牛留斌

(中國鐵道科學(xué)研究院 基礎(chǔ)設(shè)施檢測研究所，北京　100081)

軌道不平順是指軌道的幾何形狀、尺寸、空間位置相對(duì)其正常狀態(tài)的偏差，按照激擾方向的不同可以將其分為軌向、高低、三角坑、水平等。軌道不平順是引起機(jī)車車輛振動(dòng)、軌道結(jié)構(gòu)變化等問題的主要來源。車體振動(dòng)加速度一方面反映了車輛對(duì)軌道不平順的響應(yīng)，是車輛運(yùn)行品質(zhì)的一種量度，另一方面也客觀反映了軌道不平順的狀態(tài)。因此，研究軌道不平順與車輛振動(dòng)之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系具有很強(qiáng)的工程意義，比如利用車體振動(dòng)加速度與軌道不平順在空間頻域上的相干性分析，可確定引起車輛振動(dòng)主要來源的軌道不平順不利波長的分布。

在軌道不平順與車體振動(dòng)加速度關(guān)聯(lián)關(guān)系的研究中，有的先建立車輛—軌道振動(dòng)模型，后輸入軌道不平順數(shù)據(jù)，以研究模型輸出(車體振動(dòng)加速度)與輸入之間的關(guān)系，如陳果[1]等利用車輛—軌道垂橫耦合模型研究了軌道不平順對(duì)車輛—軌道耦合系統(tǒng)橫向隨機(jī)振動(dòng)的影響；也有的采用時(shí)間序列方法、系統(tǒng)辨識(shí)理論等建立軌道不平順與車體振動(dòng)加速度之間的關(guān)系，如Atsushi Furukawa[2-3]等利用空間狀態(tài)方法建立了軌道不平順與車體振動(dòng)加速度之間的關(guān)聯(lián)模型。在以上關(guān)聯(lián)模型中，均對(duì)模型的輸入輸出進(jìn)行了線性化近似處理，在速度變化不大的條件下，模型能很好地表征輸入與輸出之間的關(guān)系。但由于車體振動(dòng)也與車輛的運(yùn)行速度有關(guān)，而上述關(guān)聯(lián)模型均未將車輛運(yùn)行速度當(dāng)作1個(gè)輸入變量，因此在車輛運(yùn)行速度波動(dòng)較大的情況下，這些模型很難再準(zhǔn)確地表征輸入與輸出之間的傳遞關(guān)系。

本文以軌道不平順和車輛運(yùn)行速度為輸入，車體振動(dòng)加速度為輸出，采用多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Back Propagation Neural Network ,BP)和主成分分析 (Principal components analysis,PCA) 法相結(jié)合的方法構(gòu)建軌道不平順與車體振動(dòng)之間的關(guān)聯(lián)模型(簡稱BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)模型)，并利用實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型的正確性和適用性。

1　BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)模型

首先，采用譜分析方法得出車體振動(dòng)加速度在空間頻域上的分布，根據(jù)車體振動(dòng)主要能量分布頻段確定BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)模型的適用范圍。其次，根據(jù)車體振動(dòng)加速度與軌道不平順在空間頻域上的相干函數(shù)分布特征，選擇與車體振動(dòng)有較強(qiáng)相干特性的軌道不平順作為模型的部分輸入，并選擇適當(dāng)?shù)难舆t步解決BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)模型中輸入與輸出變量不同步的問題。最后，在用成分分析法(PCA)降低模型輸入維數(shù)的基礎(chǔ)上構(gòu)建3層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)模型。

1.1　車體振動(dòng)加速度功率譜分布及相干性分析

經(jīng)研究表明[4]，大多數(shù)軌道不平順數(shù)據(jù)具有平穩(wěn)或弱平穩(wěn)特性，可將軌道不平順按平穩(wěn)隨機(jī)過程處理。本文采用平均周期圖法[5-6](Welch譜分析方法)得到車體振動(dòng)加速度功率譜，據(jù)此確定車體振動(dòng)能量主要集中的頻段，然后在這些頻段內(nèi)再進(jìn)行車體振動(dòng)與軌道不平順之間的相干性分析。為了減少功率譜密度能量的泄露，需對(duì)Welch譜分析方法得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行加窗處理，如加漢明窗(Hamming窗)。

