■江蘇省天一中學　孫承輝

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切中肯綮，讓常態(tài)復習課不“常態(tài)”*

■江蘇省天一中學孫承輝

*本文是江蘇省無錫市教育科學“十二五”立項課題“高中數(shù)學教師專業(yè)能力提升的有效策略研究”（課題編號C/D/2014/001）的階段研究成果．

一、問題的提出

高三數(shù)學復習課的重點是對基礎知識、基本技能及基本思想方法進行系統(tǒng)梳理，幫助學生夯實基礎和構建知識體系，提升學生解決問題的能力．正是基于這樣的認識，筆者所在學校創(chuàng)設了“常態(tài)課”教學研討系列活動．

從高三一輪復習開始，學校的常態(tài)課按照“確定課題、自主備課、課堂展示、深入研討”的流程運行，筆者虛心學習了備課組內(nèi)許多老師開設的常態(tài)課，收獲良多，故而結合一些案例，汲取其中精華，提煉出使常態(tài)復習課不“常態(tài)”的若干切中肯綮之舉，以期與同行探討交流．

二、常態(tài)課不“常態(tài)”的若干策略

（一）精心梳理知識要點，讓知識結構網(wǎng)絡化

一輪復習課的特點之一就是教師要對學過的基本概念、定義和公式等數(shù)學知識進行全面地梳理，將知識進行系統(tǒng)化整理．知識梳理的方式有很多，如教師口頭講述，或師生一問一答，或?qū)W生課前主動回憶，等等．顯然，不同的梳理方式也將產(chǎn)生不同的教學結果．

案例1借助導學案梳理課本知識

L老師布置學生在課前仔細閱讀教科書，并完成導學案上的以下內(nèi)容：

（1）兩個非零向量的夾角的定義：_________，向量夾角的取值范圍：_________．

（2）平面向量數(shù)量積的定義、坐標表示及性質(zhì)：

已知非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），θ為向量a，b的夾角．

幾何表示　坐標表示數(shù)量積　a·b=_________　a·b=_________ 模|a|=_________　|a|=_________夾角　cosθ=_________　cosθ=_________ a⊥b　_________　_________

（3）平面向量數(shù)量積的運算律：

①交換律：_________；②數(shù)乘結合律：_________；③分配律：_________．

教學過程中，L老師用實物投影儀展示某個學生的填寫情況，逐條講解知識要點，在復習兩個非零向量的夾角的定義時他結合所畫圖形強調(diào)“將兩向量平移使得它們的起點相同”，學生們在導學案上及時修改錯誤的填寫內(nèi)容并做筆記．

評析：L老師在知識梳理階段注重回歸課本，讓學生帶著問題去閱讀教科書并主動尋找答案．在內(nèi)容的展現(xiàn)形式上，他用簡明的圖表把“平面向量的數(shù)量積”的基礎知識進行有機的串聯(lián)，同時突出了數(shù)量積的幾何表示和坐標表示的區(qū)別與聯(lián)系，可謂簡明扼要．

因此，教師只有立足教材，緊扣考試說明，做到知識梳理的系統(tǒng)化、具體化，才能幫助學生建構清晰的知識網(wǎng)絡，也才能讓學生對知識做到真正的融會貫通．當然，知識梳理的方式多種多樣，教師在具體操作時應根據(jù)教學內(nèi)容做到靈活多變．

（二）注重通性通法教學，讓解題思路自然化

高三復習課離不開解題教學，不可否認，有些課過于注重例題和習題的數(shù)量，認為所講題目越多覆蓋面越廣，或者過于注重解題的技巧，認為這些新穎的技巧會大大增加學生的解題能力．然而，隨著題目數(shù)量增大、技巧增強，不少學生在遇到新題目時會感到猶豫不定，無從下手，反而失去了解題的信心.所以，在復習課上教師應該精選例題，側(cè)重通性通法的教學，授之以最具實效價值的“漁”.

