【摘 要】 學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的習(xí)得與建構(gòu)，總是基于豐富而深刻的數(shù)學(xué)體驗基礎(chǔ)上的.數(shù)學(xué)概念教學(xué)要注重三原則：感知要忌淺倡深，深入體驗；抽象要忌快倡慢，漸進概括；鞏固要忌聽倡做，實踐反思.從而實現(xiàn)在深度體驗中建構(gòu)數(shù)學(xué)概念.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)概念；教學(xué)原則；案例分析

高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)有些現(xiàn)象很令人擔(dān)憂：教師重解題技巧，輕概念生成，追求概念教學(xué)最小化和習(xí)題講解最大化；學(xué)生認為概念學(xué)習(xí)單調(diào)乏味而不重視它，對基本概念死記硬背、不求甚解，只是機械記憶.后果表現(xiàn)為學(xué)生在沒有真正理解概念的情況下匆忙去解題，使得他們只會模仿教師解決某些典型例題的題型和掌握某些特定的解法，一旦遇到新的情況、新的題目就束手無策，進而導(dǎo)致教師和學(xué)生為了提高成績，陷入無休止的題海之中.造成這種現(xiàn)象的主要原因，在于學(xué)生僅僅知道數(shù)學(xué)概念本身，并未理解概念的形成過程，對概念引出的必要性、概念的本質(zhì)及其功能沒有深刻的認識.《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)強調(diào)對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心的概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步理解.由于數(shù)學(xué)高度抽象的特點，注意體現(xiàn)基本概念的來龍去脈.在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷具體實例抽象數(shù)學(xué)概念的過程，在初步運用中逐步理解概念的本質(zhì).”學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念總是基于自我體驗基礎(chǔ)上.學(xué)生只有獲得豐富而深刻的數(shù)學(xué)體驗，數(shù)學(xué)思考才有具體的經(jīng)驗支撐，數(shù)學(xué)概念才能得以有效建構(gòu).下面結(jié)合案例說明數(shù)學(xué)概念教學(xué)的三原則.

1 感知——忌淺倡深，深入體驗

學(xué)生對抽象數(shù)學(xué)概念的建立，離不開感性經(jīng)驗的獲得，數(shù)學(xué)感知也就成了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的首要環(huán)節(jié).而學(xué)生對感性經(jīng)驗的積累，源于對數(shù)學(xué)素材感知的深淺程度.匆促、膚淺的簡單化感知，不利于學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的觸摸、積累.只有深入挖掘數(shù)學(xué)素材，引導(dǎo)學(xué)生循序漸進地從事觀察、操作、比較、思考等深度的數(shù)學(xué)活動，才能積累豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，進而觸及數(shù)學(xué)概念本質(zhì).

案例1 人教A版《數(shù)學(xué)2》“3.1直線的傾斜角與斜率”（第一課）的教學(xué)片斷.

在介紹完傾斜角這個概念之后，我們需要引入另一個新概念——斜率，如何引入呢？教材中是直接規(guī)定的.“我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率”.如果在實際教學(xué)中也這樣引入的話，學(xué)生會提出這樣的質(zhì)疑：為何要用正切值，而不能用正弦或余弦呢？面對這樣的提問，有的老師會說這是統(tǒng)一規(guī)定；有的老師相對民主些，逐一驗證為何正弦或余弦不好，但總給人“亡羊補牢”之嫌.

其實，完全可以通過設(shè)計下面兩個小問題引入斜率的概念.

問題1 請在同一平面直角坐標系中畫出下列方程所表示的直線.

師：問題2中的三條直線有何不同？

生：傾斜角不同，分別是45°，60°，135°.

師：大家發(fā)現(xiàn)了什么？

生：問題1中x前的系數(shù)恰好是問題2中對應(yīng)的傾斜角的正切值.