不同類型的軌道不平順數(shù)據(jù)對(duì)車體振動(dòng)的貢獻(xiàn)是不一樣的，為構(gòu)建BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)模型，應(yīng)選擇引起車體振動(dòng)的主要因素，也就是選取與車體振動(dòng)相干特性強(qiáng)的軌道不平順作為輸入。相干函數(shù)是衡量2個(gè)隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)在頻域內(nèi)相關(guān)程度的指標(biāo)，用于評(píng)價(jià)輸入與輸出的因果關(guān)系，是輸入輸出相干特性的量度。它的取值在0～1.00之間，當(dāng)輸入與輸出之間相干函數(shù)的值越接近1.00，說明兩者的依賴性越強(qiáng)。一般認(rèn)為相干函數(shù)的值大于0.80時(shí)，輸入輸出之間存在較強(qiáng)的因果聯(lián)系。相干函數(shù)CYX(ω)的表達(dá)式為

(1)

式中：Y為由車體振動(dòng)垂向加速度和橫向加速度組成的二維向量;X為軌道不平順組成的多維向量矩陣;ω為空間頻率,m-1;GYX(ω)為輸入與輸出的互功率譜密度；GXX(ω)和GYY(ω)分別為輸入和輸出的自功率譜密度。

1.2　主成分分析

軌道不平順與車體振動(dòng)響應(yīng)之間在時(shí)域上不同步，在用實(shí)測數(shù)據(jù)訓(xùn)練BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)模型時(shí)，假定輸入與輸出變量之間存在M個(gè)時(shí)間延遲步，形成多步輸入對(duì)應(yīng)1步輸出的映射關(guān)系，即認(rèn)為t時(shí)刻的車體振動(dòng)加速度Y(t)是由t，t-1， …，t-M+1時(shí)刻的軌道不平順及車輛運(yùn)行速度矩陣Xv(t),Xv(t-1)， …，Xv(t-M+1)引起的，此時(shí)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)模型輸入變量的維數(shù)為M×N。選擇相干性較強(qiáng)的軌道不平順作為模型輸入時(shí)，兼顧軌道不平順與車體振動(dòng)之間的傳遞特性及模型計(jì)算規(guī)模，時(shí)間延遲步M建議取5，6，…，10。

由于在模型中考慮了輸入與輸出之間的時(shí)間延遲步，這在某種程度上使輸入數(shù)據(jù)包含的信息有所重疊。為了簡化模型且減少計(jì)算量，本文通過PCA法解析出多維輸入的主要影響因素，在盡可能包含原有數(shù)據(jù)信息的基礎(chǔ)上，用少數(shù)不相關(guān)的綜合變量替代原來較多的輸入變量，以達(dá)到降維的目的[7]。PCA法分析步驟如下。

1)初始變量的標(biāo)準(zhǔn)化

(2)

不同維數(shù)輸入變量的數(shù)值范圍、量綱均不相同，將各維輸入變量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化轉(zhuǎn)換，得到標(biāo)準(zhǔn)化向量序列矩陣X*為

(3)

式中：E和D分別為求均值、求方差計(jì)算符號(hào)；E(xvj)，D(xvj)分別為矩陣Xv第j列向量的均值、方差。

2) 標(biāo)準(zhǔn)化向量的協(xié)方差矩陣

記標(biāo)準(zhǔn)化向量序列矩陣X*的協(xié)方差矩陣S為

(4)

利用雅克比法求出協(xié)方差矩陣S的n個(gè)特征值λ和特征向量u，并按照降序排列。

3)主成分及貢獻(xiàn)率

將協(xié)方差矩陣S的特征向量u歸一化為單位特征向量e，則

(5)

式中：h為協(xié)方差矩陣S的個(gè)數(shù)，h=1，2，…，p，…，n；uh是協(xié)方差矩陣S的第h個(gè)特征向量；‖uh‖為uh的模。

利用協(xié)方差矩陣S的特征值及單位特征向量得到主成分向量Z為

(6)

(7)

選取主成分累計(jì)貢獻(xiàn)率Cr滿足一定條件時(shí)(比如Cr不小于95%)，由式(7)反求出p值，則BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)模型的輸入矩陣由Xv變?yōu)閆p，輸入的列數(shù)也由(M+1)×N列降低到p列。

