■江蘇省溧水高級中學(xué)　李寬珍

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“問題串”教學(xué)模式的實踐與思考——基于“正切函數(shù)的圖像及性質(zhì)”的案例研究

■江蘇省溧水高級中學(xué)李寬珍

一、背景

問題是學(xué)生思維的中心，是數(shù)學(xué)的心臟.有效的問題設(shè)計是數(shù)學(xué)教學(xué)的難點之一，有效“問題串”的設(shè)計與運(yùn)用，可以激發(fā)學(xué)生的求知欲望，啟發(fā)學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生在合理的“思”、“想”過程中發(fā)現(xiàn)、探索、研究，感受概念形成過程中的歸納、抽象、概括等自我感悟、合作交流的建構(gòu)過程，從而提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性.以教學(xué)內(nèi)容設(shè)計問題為載體的“問題串”教學(xué)法，充分體現(xiàn)以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)的教學(xué)理念.

前段時間，筆者開設(shè)了一節(jié)區(qū)級公開課，本節(jié)課通過一系列的問題串，采用教師點撥啟發(fā)，引導(dǎo)歸納總結(jié)的教學(xué)方式，學(xué)生在自己設(shè)計的問題串中，主動觀察、積極思考、自主探究、同伴互助、合作交流，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).下面筆者整理出本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計，歡迎指正.

二、教材分析

正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)是在研究了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)之后，研究的另一個三角函數(shù).學(xué)生完全可以應(yīng)用對比、類比的研究方法將已有經(jīng)驗遷移到對正切函數(shù)的性質(zhì)和圖像的研究中去，同時，學(xué)生已經(jīng)掌握了正切函數(shù)的定義、單位圓中正切線和與正切有關(guān)的誘導(dǎo)公式等知識，這也為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供了知識的保障.在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究其性質(zhì)與圖像，體會研究函數(shù)的一般方法，為解析幾何中直線的斜率與傾斜角的關(guān)系等后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)作好知識的鋪墊，本節(jié)內(nèi)容具有承前啟后的作用.

三、教學(xué)流程

環(huán)節(jié)一——回顧知識，類比引入

問題1我們是怎樣作出正弦函數(shù)的圖像的？

生1：通過單位圓，畫出正弦線，將正弦線平移到相應(yīng)的坐標(biāo)系中得到.

問題2你能簡單說出作正弦函數(shù)圖像的過程嗎？

生2：先作出［0，2π］上的圖像，再平移得到整個定義域上的圖像.大致可用等分角，作正弦線，平移，連線，再根據(jù)周期平移［0，2π］上的圖像.

問題3為何先作這個區(qū)間上的圖像？

生3：由于正弦函數(shù)周期是2π，而且在這個區(qū)間上圖像是連續(xù)的，選取靠近坐標(biāo)軸的部分，便于研究其性質(zhì).

設(shè)計意圖：通過這一組問題串，回顧剛學(xué)過的正弦函數(shù)的圖像的作圖過程，為作正切函數(shù)的圖像作好鋪墊.由于受認(rèn)知能力的影響，正切函數(shù)與正弦函數(shù)的差異，如作圖區(qū)間的選擇等學(xué)生理解運(yùn)用有一定困難，讓學(xué)生帶著懸念、帶著認(rèn)知沖突學(xué)習(xí)新的知識，這樣有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望.問題3不僅復(fù)習(xí)鞏固已學(xué)的知識，也為后面突破作正切函數(shù)圖像的難點——為何選取埋下伏筆，讓學(xué)生養(yǎng)成達(dá)到運(yùn)用類比，由此及彼的思維習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

環(huán)節(jié)二——動手操作，作出圖像

師：類比正弦函數(shù)圖像的作法，你能作出正切函數(shù)的圖像嗎？

問題1你覺得作出正切函數(shù)的圖像要分幾步完成？

生4：類比正弦函數(shù)，可以分兩步完成：先作出一個周期上的圖像，再利用周期性平移.

問題2與正弦函數(shù)相比哪些地方需要修改？

生5：由于周期不同，所以區(qū)間應(yīng)改為［0，π］.