師：這會是偶然現(xiàn)象嗎？（此時，教師可利用“幾何畫板”演示當(dāng)傾斜角變化時，直線傾斜角的正切值與直線x前的系數(shù)始終保持一致）

師：看來，直線傾斜角的正切值與直線方程息息相關(guān)，那么我們不妨用直線傾斜角α的正切值來刻畫直線的傾斜程度，并給它取個名字，叫做直線的斜率.

評析 案例中，教師提出問題，通過學(xué)生思考、交流，加深了對“直線的斜率”概念的理解，逐步領(lǐng)悟其內(nèi)涵，把握其本質(zhì). 這樣的方式引入斜率的概念，自然、流暢，學(xué)生感知深刻，理解深入，把握本質(zhì).

2 抽象——忌快倡慢，漸進概括

從具體的感性經(jīng)驗中抽象出理性的數(shù)學(xué)概念，是數(shù)學(xué)認知水平的一大飛越，是概念教學(xué)的核心環(huán)節(jié).而抽象概括數(shù)學(xué)概念，是學(xué)生不斷地比較、剔除非本質(zhì)因素，逼近概念本質(zhì)的漸進過程.因此，抽象數(shù)學(xué)概念要忌快倡慢，要放慢教學(xué)節(jié)奏，引導(dǎo)學(xué)生多層多角度地對數(shù)學(xué)素材做出觀察、比較、概括，參與概念的形成過程，深刻揭示抽象定律的特定內(nèi)涵.

案例2 “函數(shù)概念”的教學(xué)片斷.

師：下列問題中各含有哪些變量，它們之間的關(guān)系是用什么方式表達的？

生：①中含有兩個變量，分別是炮彈距地面的高度h（單位：m）及時間t（單位：s），它們之間的關(guān)系是用解析式表達的；②中含有兩個變量，分別是南極上空臭氧層空洞面積及相應(yīng)年份，它們之間的關(guān)系是用圖像表達的；③中含有兩個變量，分別是我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)及相應(yīng)年份，它們之間的關(guān)系是用表格表達的.

師：現(xiàn)在，我們來分析上述各題中兩個變量的關(guān)系的特點.如①中，只要給定了時間t（0≤t≤26）的任意一個值，就唯一地確定了炮彈距地面的高度h的值；②中，只要給定了年份（1979～2001）的任意一個值，就唯一地確定了南極上空臭氧層空洞面積；③中，只要給定了年份（1991～2001）的任意一個值，就唯一地確定了我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù).即一個變量每取一個確定的值，另一個變量也相應(yīng)地唯一確定一個值.這時，我們把后者叫前者的函數(shù).

一般地，設(shè)集合A是一個非空的實數(shù)集，對A內(nèi)任意實數(shù)x，按照確定的對應(yīng)法則f，都有唯一的實數(shù)值y與它對應(yīng)，則這種對應(yīng)關(guān)系叫做集合A上的一個函數(shù).

好，現(xiàn)在根據(jù)函數(shù)的定義，判斷下列給出的對應(yīng)法則，是否是實數(shù)集R到R的一個函數(shù)：

生：……

師：好，同學(xué)們學(xué)會了根據(jù)函數(shù)的概念判斷一個對應(yīng)法則給出的對應(yīng)關(guān)系是否確定一個函數(shù).現(xiàn)在請大家舉出三個函數(shù)的實例.

……

評析 案例中，對函數(shù)概念的教學(xué)不只是讓學(xué)生死記硬背函數(shù)概念的定義，也不僅僅關(guān)注對函數(shù)表達式、定義域、值域的討論，而是通過選取具體事例，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷對函數(shù)概念的實際背景的感知與抽象概括的過程，并在概念的抽象概括過程中合理設(shè)置問題情景，使學(xué)生體會函數(shù)所反映的實際事物的變化規(guī)律，經(jīng)歷函數(shù)概念的抽象概括過程，同時，通過讓學(xué)生自己舉出函數(shù)的實例，辨別真假例子，較好地對函數(shù)概念實施“過程性教學(xué)”，不但使學(xué)生較為深刻地理解函數(shù)概念的內(nèi)涵，有效地促進學(xué)生對函數(shù)概念本質(zhì)的理解，而且也從中學(xué)會了抽象概括的思想方法.