1.3　BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)模型

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)包括輸入層、隱含層和輸出層，可以具有多個(gè)隱含層。采用3層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建車體振動(dòng)與軌道不平順之間的關(guān)聯(lián)模型，利用m組實(shí)測數(shù)據(jù)訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)模型的權(quán)值W和偏差值B時(shí)，模型輸入變量ZP為m行p列的矩陣，模型輸入層、隱含層和輸出層神經(jīng)元的個(gè)數(shù)分別為s1,s2和s3；各層激活函數(shù)分別為f1,f2,f3；各層初始權(quán)值為W0=(w1，w2，w3)；初始偏差值B0=(b1，b2，b3)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)經(jīng)過第1次正向傳遞后的模型輸出Y1為

Y1=f3(w3f2(w2f1(w1Zp+b1)+b2)+b3)

(8)

輸出誤差f(W,B)是網(wǎng)絡(luò)模型的輸出Y1與實(shí)測車體振動(dòng)Y之差的平方和，是權(quán)值W和偏差值B的函數(shù)，有

(9)

式中：k為訓(xùn)練模型所用數(shù)據(jù)的長度，k=1，2，…，m。

模型訓(xùn)練的目的是使輸出誤差f(W,B)小于允許的目標(biāo)誤差。當(dāng)輸出誤差函數(shù)的值大于目標(biāo)誤差時(shí)，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)將輸出誤差反向傳輸給輸入層，并在相對(duì)于誤差函數(shù)斜率下降的方向上調(diào)整各層神經(jīng)元的權(quán)值和偏差值。網(wǎng)絡(luò)再在新的權(quán)值和偏差值基礎(chǔ)上進(jìn)行新一輪網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，并計(jì)算新的輸出誤差。如果新的輸出誤差小于目標(biāo)誤差或者達(dá)到規(guī)定的訓(xùn)練次數(shù)時(shí)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練停止，模型輸出為Yu。否則，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)將再次根據(jù)輸出誤差修改各層神經(jīng)單元權(quán)值和偏差值，進(jìn)行新一輪模型訓(xùn)練，直至滿足模型輸出誤差f(W,B)小于目標(biāo)誤差或者達(dá)到規(guī)定的訓(xùn)練次數(shù)為止。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)激活函數(shù)、訓(xùn)練次數(shù)等參數(shù)的選擇可參考文獻(xiàn)[8—9]。

經(jīng)用實(shí)測數(shù)據(jù)訓(xùn)練后，可獲得各層神經(jīng)元的權(quán)值W和偏差值B。由于各層神經(jīng)元初始的權(quán)值W0和偏差值B0是系統(tǒng)隨機(jī)選取的，這些隨機(jī)選取的值對(duì)關(guān)聯(lián)模型預(yù)測效果是有影響的。為消除這種影響，本文所用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)模型的網(wǎng)絡(luò)權(quán)值W和偏差值B為經(jīng)過多次訓(xùn)練后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)模型權(quán)值和偏差值的均值。

2　相關(guān)系數(shù)和模型殘差

為驗(yàn)證關(guān)聯(lián)模型輸入與輸出之間關(guān)系的準(zhǔn)確程度，除了可以通過對(duì)比關(guān)聯(lián)模型的輸出數(shù)據(jù)與實(shí)測數(shù)據(jù)的波形外，還可以通過相關(guān)系數(shù)R衡量兩者的線性相關(guān)程度。

曬太陽幫助身體合成維生素D是促進(jìn)鈣吸收的關(guān)鍵一環(huán)，另外，還有多種因素影響鈣的吸收。因?yàn)樯攀呈菑?fù)合成分，其中有很多因素是互相影響的，例如，如果膳食中草酸、鞣酸量太高的話，會(huì)中和鈣，導(dǎo)致鈣不易被人體吸收；如果飲食中維生素含量較高的話，可以幫助鈣的吸收。所以，為了排除膳食因素對(duì)鈣質(zhì)吸收的影響，最好在餐后2小時(shí)喝奶。

(10)

