江春冬，盧　茹，杜太行

（河北工業(yè)大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)院，天津300130）

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粒子濾波算法在靜止目標(biāo)定位時的數(shù)學(xué)建模

江春冬，盧茹，杜太行

（河北工業(yè)大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)院，天津300130）

摘要：粒子濾波算法在目標(biāo)定位中主要用于目標(biāo)跟蹤，對靜止目標(biāo)定位的應(yīng)用研究鮮有報道，尤其是針對具體的無線電移動監(jiān)測車，已知數(shù)據(jù)只有車的位置坐標(biāo)和目標(biāo)示向度情況，數(shù)學(xué)模型的建立還沒有文獻(xiàn)可供參考。在熟悉粒子濾波機(jī)理的基礎(chǔ)上，參考粒子濾波在目標(biāo)跟蹤時建立數(shù)學(xué)模型的方法，結(jié)合無線電移動監(jiān)測車對靜止目標(biāo)定位的實際需要，建立粒子濾波算法在靜止目標(biāo)定位時的數(shù)學(xué)模型，模型中融合分類和擇優(yōu)的措施以提高定位精度。最后在LabVIEW平臺下對所建立的模型進(jìn)行仿真實驗，結(jié)果表明所建立的模型準(zhǔn)確可行。

關(guān)鍵詞：定位；數(shù)學(xué)模型；粒子濾波；靜止目標(biāo)

0　引言

無線電干擾源是一種靜止的信號源，對其測向定位是無線電管理的一項重要工作。其中，完成機(jī)動干擾源定位查找或?qū)嵤┨囟▍^(qū)域干擾信號監(jiān)測的無線電移動監(jiān)測車是無線電監(jiān)測測向工作中的重要技術(shù)裝備之一[1-2]。但由于車的天線情況及使用環(huán)境所限，監(jiān)測車接收到的測向信號多徑現(xiàn)象嚴(yán)重，再使用現(xiàn)有的車載線性測向定位方法，定位結(jié)果往往誤差過大，影響對實際無線電干擾源的判斷。

鑒于此，考慮將研究較熱的適用于非線性非高斯問題的粒子濾波[3-6]算法應(yīng)用到車載系統(tǒng)中，取代原有的線性定位方法。雖然粒子濾波算法在目標(biāo)跟蹤方面已有不少研究成果[7-8]，但對靜止目標(biāo)定位的研究非常少。雖然二者表面看來相同，選擇合適的參照物即可，但實際存在如下問題：1）文獻(xiàn)中目標(biāo)跟蹤的問題，目標(biāo)的運動軌跡基本已知，位置、速度加速度變化規(guī)律可循；而使用移動監(jiān)測車對靜止干擾源定位時，車的行進(jìn)路線要根據(jù)實際的道路情況而定。2）目標(biāo)跟蹤問題，選擇的狀態(tài)量是目標(biāo)某一時刻的狀態(tài)；而對靜止目標(biāo)來說，如果仍舊選擇目標(biāo)某一時刻的狀態(tài)為狀態(tài)量，狀態(tài)就是不變的，沒有了定位的必要。若要選擇車的狀態(tài)為狀態(tài)量，車的任一時刻狀態(tài)又是非連續(xù)的。

因此，使用粒子濾波算法進(jìn)行無線電干擾源測向定位時，如何選擇合適的物理量為狀態(tài)變量，并建立合適的狀態(tài)空間模型，是必須解決的問題。本文在已知某一時刻移動監(jiān)測車位置坐標(biāo)和相應(yīng)干擾源信號測向角的情況下，建立粒子濾波算法進(jìn)行定位時的數(shù)學(xué)模型。

1　粒子濾波算法及其實現(xiàn)步驟

粒子濾波算法的基本思想是依據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)向量的經(jīng)驗條件分布在狀態(tài)空間產(chǎn)生一組稱為粒子的隨機(jī)樣本集合，然后根據(jù)觀測量不斷調(diào)整粒子的權(quán)重和目標(biāo)狀態(tài)位置，最后通過調(diào)整后的粒子信息修正最初的經(jīng)驗條件分布，估計出目標(biāo)的狀態(tài)或位置[9-10]。