案例2圓錐曲線中離心率的求值（或范圍）問題

首先，G老師投影了以下兩道填空題：

圖1

然后，G老師畫圖，請學生說出解題思路和過程，邊分析邊求解.以第（2）小題為例，學生對“等腰△PQM的頂角∠PMQ＞90°”提出了多種轉(zhuǎn)化方式，如MP2+MQ2＜PQ2，等.經(jīng)過分析比較，最終選擇了取線段PQ的中點A（如圖1所示），由∠PMQ＞ 90°可知，∠AMQ＞45°，故在Rt△MAQ中，即又b2=a2-c2，因此，即1＜0，結合e∈（0，1），解得

最后，G老師歸納：①求圓錐曲線離心率e的值，關鍵是找到參數(shù)a，b，c之間的等量關系，最后解方程求出e的值；②求圓錐曲線離心率e的取值范圍，關鍵是找到參數(shù)a，b，c之間的不等關系，最后解不等式求出e的取值范圍.

評析：圓錐曲線的離心率問題一直是考試的熱點題型，教師選擇了兩道典型的填空題，在師生互動中展示了題目的分析和求解過程，重點研究如何從圖形中挖掘幾何元素的關系，以及如何對題目中的條件進行轉(zhuǎn)化，從而建立恰當?shù)牡仁交虿坏仁?比如第（2）小題，解決本題的核心是要將等腰△PQM的頂角∠PMQ＞90°轉(zhuǎn)化為∠AMQ＞45°，從而在直角△AMQ中，建立起直角邊MA和斜邊MQ之間的不等關系

“通性通法是指解決具有相同性質(zhì)數(shù)學問題所用的通用方法.”“通性通法是數(shù)學發(fā)展的基石，是數(shù)學教育的核心，是數(shù)學學習的主要內(nèi)容之一.”［1］因此，高三的復習課要通過對典型例題的剖析來體現(xiàn)解決某一類問題的通性通法，也可以將若干個相關問題構成微專題，簡潔明了地展現(xiàn)解決問題的知識鏈和方法鏈.

（三）適度開展變式教學，讓思維能力全面化

高三復習課開展變式教學主要是把常見的題型作一些適當?shù)淖兓?，在變與不變的差異中對題型的本質(zhì)獲得清晰的認識，同時讓學生對基礎知識和通性通法有更深層次的思考.從實際效果來看，適度的變式教學可以充分激發(fā)學生的學習興趣和熱情，讓學生的思維能力得到全面發(fā)展，也能有效地幫助學生積累解決問題的經(jīng)驗以及增強解決其他問題的信心.

案例3任意性與存在性問題的分類解析

W老師先給出一道例題：

解答完例題后，W老師給出了以下變式題：

①若?x1∈［0，1］，?x2∈［0，1］，使得f（x1）=g（x2）成立，則實數(shù)a的取值范圍是_________.

②若?x1∈［0，1］，?x2∈［0，1］，使得f（x1）≥g（x2）成立，則實數(shù)a的取值范圍是_________.

③若?x1∈［0，1］，?x2∈［0，1］，使得f（x1）≥g（x2）成立，則實數(shù)a的取值范圍是_________.

④若?x1∈［0，1］，?x2∈［0，1］，使得f（x1）≥g（x2）成立，則實數(shù)a的取值范圍是_________.

然后回顧了這類任意性與存在性問題的題型與轉(zhuǎn)化方法：設函數(shù)f（x）、g（x）在給定范圍內(nèi)都存在最大值與最小值，值域分別為A與B.

①?x1∈D1，?x2∈D2，使f（x1）=g（x2），等價于_____.

②?x1∈D1，?x2∈D2，使f（x1）=g（x2），等價于_____.

③?x1∈D1，?x2∈D2，使f（x1）≥g（x2），等價于_____.

④?x1∈D1，?x2∈D2，使f（x1）≥g（x2），等價于_____.

⑤?x1∈D1，?x2∈D2，使f（x1）≥g（x2），等價于_____.

