黃　瑞，儲(chǔ)亞偉（阜陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽阜陽(yáng)236037）

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隱函數(shù)形式曲線的曲率和撓率的計(jì)算

黃瑞，儲(chǔ)亞偉
（阜陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽阜陽(yáng)236037）

摘要：利用隱函數(shù)定理將平面曲線和空間曲線的一般方程化為微分幾何中研究曲線的一元向量函數(shù)的形式，并使用微分幾何中研究曲線的方法，將此類(lèi)曲線的曲率和撓率的計(jì)算轉(zhuǎn)化為實(shí)函數(shù)的偏微商的計(jì)算，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)一般方程形式的曲線研究.

關(guān)鍵詞：隱函數(shù)定理；曲率；撓率

0　引言

平面曲線和空間曲線是曲線論的兩大研究對(duì)象，通過(guò)對(duì)曲線在一點(diǎn)處的漸近展開(kāi)，曲線在該點(diǎn)處的曲率和撓率完全決定了曲線在該點(diǎn)鄰近的近似形狀，因此曲率和撓率是曲線的兩個(gè)重要數(shù)字特征.在微分幾何中，研究曲線時(shí)總是假設(shè)曲線的方程為一元向量函數(shù)的形式，文［1］給出形如r=(x(t),y(t))的平面曲線的曲率的計(jì)算公式，文［2］給出形如r=(x(t),y(t),z(t))的空間曲線的曲率和撓率的計(jì)算公式，文獻(xiàn)［3，4］研究了具有某種特征的空間曲線的曲率和撓率.然而曲線的方程未必都能化為一元向量函數(shù)的形式，因此對(duì)一般方程形式的曲線的研究具有一定意義.本文將給出一般形式的曲線的曲率和撓率的計(jì)算公式及其在具體問(wèn)題中的應(yīng)用.

1　平面曲線(c):F(x,y)=0的曲率

設(shè)二元實(shí)函數(shù)F(x,y)在P(x,y)點(diǎn)的小鄰域內(nèi)滿(mǎn)足隱函數(shù)定理［5］，不妨設(shè)Fy(x,y)≠0，則F(x,y)=0在x的小鄰域內(nèi)確定了唯一連續(xù)可導(dǎo)的隱函數(shù)y=f(x)，從而得到平面曲線(c):F(x,y)=0在x的小鄰域內(nèi)的一元向量函數(shù)形式.

證明不妨設(shè)平面曲線(c):F(x,y)=0在x的小鄰域內(nèi)可化為一元向量函數(shù)的形式r=(x,f(x))，其中y=f(x)為F(x,y)=0在x的小鄰域內(nèi)確定的隱函數(shù).則

特別地，當(dāng)a=b=r時(shí)，帶入上式得到半徑為r的圓的曲率為需要說(shuō)明的是，平面曲線的曲率的符號(hào)反映了曲線的單位正法向量在單位圓周上的轉(zhuǎn)動(dòng)方向，單位正法向量逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，曲率為正，單位正法向量順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，曲率為負(fù).

設(shè)曲面F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0相交，則交線為，也即是空間曲線的一般方程.設(shè)(c)在P(x,y,z)的小鄰域內(nèi)滿(mǎn)足隱函數(shù)組定理的條件［5］，不妨設(shè)在P點(diǎn)的小鄰域內(nèi)確定了唯一連續(xù)可微的隱函數(shù)組x=φ(z),y=ψ(z)，從而空間曲線（c）在P點(diǎn)的小鄰域內(nèi)化為一元向量函數(shù)的形式r=(φ(z),ψ(z),z).

從而得到

從而

代入定理2得

方法（二）.文［6］給出維維安尼曲線的一元向量函數(shù)的形式r=(acos2t,acostsint,asint)，并得到

3　結(jié)束語(yǔ)

根據(jù)隱函數(shù)存在唯一性定理和可微性定理，文中將隱函數(shù)形式的曲線轉(zhuǎn)化為微分幾何中研究曲線的一元向量函數(shù)的形式，從而將曲線的曲率和撓率的計(jì)算轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)分析中的偏微商的計(jì)算，實(shí)現(xiàn)了對(duì)一般形式的曲線的研究.事實(shí)上，借助于這種轉(zhuǎn)化，還能夠求出隱函數(shù)形式的空間曲線在一點(diǎn)處的Frenet標(biāo)架、切線、主法線、副法線、密切平面、從切平面和法平面等幾何量.

參考文獻(xiàn)：

［1］陳維桓.微分幾何［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2006：73.

［2］梅向明，黃敬之.微分幾何［M］.北京：高等教育出版社，2008：42－43.

［3］劉學(xué)泳，滕超，肖前軍.曲線的基本向量組合成的曲線的曲率和撓率的計(jì)算［J］.湘潭師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2005，27（4）：17-20.

［4］崔鳳午.一般螺線曲率中心軌跡的曲率與撓率［J］.白城師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，23（6）：1-4.

［5］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）［M］.北京：高等教育出版社，2001：146-148.

［6］王亞玲.維維安妮曲線的曲率、撓率及伏雷內(nèi)公式［J］.長(zhǎng)春師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，31（3）：19-21.

The Calculation of the Curvature and the Torsion of the Curve of Implicit Function Form

HUANG Rui，CHU Yawei
（School of Mathematics and Statistics，F(xiàn)uyang Teachers College，236037，F(xiàn)uyang，Anhui，China）

Abstract：Implicit function theorem is applied to change the general equation of the plane curve and space curve into the form of unitary vector function in studying the curve of differential geometry，and this method is used to convert the calculation of curvature and torsion into the calculation of partial derivative of real function，and thereby，to conduct the curve research of the general equation.

Key words：implicit function theorem；curvature；torsion

作者簡(jiǎn)介：黃瑞（1985-），女，安徽阜陽(yáng)人，碩士，助教，研究方向：微分幾何.

基金項(xiàng)目：國(guó)家特色專(zhuān)業(yè)建設(shè)項(xiàng)目（TS11496）；安徽省質(zhì)量工程項(xiàng)目

收稿日期：2015-09-08

中圖分類(lèi)號(hào)：O 186.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：C

文章編號(hào)：2095-0691（2016）01-0072-03