羅先文

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“函數(shù)的極值與導數(shù)”教學設計

羅先文

一、教學內容分析

“函數(shù)的極值與導數(shù)”是繼應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性之后的又一應用，主要是探索函數(shù)的極值與導數(shù)值變化之間的關系。學生學習該知識是為求閉區(qū)間上連續(xù)可導函數(shù)的最值作鋪墊，同時也為利用導數(shù)求解生活中的優(yōu)化問題作準備，并進一步體會導數(shù)在研究函數(shù)中的優(yōu)越性和工具性。

二、教學目標

知識與技能：

1.結合函數(shù)圖像，了解可導函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；

2.理解函數(shù)極值的概念，會用導數(shù)求函數(shù)的極大值與極小值。

過程與方法：

通過觀察具體的函數(shù)圖像，學生直觀感知“極值”這一概念的生成過程，并積極主動地參與探索函數(shù)的極值與導數(shù)值變化之間的關系的活動，親身經歷用導數(shù)研究極值方法的過程。

情感態(tài)度與價值觀：

通過學習，學生體會導數(shù)在研究函數(shù)性質中的工具性和優(yōu)越性，掌握極值是函數(shù)的局部性質，增強數(shù)形結合的意識；通過體會成功，形成學習數(shù)學知識、了解數(shù)學文化的積極態(tài)度；通過規(guī)范地表達求函數(shù)極值的過程，養(yǎng)成縝密的思維習慣。

三、教學重點及難點

重點：利用導數(shù)求函數(shù)的極值。

難點：函數(shù)在某點取得極值的必要條件與充分條件。

四、教學過程

（一）創(chuàng)設情境，導入新課

1.上節(jié)課學習了導數(shù)的幾何意義與函數(shù)的單調性，導數(shù)和函數(shù)單調性的關系是什么？我們是如何研究兩者關系的？

學生回顧上節(jié)課所學內容，回答老師的提問。

2.圖1表示高臺跳水運動員的高度h隨時間t變化的函數(shù)h（t）=-4.9t2+6.5t+10的圖像，觀察圖像回答下列問題。

（1）當t=a時，高臺跳水運動員距水面的高度最大，那么函數(shù)h（t）在t=a處的導數(shù)是多少？（2）在點t=a附近的圖像有什么特點？（3）點t=a附近的導數(shù)的符號有什么變化規(guī)律？

根據(jù)教師所列的問題提綱，學生通過獨立思考、認真觀察圖像，精心組織語言回答問題（第一個小問題基本上都能準確回答，后兩個小問題少數(shù)學生只可意會而不可言傳，語言的組織不是那么精準）。教師適時引導、點撥，力爭讓學生能自己得出較為完整的結論。

3.上述結論對其他的連續(xù)函數(shù)是否成立呢？

學生自己動手畫一些連續(xù)函數(shù)的圖像，同桌之間相互交換并認真分析、觀察、比較對方所畫的圖像，回答問題。

設計意圖：引導學生運用上節(jié)課獲得的方法研究某點附近的圖像特征和導數(shù)符號的變化規(guī)律，不僅可以提高學習的積極性和主動性，還能進一步培養(yǎng)學生的觀察能力和語言組織能力，滲透從特殊到一般的數(shù)學思想與方法。

（二）合作探究，解惑答疑

1.觀察圖2所表示的y=f（x）的圖像，回答以下問題。

（1）函數(shù)y=f（x）在a，b的函數(shù)值與這些點附近的函數(shù)值有什么關系？

（2）函數(shù)在點a，b的導數(shù)值是多少？

圖1

圖2

（3）在點a，b附近的導數(shù)的符號分別是什么，它們有什么關系？

2.極值的定義。

3.通過以上探索，你能歸納出可導函數(shù)在某點x0取得極值的充要條件嗎？

學生仔細觀察圖2，回答問題（有第一個環(huán)節(jié)作鋪墊，基本上沒有障礙），再通過同桌交流、小組合作，嘗試歸納函數(shù)極值的定義，弄清楚：對于可導函數(shù)而言，f（x0）=0只是函數(shù)在x0處取得極值的必要條件而非充分條件，（師生共同找出反例）從而進一步理解可導函數(shù)在某點x0取得極值的充要條件是：f（x0）=0且點x0的左右兩邊的導數(shù)的符號要相反。