師：我們來運(yùn)用幾何畫板作出［0，π］上的圖像看看.（教師用幾何畫板直接作出圖像）

設(shè)計意圖：此處學(xué)生回答這個區(qū)間也是意料之中，讓學(xué)生能更加直觀、形象地理解正切函數(shù)的值域和周期性變化.教學(xué)中筆者先采用幾何畫板直接作出此區(qū)間上的圖像，一是節(jié)省時間，二是便于學(xué)生觀察圖像，總結(jié)確定最終研究圖像選擇的區(qū)間，以提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使之能達(dá)到良好的教學(xué)效果.

問題3大家觀察此區(qū)間上的圖像，與正弦函數(shù)圖像相比，有什么不妥的地方？為何會出現(xiàn)這樣的圖像？（引導(dǎo)學(xué)生通過正切線在這兩個區(qū)間里的變化分析）

生（七嘴八舌）：這段區(qū)間上圖像不連續(xù)！寫單調(diào)區(qū)間時也要分開寫，不方便！不便于研究性質(zhì)！

師：那怎樣修改比較好？

（學(xué)生陷入沉思，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察整個周期上圖像）

師：我們利用正切函數(shù)的周期性將其圖像平移，看看整個定義域上的圖像.

（教師用幾何畫板作出整個定義域上的圖像）

生（眾）：（大家一片贊嘆聲）哇！好美！

生6：（禁不住說出一句詩）退一步海闊天空，進(jìn)一步萬丈深淵！

大家一片掌聲！教室里一片歡騰！

師：不錯??！會借助數(shù)學(xué)圖像吟詩了嘛！這就是我們數(shù)學(xué)美的所在！以后大家只要有心，會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美無處不在！那生6你來說說怎么改比較合理？

學(xué)生利用正切線畫正切函數(shù)y=tanx的圖像.

（做完后利用電子白板投影學(xué)生作品，分析講解作圖時的注意點）

設(shè)計意圖：借助幾何畫板強(qiáng)大的作圖功能，使學(xué)生能更方便地觀察函數(shù)圖像的形狀、位置的變化，達(dá)到突破難點與提高學(xué)習(xí)效率的目的.本課難點是為何先選取區(qū)間研究正切函數(shù)的圖像.學(xué)生已明確了正切函數(shù)的最小正周期是π，原則上我們可以任意選擇一個長度為π的區(qū)間作為一個基本周期區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)完成對正切函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)識.從學(xué)生認(rèn)知角度，這個基本周期區(qū)間很自然地取教學(xué)中順應(yīng)學(xué)生的思維，再引導(dǎo)學(xué)生觀察、對比.由于正弦函數(shù)圖像呈現(xiàn)給學(xué)生的印象是一條連續(xù)不斷的曲線，顯然與此處的斷續(xù)圖像不協(xié)調(diào).再通過觀察整個定義域上的圖像，自然可以將這兩個區(qū)間優(yōu)化為一個區(qū)間，就自然得到了的區(qū)間，這樣的分析有助于學(xué)生厘清知識發(fā)生的本源，了解知識的來龍去脈.

環(huán)節(jié)三——合作交流，探究性質(zhì)

問題1結(jié)合正切函數(shù)的圖像，你能總結(jié)出其性質(zhì)嗎？

分以下幾個步驟完成：

（1）根據(jù)正切函數(shù)的圖像，小組內(nèi)討論從哪些方面研究性質(zhì)？

（2）各小組派代表分享自己小組的成果.

（3）師生共同梳理小組發(fā)現(xiàn)的正切函數(shù)的性質(zhì).

（4）學(xué)生獨立完成下列表格.

y=tanx定義域值域周期奇偶性單調(diào)性對稱性

設(shè)計意圖：通過獨立思考，小組討論得出性質(zhì)，能加深學(xué)生對正切函數(shù)圖像的理解.學(xué)生在學(xué)習(xí)三角函數(shù)、誘導(dǎo)公式時，已經(jīng)知曉部分正切函數(shù)的性質(zhì)，如定義域、奇偶性等.現(xiàn)在通過正切函數(shù)圖像再進(jìn)一步理解性質(zhì)的本質(zhì)，更加深刻理解選取區(qū)間體現(xiàn)圖像在研究性質(zhì)中的價值.在性質(zhì)探究教學(xué)過程中，堅持以學(xué)生為主體，學(xué)生思維為主線，體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，有利于學(xué)生養(yǎng)成自主、合作、探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

問題2你能從正切函數(shù)圖像出發(fā)，討論它的性質(zhì)嗎？

學(xué)生結(jié)合圖像，直觀檢驗正切函數(shù)的定義域、值域、周期性、奇偶性.

