiàn)：

[1]李仁貴.一類具有Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分邊值條件的奇異分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2015(11):285-293.

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[12]夏道行.實(shí)變函數(shù)與泛函分析[M].北京：高等教育出版社,2010:1-15.

(責(zé)任編輯： 黃曉楠英文審校： 黃心中)

Proof of Semi-Vitali Covering Theorem on Function Space and Its Application

ZHAO Jianying， LI Haiying

(Department of Social Science and Basic Teaching， Inner Mongolia Business Vocational College， Huhhot 010070， China)

Abstract：How to determine the existence of integral for functions with a small measure set， how to give a method of digital approximation to calculate this type of integral, the authors put forward a method which is called semi-vitali covering that can be used to solve the questions quickly. The method is proved by real analyzing theorem. Finally， the authors use it to solve several physical problems to check the correctness.

Keywords：function space； vitali cover； existence of integral； approximation of integral

中圖分類號(hào)：O 177.39

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

基金項(xiàng)目：中國(guó)教育學(xué)會(huì)十一五科研規(guī)劃重點(diǎn)項(xiàng)目(ZY0084)； 內(nèi)蒙古商貿(mào)職業(yè)學(xué)院教改項(xiàng)目(NSZY1104)

通信作者：趙建英(1966-)，女，副教授，主要從事函數(shù)空間、積分逼近的研究.E-mail:1041038772@qq.com.

收稿日期：2015-12-22

doi:10.11830/ISSN.1000-5013.2016.02.0252

文章編號(hào)：1000-5013(2016)02-0252-05