式中：L為模型驗(yàn)證時(shí)實(shí)測數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，L=1，2，…，T；YL為第L個(gè)實(shí)測的車體振動(dòng)數(shù)據(jù)；YuL為關(guān)聯(lián)模型第L個(gè)輸出數(shù)據(jù)；E(Y)和E(Yu)分別為實(shí)測車體振動(dòng)數(shù)據(jù)和關(guān)聯(lián)模型輸出數(shù)據(jù)的均值。

當(dāng)相關(guān)系數(shù)R大于0.80時(shí)，認(rèn)為模型輸出和實(shí)測數(shù)據(jù)之間存在很強(qiáng)的線性相關(guān)性。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)模型的輸出與實(shí)測數(shù)據(jù)之間的差值蘊(yùn)含了所建模型是否合理可靠的信息，是驗(yàn)證模型是否合適的一個(gè)量度。模型殘差re為實(shí)測數(shù)據(jù)Y與模型輸出Yu之間的差值組成的系列，即

re=Y-Yu

(11)

按照文獻(xiàn)[10-11]，如果模型能夠準(zhǔn)確辨識(shí)輸入與輸出間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，模型殘差應(yīng)服從均值為零的正態(tài)分布，即re～N(0,σ2)。方差σ2為模型殘差偏離均值距離的平均數(shù)，反映了殘差的離散程度。σ越小，說明殘差偏離均值的程度越小，實(shí)測數(shù)據(jù)Y與模型輸出Yu的值越接近。驗(yàn)證數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布的方法有圖示法、統(tǒng)計(jì)等多種方法，本文采用正態(tài)概率圖法來直觀驗(yàn)證模型的殘差re服從正態(tài)分布。

3　實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證

利用高速綜合檢測列車CRH380BJ-0301(簡稱0301車)和軌道檢查車SY998799(簡稱799車)的實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)模型的合理性和適用性。數(shù)據(jù)采樣間隔距離為0.25 m，軌道不平順數(shù)據(jù)的有效檢測波長為2～150 m。數(shù)據(jù)預(yù)處理時(shí)已濾除了軌道不平順數(shù)據(jù)中波長小于2 m和大于150 m的波長成分。車輛的運(yùn)行速度分別為200和95 km·h-1。

實(shí)測數(shù)據(jù)分為訓(xùn)練數(shù)據(jù)和驗(yàn)證數(shù)據(jù)2個(gè)獨(dú)立的部分。訓(xùn)練數(shù)據(jù)用于訓(xùn)練BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)模型，數(shù)據(jù)量m為10 000組，訓(xùn)練方法如前文所述步驟；驗(yàn)證數(shù)據(jù)用于分析驗(yàn)證所建BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)模型的有效性，數(shù)據(jù)量T為8 000組，驗(yàn)證方法是將該部分實(shí)測軌道不平順數(shù)據(jù)、車輛運(yùn)行速度作為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)模型的輸入，計(jì)算模型輸出Yu，并將Yu與實(shí)測車體振動(dòng)數(shù)據(jù)Y進(jìn)行比較。

圖1　車體振動(dòng)加速度功率譜密度

由圖1可見：799車的車體垂向和橫向振動(dòng)能量均主要集中分布在空間頻域0.01～0.10 m-1范圍內(nèi)；0301車的車體垂向振動(dòng)能量主要集中分布在空間頻域0.005～0.040 m-1范圍內(nèi)，而車體橫向振動(dòng)能量主要集中分布在空間頻域0.005～0.050 m-1范圍內(nèi)；799車在空間頻率0.36 m-1處振動(dòng)能量偏大，空間波長約為2.78 m，這是799車的車輪輪頻振動(dòng)成分對(duì)應(yīng)的車輪周長，而0301車在該空間頻段內(nèi)的振動(dòng)能量不大。

由式(1)得到不同軌道不平順與車體振動(dòng)的相干函數(shù)曲線如圖2所示。

圖2　軌道不平順與車體振動(dòng)的相干函數(shù)曲線

從圖2中可見：在車體振動(dòng)主要能量分布的頻域內(nèi)，車體垂向振動(dòng)與高低、長波高低軌道不平順的相干特性較強(qiáng)；車體橫向振動(dòng)與軌向、長波軌向軌道不平順的相干特性較強(qiáng)。