設(shè)計意圖：此處為何再次討論性質(zhì)？作圖之前不是利用已有知識，對正切函數(shù)的性質(zhì)做過研究了嗎？很顯然這里不是對前面性質(zhì)的簡單重復(fù)，應(yīng)該是完善性質(zhì)、升華認(rèn)識.利用正切函數(shù)圖像，重點完善單調(diào)性：將單調(diào)區(qū)間整合優(yōu)化為進(jìn)而得出正切函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)區(qū)間為利用正切函數(shù)圖像，拓展正切函數(shù)的對稱性：正切函數(shù)圖像沒有對稱軸，但有對稱中心，對稱中心坐標(biāo)為Z，通過本環(huán)節(jié)，數(shù)形結(jié)合思想得到無形的滲透.

環(huán)節(jié)四——例題精講，夯實雙基

師：利用剛學(xué)的圖像與性質(zhì)完成下面各題吧！

例1觀察正切函數(shù)的圖像，完成下列各題：

（1）分別寫出滿足下列條件的x的集合：

①tanx=0____________；②tanx＞0____________；

③tanx=-1____________；④tanx≥-1____________.

師：能具體說明怎么解決嗎？根據(jù)函數(shù)的什么性質(zhì)？這組結(jié)果有什么特點？

設(shè)計意圖：對正切函數(shù)圖像的正反辨析，加深對正切函數(shù)周期性的理解，生生補(bǔ)充，及時評價，給予鼓勵.

設(shè)計意圖：學(xué)生在經(jīng)歷獨立思考、合作探究后，講解結(jié)合圖像如何解決，讓學(xué)生總結(jié)歸納出解決比較兩個正切函數(shù)值大小的方法，不僅進(jìn)一步加深對正切函數(shù)圖像的理解，更是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力.

設(shè)計意圖：教師適時、適當(dāng)?shù)赜枰砸龑?dǎo)學(xué)生觀察正切函數(shù)圖像在一定定義域內(nèi)的圖像，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和提取信息的能力．

問題：通過這三個小題，你能否總結(jié)解決這類問題關(guān)鍵要做什么？

生：抓住正切函數(shù)圖像.

設(shè)計意圖：通過一組題，強(qiáng)化以圖解題的方法，滲透數(shù)形結(jié)合的思想.引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成“觀察、分析、比較、歸納、概括”的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維的能力，同時也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識．

師：剛才例1解決得不錯，下面看看例2，你能解決嗎？

設(shè)計意圖：整體思想是三角學(xué)習(xí)以及高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一種重要思想，這里利用正切函數(shù)圖像加強(qiáng)理解，滲透思想，引發(fā)學(xué)生的思考，激發(fā)學(xué)習(xí)動機(jī)與探究欲望.

環(huán)節(jié)五——師生交流，總結(jié)升華

問題你能否從知識和思想方法上談?wù)劚竟?jié)課的收獲？

（學(xué)生總結(jié)，教師完善補(bǔ)充）

從知識層面看：（1）正切函數(shù)圖像的幾何作圖法.

（2）利用正切函數(shù)的圖像得到正切函數(shù)的相關(guān)性質(zhì).

（3）利用正切函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決有關(guān)問題.

從思想層面看：解決問題的方法運(yùn)用了類比、整體的思想方法.

設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生及時復(fù)習(xí)和善于總結(jié)、歸納、反思的習(xí)慣.

四、評價與反思

本課例教學(xué)，以教師引導(dǎo)下的“問題串”為載體，從類比入手，設(shè)計貼近學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”的問題為支點，引導(dǎo)學(xué)生展開了對正切函數(shù)圖像作法的研究，學(xué)生在問題串中，注重引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)方法的總結(jié)，不斷滲透數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)，從而深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的思維能力.