……

最后，W老師布置了一道思考題留給學生課后探究：

評析：任意性和存在性問題是近幾年高考的熱點問題，這類題型富于變化和新意，解決之道是揭開全稱量詞和存在性量詞的神秘面紗，還原問題的本來面目．在上述案例中，W老師從一道典型例題出發(fā)，重點剖析其解法要點，然后一題四變，在變式題的解答過程中揭示了這類問題的解題規(guī)律，即轉(zhuǎn)化為比較兩個函數(shù)的最值之間的大小關系．W老師布置的課后探究題是本節(jié)課內(nèi)容的拓展和延伸，有助于學生進一步加深對這類問題的理解程度．

由此可見，在變式教學過程中，教師要通過若干道變式題，以點帶面，著重分析題與題之間的差異，以及這些差異所導致的解題方法的變化，讓學生學會去甄別，從而全面地認識題型的本質(zhì)．同時，教師要充分利用課堂的黃金時間，開展深層次的師生對話和生生互動，找準解決變式題的切入點，這樣可以提高學生分析問題的能力，同時從時間和空間上提升課堂教學的品質(zhì)．

當然，實施變式教學時要厘清核心主線，變式題切忌廣而散，因此，教師在課前“必須厘清楚過程的‘序’，使得教學主線有明確的方向，避免課堂上過多地發(fā)散，使學生思維發(fā)生混亂，從而發(fā)生迷失現(xiàn)象．”［2］

（四）積極滲透思想方法，讓數(shù)學素養(yǎng)優(yōu)質(zhì)化

數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂．高三復習課不僅要注重師生對例題的探究與互動，也要注重合理滲透思想方法，培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)和創(chuàng)新思維．教師可以安排適當有度的綜合題目，這里的“適當有度”指的是題量適當、難度適中、有一定的思維深度，這些練習題一方面可以反饋學生對知識的理解運用程度，另一方面也可以拓展學生的思維能力，感悟數(shù)學思想方法在解題中的應用．

案例4講評綜合卷的教學片段

在講評一份綜合卷時，S老師把下列兩道錯誤率較高的試題一起講解．

（試卷第9題）已知數(shù)列{an}的通項公式為若對任意n∈N*，都有an≥a3，則實數(shù)c的取值范圍是_________．

（試卷第13題）已知a，b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，向量c滿足（a－c）·（b－c）=0，則|c|的最大值為_________．

講評過程中，S老師請學生說解題時的想法、思路，

然后在師生的共同分析下，完善了上述兩道題的解答過程．然后，S老師指出，解決它們的關鍵是熟練運用數(shù)形結合思想，即根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題．最后，通過以下一道練習題來加以鞏固和反饋：已知數(shù)列{bn}的通項公式為bn=，若對任意n∈N*，都有bn≥b8，則實數(shù)a的取值范圍是_________．

評析：S老師在試卷講評課上體現(xiàn)了講練結合，這樣可以及時了解學生對知識的掌握情況，由于選例恰當，學生在個別題目的解法上出現(xiàn)了一題多解，這時S老師把這些解法進行對比，實現(xiàn)一題優(yōu)解．在諸多解法中，他尤其突出了數(shù)形結合的思想，即通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化．而且，S老師在解決向量模的取值范圍這類綜合問題中突出了數(shù)形結合、等價轉(zhuǎn)化、等數(shù)學思想方法，這讓學生體會到思想方法在解決問題過程中的價值．

難能可貴的是，教師在試卷講評前對錯誤率較高的題目進行集中歸類，尤其是把相同數(shù)學思想方法的試題合并串講，“便于學生對這一塊知識或某個方法產(chǎn)生強烈感受，對某個方面起到強化的功能．”［3］從數(shù)學思想方法的角度將相關題目連珠成線，這不僅提高了講評課的教學效率，而且極大地加深了學生思維的深刻性，有助于促進學生將知識轉(zhuǎn)化為自身的數(shù)學能力和綜合素養(yǎng)．

三、結束語

高三的復習課只要堅持以教師為主導、學生為主體，在精編導學案的前提下，采取富有實效的知識梳理策略，突出通性通法教學，適度開展變式教學，積極合理地滲透思想方法，高屋建瓴，就能高效地突出重點、化解難點，充分培養(yǎng)學生提出問題和解決問題的綜合能力，這些便是讓高三常態(tài)復習課不“常態(tài)”的舉措．

參考文獻：

1.王金才．數(shù)學思想、數(shù)學方法和數(shù)學能力及關系的正確認識［J］．數(shù)學通報，2011（11）．

2.李善良．理清核心主線優(yōu)化教學過程［J］．中學數(shù)學月刊，2011（10）．

3.孫福明．試卷講評要貼“生”進行［J］．數(shù)學通報，2012（4）．Y