根據(jù)粒子濾波算法的基本思想可知，基本的粒子濾波算法實現(xiàn)步驟應(yīng)包括：

1）選擇合適的狀態(tài)變量和觀測變量，建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型。這一步在眾多文獻(xiàn)中并沒有把它歸入到粒子濾波方法實現(xiàn)流程里，但這一步卻是至關(guān)重要的。一般情況下選擇目標(biāo)狀態(tài)為狀態(tài)量。

2）針對k時刻狀態(tài)，建立初始粒子群，即進(jìn)行序貫重要性采樣。

3）針對k時刻狀態(tài)，對2）建立的每一個粒子，進(jìn)行權(quán)值計算，并歸一化。

4）針對k時刻狀態(tài)，對計算完權(quán)值的粒子進(jìn)行取舍，為保證粒子群大小不變，對權(quán)值較小的粒子進(jìn)行重采樣，然后重復(fù)執(zhí)行3）、4），直到結(jié)束條件滿足。

5）輸出k時刻的狀態(tài)。

6）對每一時刻進(jìn)行如上處理，得到各時刻的狀態(tài)集合。

2　粒子濾波算法在目標(biāo)跟蹤時的數(shù)學(xué)模型

設(shè)二維空間內(nèi)，選擇觀測點為坐標(biāo)原點，目標(biāo)的運動規(guī)律為：在x、y兩個方向上，后一時刻的位置為前一時刻的位置加上前一時刻該方向上速度，即：

式中：ν——速度；

x、y——方向位置；

k、k-1——時刻。

系統(tǒng)會受到外界干擾，影響系統(tǒng)運動軌跡。

2.1建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型

選擇x，y方向的位置和速度為狀態(tài)變量，即k時刻的狀態(tài)量為Xk=[xk，νxk，yk，νyk]；選擇目標(biāo)與觀測站間的角度為觀測量，k時刻的值用Zk表示，加上系統(tǒng)噪聲，可得k時刻的狀態(tài)方程和觀測方程[11-12]分別為

式中，系統(tǒng)矩陣Φ為

2.2粒子濾波實現(xiàn)模型

1）初始化采樣，根據(jù)式（2），可得k時刻的粒子集[13]，表示為{X（i）k}Ni=1，展開表示為

式中：μ——系統(tǒng)噪聲；

C——噪聲系數(shù)，選擇為常量；

N——粒子數(shù)。

2）權(quán)值計算，選擇先驗概率密度函數(shù)為重要性函數(shù)，根據(jù)觀測方程，并在一定假設(shè)條件下，得權(quán)值計算公式為

式中x（i）k、y（i）k為式（3）中包含系統(tǒng)噪聲的粒子，δ2為觀測噪聲的方差。

計算出每一粒子權(quán)值后，對權(quán)值進(jìn)行歸一化處理[13]：

3）重采樣，對歸一化的權(quán)值選取一定的閾值，并采用系統(tǒng)重采樣方法進(jìn)行重采樣，摒棄權(quán)值較小的粒子，突出權(quán)值較大的粒子的作用，獲得重采樣后的粒子群。粒子群中粒子的數(shù)目不變[14]。

4）狀態(tài)輸出，結(jié)束條件滿足時，輸出當(dāng)前時刻的狀態(tài)。

3　粒子濾波算法在目標(biāo)靜止時的數(shù)學(xué)模型

當(dāng)使用移動監(jiān)測車進(jìn)行測向定位時，干擾源目標(biāo)信號靜止，移動監(jiān)測車移動，移動監(jiān)測車某一時刻能夠給出的信息是它的坐標(biāo)及干擾源的示向度，這些量都包含干擾噪聲。簡單的原理圖如圖1所示，虛線為車行路線，線上圓點為記錄信息點，星形為待定位的干擾源。（xT，yT）表示靜止目標(biāo)的位置坐標(biāo)，（xk，yk）表示k時刻移動監(jiān)測車的位置坐標(biāo)，θk表示移動監(jiān)測車在k時刻觀測到的示向角。k=1，2，…，n，n為記錄數(shù)據(jù)個數(shù)。