4.隨堂練習。

A.觀察圖3，回答以下問題。

（1）找出圖中的極值點，并說明哪些點為極大值點，哪些點為極小值點。

（2）極大值一定大于極小值嗎？

B.圖4是函數(shù)y= f（x）的圖像，試找出函數(shù)y =f（x）的極值點，并指出哪些是極大值點，哪些是極小值點。如果該圖像是導函數(shù)y=f憶（x）的圖像（如圖5）呢？

學生完成隨堂練習題，教師巡視，及時解答學生提出的問題，糾正學生在概念認識上的偏差，于易混淆處給予適當點撥。

設計意圖：讓學生將觀察分析得到的結論用科學嚴謹?shù)臄?shù)學語言表達出來，有利于學生思維從感性層面提升到理性層面，培養(yǎng)歸納概括能力。對問題進行遞進式分解，有利于學生思維的有序展開。隨堂練習的設置有利于學生對概念的辨析和理解。（三）知識應用，講解例題

例求函數(shù)（fx）=1x3-4x+4的極值。3

教師對例題加以分析后，學生動手做，教師邊巡視邊引導學生利用列表的形式表達解題過程，并共同歸納求函數(shù)極值的方法和步驟。

圖3

圖4

圖5

設計意圖：通過例題的分析和解答，學生養(yǎng)成規(guī)范表達的良好習慣，學會探索簡潔明了的表達方式的方法。

（四）課堂練習，鞏固新知

1.求函數(shù)f（x）=3x-x3的極值。

2.思考：若函數(shù)f（x）=ax3+bx2-2x在x=-2，x=1處取得極值，求函數(shù)f（x）的解析式及單調區(qū)間。

學生完成課堂練習，由兩個處于不同層次水平的學生上黑板做，教師進行點評，其余學生的完成情況同桌之間進行互評。

設計意圖：通過兩道習題的訓練，學生進一步體會用表格的形式解題的優(yōu)勢。

（五）課堂小結，形成網絡

學生先嘗試自己進行課堂小結，然后學生之間相互補充，教師進行整理、完善。

1.函數(shù)極值的定義；

2.函數(shù)極值求解步驟；

3.一個點為函數(shù)的極值點的充要條件。

設計意圖：學生自己進行課堂小結，有利于他們集中精力處于學習狀態(tài)，培養(yǎng)概括能力。

（六）作業(yè)布置（略）教學反思：本節(jié)課的教學內容是函數(shù)的極值與導數(shù)，在上節(jié)課學習了利用導數(shù)研究函數(shù)單調性的基礎上，學生借助函數(shù)圖像的直觀性探索、歸納出函數(shù)的極值定義，利用定義求函數(shù)的極值，并歸納出連續(xù)可導函數(shù)極值的求法和步驟。教學反饋中主要是書寫格式存在問題。為了統(tǒng)一要求，教師一般會主張用列表的方式表示。剛開始有些學生不愿意接受這種解題方式，但隨著幾道例題與練習題的展示，他們體會到了列表方式的簡便。同時，為了能夠快速判斷導數(shù)值的符號,我要求學生盡量把導數(shù)因式分解。本節(jié)課的難點是函數(shù)在某點取得極值的必要條件與充分條件，為了說明這一點，舉出反例是很有必要的。在解答過程中，學生對較為復雜函數(shù)的求導的準確率還比較低，求函數(shù)極值的過程書寫也不規(guī)范。為此，我補充了用文字表達的書寫格式，學生可以根據(jù)自己的喜好和實際選擇表達方式。當然，無論選擇哪種表達方式，求連續(xù)可導函數(shù)的極值是本節(jié)課的重點，都還需要加強訓練。（本文系全國教育科學“十二五”規(guī)劃2013年度教育部規(guī)劃課題《生命課堂視野下的教學案例研究》（FHB130512）階段性研究成果）

（作者單位：常德市芷蘭實驗學校）

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