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數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的一門(mén)科學(xué),是刻畫(huà)自然規(guī)律和社會(huì)規(guī)律的科學(xué)語(yǔ)言和有效工具。隨著新課程改革的實(shí)施,數(shù)學(xué)教師應(yīng)不斷對(duì)自己的教學(xué)方法進(jìn)行改變和創(chuàng)新,并合理應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。數(shù)形結(jié)合主要是利用數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,通過(guò)二者的轉(zhuǎn)化,使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,抽象問(wèn)題具體化,最終解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)形結(jié)合思想作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)思想中的基本核心,在教學(xué)和解題中起著十分重要的作用。
所謂數(shù)形結(jié)合,就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,就是充分考查數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的關(guān)系,將其中的內(nèi)在聯(lián)系在圖形或者數(shù)軸上表示,使之轉(zhuǎn)化為求解幾何或者代數(shù)問(wèn)題,并最終達(dá)到預(yù)期效果。既要分析其代數(shù)意義,又要揭示其幾何意義,將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙結(jié)合,來(lái)尋找解題思路,使問(wèn)題得到解決。
數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中的重要思想方法,可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化,有助于學(xué)生去理解和把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,還可以將一些難題、怪題變得簡(jiǎn)單易懂,拓寬解題思路,這對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力是大有裨益的。
3.1方程式的運(yùn)用。列方程解應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)中一個(gè)極為重要的內(nèi)容,此類(lèi)型題目的難點(diǎn)是根據(jù)題意尋找等量關(guān)系,并列出方程。要突破這一難點(diǎn),往往就要使用數(shù)形結(jié)合思想,利用圖形找出問(wèn)題中相對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。
例如:黃豆和綠豆共重90千克,其中黃豆65千克,綠豆的重量是多少?
根據(jù)題意,可以列出三個(gè)等式:①總重90千克—黃豆65千克=綠豆重量;②綠豆重量+黃豆65千克=總重90千克;③總重90千克—綠豆重量=黃豆65千克。如果把未知量用x表示,并且把它放在等號(hào)的左邊,可列出方程:x+65=90或者90—x = 65。由于題目中說(shuō)的是“黃豆和綠豆共重90千克”,所以列出的方程以“x+65=90”為好。
3.2數(shù)軸的運(yùn)用。借助平面直角坐標(biāo)系來(lái)解決一元一次不等式組、二元一次不等式租等不等式問(wèn)題,或通過(guò)二次函數(shù)圖像的繪制進(jìn)行無(wú)理數(shù)近似值、二次方程、最值、不等式解集等復(fù)雜問(wèn)題的求解。為了加深學(xué)生對(duì)不等式解集的理解,教師要把不等式的解集在數(shù)軸上直觀地表示出來(lái),使學(xué)生更加形象地看到不等式有無(wú)數(shù)個(gè)解。借助坐標(biāo)系將幾何問(wèn)題代數(shù)化,是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn),而在數(shù)軸上表示數(shù)集,則比在數(shù)軸上表示數(shù)又更深了一步,確定一元一次不等式組或二次一次方程組的解集時(shí),利用數(shù)軸更為有效。
例如研究三個(gè)集合的關(guān)系,A集合{x|-2<x<2},B集合{x|-3<x<-3},C集合{x|-5<x<-1},求三個(gè)集合的交集、并集、補(bǔ)集。如果通過(guò)計(jì)算求解,會(huì)十分浪費(fèi)時(shí)間且繁瑣容易出錯(cuò)。但是通過(guò)數(shù)形結(jié)合,在數(shù)軸上表示出各個(gè)集合就會(huì)很容易得到答案。
3.3函數(shù)及其圖像可以借助直角坐標(biāo)系將數(shù)與形全面結(jié)合。函數(shù)可以用圖形來(lái)表示,而借助這個(gè)圖形又可以直觀地分析出函數(shù)的一些性質(zhì)和特點(diǎn),通過(guò)函數(shù)解析式可以繪畫(huà)出相應(yīng)的幾何圖形,并相互依托進(jìn)而合理解決較多數(shù)學(xué)問(wèn)題,這為數(shù)學(xué)的研究與應(yīng)用提供了很大的幫助。
例如甲乙二人從a城到b城,甲騎自行車(chē),乙騎摩托車(chē)。可以先把每人每個(gè)時(shí)間段所走的路程做一個(gè)記錄,然后通過(guò)描點(diǎn)聯(lián)線(xiàn)的方法來(lái)畫(huà)一個(gè)函數(shù)圖像。根據(jù)圖像可以直觀的得出很多信息。比如,甲乙各自的出發(fā)時(shí)間及速度,還有甲走的是勻速還是變速等等。
利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué),可以使學(xué)生更加深刻地領(lǐng)悟蘊(yùn)藏在數(shù)學(xué)中的知識(shí),教會(huì)學(xué)生用科學(xué)的思想方法去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),可以使學(xué)生受益終身。除此以外,筆者在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了一些問(wèn)題:①初中數(shù)學(xué)教師雖然對(duì)數(shù)形結(jié)合思想了解全面,但是所教授的學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的認(rèn)識(shí)卻是片面的;②雖然教師認(rèn)識(shí)到了數(shù)形結(jié)合方法可以幫助學(xué)生分析題型和理解一些教學(xué)難點(diǎn),但是對(duì)于此方法的應(yīng)用多數(shù)還只是停留在解題中,在授課中運(yùn)用比較少;③絕大部分初中生有借助數(shù)形結(jié)合思想解題的意識(shí),但是其在解答問(wèn)題時(shí)表現(xiàn)出“以形助數(shù)”能力強(qiáng)于“以數(shù)助形”能力,因此,數(shù)學(xué)教師還要進(jìn)一步探究加強(qiáng)學(xué)生“從形中找到數(shù)運(yùn)用”能力的方法。
067500河北省平泉縣黃土梁子初級(jí)中學(xué)劉占軍