圖1　定位原理圖

3.1系統(tǒng)狀態(tài)量選擇

仿照目標(biāo)跟蹤時模型狀態(tài)量的選擇[11-12]，首先以目標(biāo)狀態(tài)為狀態(tài)量，但這個目標(biāo)比較特殊：它靜止且未知，無法由前一時刻直接推出，根據(jù)已知數(shù)據(jù)，只能由兩個記錄點在理論上的兩條直線相交獲得。這同時又引入了另一個問題，就是由于觀測的位置坐標(biāo)和示向角度誤差較大，由兩個記錄點計算得到的目標(biāo)位置誤差較大，由此定位出來的結(jié)果誤差也較大。

因為監(jiān)測車是移動的，選擇監(jiān)測車的位置坐標(biāo)為狀態(tài)量會出現(xiàn)兩個問題：1）監(jiān)測車的運動軌跡并無規(guī)律，沿著實際路線不定時地記錄數(shù)據(jù)，后一數(shù)據(jù)與前一數(shù)據(jù)沒有太多的關(guān)系，可以認(rèn)為狀態(tài)量是離散的；2）觀測角度本身參與了狀態(tài)計算，再以此作為權(quán)值計算依據(jù)，合理性有待考查。

因為車的位置狀態(tài)量是離散的，其實際位置坐標(biāo)是根據(jù)實際情況記錄的，無法根據(jù)前一狀態(tài)進(jìn)行估計。而且因為不是直接針對目標(biāo)的，在計算過程中還要進(jìn)行轉(zhuǎn)換。綜合分析后，以第1種方案建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程。

3.2系統(tǒng)狀態(tài)模型建立

需要定位的目標(biāo)是未知的，其狀態(tài)只能由已知數(shù)據(jù)進(jìn)行計算。根據(jù)車測數(shù)據(jù)，首先取m組數(shù)據(jù)進(jìn)行狀態(tài)計算。理論上，m組數(shù)據(jù)兩兩相交會得到Cm2個狀態(tài)，但由于實際數(shù)據(jù)不變，只需取相鄰(記錄時)兩個數(shù)據(jù)或者相隔一定區(qū)間的數(shù)據(jù)計算狀態(tài)就可以了。取任意2組數(shù)據(jù)進(jìn)行狀態(tài)計算公式表示為

式中xTk，yTk分別為第k次計算時目標(biāo)狀態(tài)在兩個方向上的分量，（x1k，y1k），θ1k（x2k，y2k），θ2k分別為第k次計算時所使用的兩組數(shù)據(jù)位置及角度。狀態(tài)變量Xk=[xTk，yTk]。

觀測量仍舊選擇觀測角度，其模型可描述為

式中νk為k時刻的觀測噪聲。

3.3粒子濾波實現(xiàn)模型

1）初始化采樣

在目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)中，粒子群的初始化采樣是根據(jù)狀態(tài)方程在某一時刻狀態(tài)加上系統(tǒng)噪聲獲得的，而靜止目標(biāo)是計算出來的，計算的依據(jù)本身包含噪聲，不夠準(zhǔn)確，若在此基礎(chǔ)上，再附加噪聲已經(jīng)沒有意義。于是用前面m個數(shù)據(jù)計算出的各種狀態(tài)組成具有N個粒子的粒子群，作為初始粒子群。初始粒子群表示為{X（i）0}Ni=1。

2）k時刻采樣

k?。?，2，…，n），從第m+1個數(shù)據(jù)開始算起。

3）k時刻權(quán)值計算并歸一化

利用新的觀測值來計算每一個粒子的權(quán)值，δ2為觀測噪聲的方差。

歸一化的公式形式同式（6）。

4）k時刻重采樣

對計算完歸一化權(quán)值的粒子集進(jìn)行重采樣，重采樣的方法采用系統(tǒng)重采樣，保留權(quán)值大的粒子，舍去權(quán)值小的粒子。

5）k時刻的狀態(tài)輸出

利用式（7）輸出估算的目標(biāo)狀態(tài)。

從式（11）可以看出，初始化的粒子群是后面每一個時刻的粒子集，其好壞對定位結(jié)果影響很大。為了使定位結(jié)果有保證，對給出的m個數(shù)據(jù)組成初始粒子集進(jìn)行了處理：1）粒子不能選擇的太少，最好超過50個；2）在計算目標(biāo)前，先根據(jù)觀測角度進(jìn)行排序，然后用相隔一定區(qū)間的數(shù)據(jù)進(jìn)行計算；3）利用一定的閾值，將明顯偏離的數(shù)據(jù)去除。經(jīng)過這樣的處理，定位準(zhǔn)確度會有所提高。