1.問題串教學(xué)

問題是數(shù)學(xué)思維活動的載體，而課堂的重要構(gòu)成因素就是問題.孤立的問題對思維發(fā)展幾乎沒有什么作用，只有讓問題以問題串的形式出現(xiàn)，在問題串的引領(lǐng)下，讓學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)的，連續(xù)的思維活動，學(xué)生的思維才能不斷攀升到新的高度.所以問題串不是幾個問題簡單的組合，而是指在一定的學(xué)習(xí)范圍和主題之內(nèi)，按學(xué)情、教學(xué)目標(biāo)、對一節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容或主題設(shè)計一組具有較強(qiáng)邏輯關(guān)聯(lián)的問題.問題串的教學(xué)是一種符合當(dāng)前新課程改革要求的教學(xué)模式，在問題串教學(xué)模式下，教師將一組問題有效串聯(lián)，從而解決教學(xué)目標(biāo).

本節(jié)課教法上采用“問題串”教學(xué)模式，圍繞正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)這一核心問題，設(shè)計了有邏輯關(guān)聯(lián)、有層次梯度的問題串，作為數(shù)學(xué)活動的出發(fā)點.通過問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生自主建立正切函數(shù)作圖的步驟.引導(dǎo)學(xué)生帶著問題（任務(wù)）進(jìn)行積極的自主學(xué)習(xí)，由表及里，由淺入深地自我建構(gòu)知識，有效的突破難點.

2.基于“問題串”的教學(xué)模式的反思

（1）問題忌簡單化，體現(xiàn)針對性和啟發(fā)性

課堂教學(xué)中倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)方式是自主、合作、探究，倡導(dǎo)的教學(xué)方式是啟發(fā)、討論、參與，但是實際教學(xué)中，不少教師為了問題而問題，不能有針對性的設(shè)計問題，將學(xué)生的注意力集中到某一個點.因此要設(shè)計問題要注重由淺入深，層層遞進(jìn)，并能循序漸進(jìn)的引導(dǎo)學(xué)生思考問題，逐步提高學(xué)生解決問題的能力.

例如，案例中環(huán)節(jié)一中的三個問題就是為了更好的滲透類比的思想，從作圖的步驟，到兩者的不同辨別，最后針對難點的突破，三個問題層層深入，讓學(xué)生很好地將正弦圖像中的思想類比到正切函數(shù)中，使學(xué)生的思維一直處在自我否定、自我完善的過程.思維永遠(yuǎn)是始于問題，因此好的問題就能啟發(fā)學(xué)生思考，挖掘?qū)W生的內(nèi)在潛能，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.因此清晰了解學(xué)生現(xiàn)有的知識水平，注重學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，有啟發(fā)性地設(shè)置問題，就能誘導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和欲望.

（2）問題忌形式化，注重突破重、難點

在“問題串”教學(xué)模式研究實踐中，不少教師只注重問題的多少，而不注重問題的質(zhì)量.設(shè)置問題的目的是為了突出重點，突破難點，提高“問題串”教學(xué)模式的功效.因此，在疑難處、重點處設(shè)置問題，能有效培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.

例如，案例中的難點就是為何選取作為作圖并研究的區(qū)間，通過設(shè)置三個問題，學(xué)生由類比正弦定理得到一定的結(jié)論，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)不同，引發(fā)相應(yīng)的思考，進(jìn)而優(yōu)化區(qū)間，研究性質(zhì).這樣通過問題串的引入，順應(yīng)學(xué)生的思維，逐步讓學(xué)生自己接受這個結(jié)果，而不是強(qiáng)加給他.

總之，教材作為數(shù)學(xué)家的智慧結(jié)晶，以學(xué)術(shù)的形態(tài)呈現(xiàn)出來，展現(xiàn)在我們面前的是冰冷的美麗，作為一線教師必須運(yùn)用自己的教育智慧和火熱思考，將冰冷的學(xué)術(shù)結(jié)論轉(zhuǎn)化為動態(tài)的數(shù)學(xué)教育.而“問題串”教學(xué)無疑是一種有效的方式，將教材的內(nèi)容活潑的展示在學(xué)生面前，易于學(xué)生接受，從而提高學(xué)生的積極性和學(xué)習(xí)興趣，最大限度地發(fā)揮教學(xué)效果.