由于高低、長波高低軌道不平順與車體垂向振動(dòng)之間的傳遞關(guān)系近乎線性，在關(guān)聯(lián)模型時(shí)3層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的激活函數(shù)至少有1個(gè)應(yīng)是線性的。而軌向、長波軌向軌道不平順與車體橫向振動(dòng)之間的傳遞關(guān)系顯示出較強(qiáng)的非線性，此時(shí)3層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的激活函數(shù)應(yīng)具有非線性傳遞特性。

本文主成分分析時(shí)選擇的列數(shù)p應(yīng)滿足累計(jì)貢獻(xiàn)率Cr不小于99%的要求。在構(gòu)建關(guān)聯(lián)模型時(shí)，799車數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)模型選擇了6個(gè)時(shí)間延遲步，3層神經(jīng)元個(gè)數(shù)分別為60，80和1個(gè)；0301車數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)模型選擇了10個(gè)時(shí)間延遲步，3層神經(jīng)元的個(gè)數(shù)分別為45，80和1個(gè)。利用實(shí)測軌道不平順和車輛運(yùn)行速度數(shù)據(jù)，由關(guān)聯(lián)模型計(jì)算模型輸出數(shù)據(jù)Yu，并與實(shí)測車體振動(dòng)加速度數(shù)據(jù)Y對(duì)比，如圖3和圖4所示。由式(10)得到，799車車體垂向、橫向振動(dòng)加速度的實(shí)測數(shù)據(jù)與模型輸出之間的相關(guān)系數(shù)分別為0.85，0.87；0301車車體垂向、橫向振動(dòng)加速度與模型輸出之間的相關(guān)系數(shù)分別為0.81，0.85。

圖3　799車的模型輸出與實(shí)測數(shù)據(jù)對(duì)比

由圖3和圖4可見：雖然車輛運(yùn)行速度不恒定，但是BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)模型的輸出數(shù)據(jù)與實(shí)測數(shù)據(jù)吻合良好，波形變化趨勢一致；模型輸出數(shù)據(jù)與實(shí)測數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)R均大于0.80，表明兩者具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性；因此車輛運(yùn)行速度是否恒定對(duì)本文關(guān)聯(lián)模型的輸出影響不大，即在車輛運(yùn)行速度波動(dòng)較大的情況下，關(guān)聯(lián)模型也能夠準(zhǔn)確地表征輸入與輸出之間的傳遞關(guān)系。

圖4　0301車的模型輸出與實(shí)測數(shù)據(jù)對(duì)比

利用0301車的實(shí)測數(shù)據(jù)，由式(11)得到車體橫向振動(dòng)加速度的模型輸出值與實(shí)測值之間殘差re的正態(tài)概率分布，如圖5所示。由圖5可見：殘差曲線與正態(tài)分布直線基本重合，表明模型殘差re服從正態(tài)分布。

圖5　BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型殘差概率分布圖

數(shù)值分析表明，模型殘差re服從正態(tài)分布N(0.000 2,0.005)，近似滿足零均值正態(tài)分布的要求，方差0.005反映了模型殘差偏離零均值的程度較小，模型輸出值與實(shí)測值很接近。

4　結(jié)　語

本文提出利用Welch譜分析方法確定車體振動(dòng)加速度在空間頻域上的主要分布范圍，通過相干函數(shù)將相干特性較強(qiáng)的軌道不平順以及車輛運(yùn)行速度作為輸入變量，并考慮軌道不平順與車體振動(dòng)加速度之間的時(shí)間延遲，利用主成分分析法和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立軌道不平順與車體振動(dòng)之間的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)模型。該模型構(gòu)造方法簡單，模型參數(shù)僅與訓(xùn)練數(shù)據(jù)相關(guān)，反映了訓(xùn)練數(shù)據(jù)載體的傳遞特性。

利用實(shí)測數(shù)據(jù)對(duì)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)模型進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明模型輸出與實(shí)測振動(dòng)數(shù)據(jù)的相關(guān)性高，波形吻合良好，兩者的殘差近似符合零均值正態(tài)分布；車輛運(yùn)行速度作為關(guān)聯(lián)模型的1個(gè)輸入變量，用模型將車輛運(yùn)行速度與車體振動(dòng)的關(guān)系關(guān)聯(lián)起來，模型的輸出結(jié)果已包含了車輛運(yùn)行速度的高低、波動(dòng)等因素對(duì)車體振動(dòng)的影響。

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