4　仿真試驗

基于LabVIEW平臺對建立的模型進(jìn)行仿真實驗。

以移動監(jiān)測車的初始位置為坐標(biāo)原點，設(shè)目標(biāo)干擾源的坐標(biāo)為（2070m，1630m）。程序中可以自定義仿真時測量數(shù)據(jù)組數(shù)、測量數(shù)據(jù)步長、坐標(biāo)及示向角度的噪聲，給出一定的壞點，同時目標(biāo)干擾源位置可隨機(jī)產(chǎn)生，也可給定。設(shè)定好各種數(shù)據(jù)后，通過點擊“計算”，獲得仿真數(shù)據(jù)。

該仿真實驗測量的是200組數(shù)據(jù)，仿真數(shù)據(jù)步長為20m，粒子群的個數(shù)選擇100個，即取101個數(shù)據(jù)產(chǎn)生粒子群。

圖2為用剩余的99組數(shù)據(jù)進(jìn)行定位實驗，得到移動監(jiān)測車運行路線與定位目標(biāo)。99組數(shù)據(jù)并沒有完全用上，根據(jù)規(guī)則，去除了明顯不合理的數(shù)據(jù)，實際參與計算的數(shù)據(jù)組為66組。

圖3為迭代次數(shù)與定位目標(biāo)間的關(guān)系，從圖可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，定位結(jié)果更趨準(zhǔn)確。

表1給出了定位結(jié)果，并給出定位結(jié)果與目標(biāo)干擾源相比較得到的誤差?？梢娛褂盟⒌尼槍o止目標(biāo)進(jìn)行定位的粒子濾波數(shù)學(xué)模型是可行的，定位精度比較高，能夠滿足實際定位的需要。

圖2　粒子濾波定位結(jié)果

圖3　迭代次數(shù)與定位目標(biāo)結(jié)果圖

表1　定位結(jié)果與誤差

5　結(jié)束語

本文對粒子濾波算法在靜止目標(biāo)定位中的建模進(jìn)行了研究，主要根據(jù)實際的無線電移動監(jiān)測車?yán)檬鞠蚨刃畔ふ腋蓴_源問題而提出。對建立的模型利用LabVIEW平臺進(jìn)行了仿真研究，得到了較為準(zhǔn)確的定位結(jié)果。給出的模型為相應(yīng)的研究提供了一定的思路，它與定位方法有望應(yīng)用于實際的無線電移動監(jiān)測車系統(tǒng)中。但在實際應(yīng)用時的影響因素還需要進(jìn)一步深入研究，對出現(xiàn)的問題還需要進(jìn)行改進(jìn)和處理。

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（編輯：劉楊）

Mathematical modeling for static target location with particle filter

JIANG Chundong，LU Ru，DU Taihang
（School of Control Science and Engineering，Hebei University of Technology，Tianjin 300130，China）

Abstract:Particle filter was used mostly in target tracking of position，but there were few reports about static target location especially the radio monitoring vehicles that their known data were only position coordinates of vehicles and azimuths of target. There are no corresponding reference documents to establish mathematical model. Based on particle filtering theory and referencing the method of mathematical modeling aim at target tracking and combined with the actual need of radio monitoring vehicles for static target location，established mathematical model aim at static target. This model combines classification and preferential measure to improve the location accuracy. Finally，the established model is simulated on LabVIEW and the results show that the modeling is accurate and feasible.

Keywords:location；mathematical model；particle filter；static target

作者簡介：江春冬（1974-），女，吉林白城市人，講師，博士，研究方向為智能算法、計算電磁場理論。

基金項目：工信部軟課題研究項目（12-MC-KY-14）

收稿日期：2015-02-21；收到修改稿日期：2015-04-16

doi：10.11857/j.issn.1674-5124.2016.02.026

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1674-5124（2016）02-0115-04