3 鞏固——忌聽倡做，實踐反思

認知建構(gòu)學(xué)認為，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體.對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，除了學(xué)生本人，任何人都無法代替.學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的鞏固，并不是簡單地依賴教師重點強調(diào)、反復(fù)提醒所能及的，而是學(xué)生通過自身對概念的實踐運用中加以反思而建構(gòu)的.相對于顯性的知識技能而言，內(nèi)隱的數(shù)學(xué)經(jīng)驗的積累、數(shù)學(xué)方法的習(xí)得、數(shù)學(xué)思想的聚成，都離不開學(xué)生的親自“做”.因此，在數(shù)學(xué)概念的鞏固練習(xí)中，僅讓學(xué)生聽老師的指令機械訓(xùn)練是遠遠不夠的，而應(yīng)忌聽倡做，放手讓學(xué)生在做中積累經(jīng)驗，反思調(diào)整，進而深化鞏固數(shù)學(xué)概念.

案例3 “函數(shù)的零點”的教學(xué)片斷.

在學(xué)生得出，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上存在零點，必須滿足“連續(xù)”和“異號”，兩個條件后，教師提出問題：如果這兩個條件即“連續(xù)”和“異號”，現(xiàn)有一個或兩個條件不成立，那么函數(shù)還是否存在零點？

學(xué)生經(jīng)過畫圖象，舉反例，反復(fù)驗證，他們發(fā)現(xiàn)函數(shù)可能有零點，一些學(xué)生還主動上黑板畫出了圖象（如圖1～3.圖1是不滿足“異號”，圖2是不滿足“連續(xù)”，圖3是兩個條件都不滿足）.

同時，學(xué)生還發(fā)現(xiàn)也可能不存在零點，并舉出反例畫出圖象，恕不贅述.大家感受到“連續(xù)”和“異號”這兩個條件是函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)有零點的充分條件.接著教師提出問題：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上有零點，那么一定只有一個嗎？

學(xué)生們紛紛表示“不一定”，并有幾個學(xué)生上黑板畫出了（圖4～6）圖象.

教師再提出問題：如果有且只有一個零點的話，還需要滿足什么條件嗎？

學(xué)生經(jīng)過討論，最后得到要滿足3個（充分）條件：（1）函數(shù)y=f（x）的圖象在區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）f（a）f（b）<0；（3）函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào).

評析 案例中，在學(xué)生得出，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上存在零點，必須滿足“連續(xù)”和“異號”，兩個條件后，教師通過“如果這兩個條件即‘連續(xù)和‘異號，現(xiàn)有一個或兩個條件不成立，那么函數(shù)還是否存在零點？”、“如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上有零點，那么一定只有一個嗎？”、“如果有且只有一個零點的話，還需要滿足什么條件嗎？”的引導(dǎo)，不僅使學(xué)生舉出了正例，而且也讓學(xué)生舉出了反例.這樣，從概念的形成（具體）到明確概念（一般），再到舉出實例（具體）形成一個完整的概念認知過程，有利于學(xué)生理解概念，防止死記硬背.

當(dāng)然，“做”數(shù)學(xué)不僅要重視由因及果的數(shù)學(xué)結(jié)論的運用，還要重視由果探因的數(shù)學(xué)背景探究.因此，在概念的鞏固練習(xí)中，不僅要讓學(xué)生參與解題，還要重視讓學(xué)生參與構(gòu)題.

總之，學(xué)生總是基于深刻的數(shù)學(xué)體驗而建構(gòu)的.在教學(xué)中，教師要從幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗入手，倡導(dǎo)深入感知，漸進抽象，實踐鞏固，讓學(xué)生在深度體驗中深刻建構(gòu)數(shù)學(xué)概念.

作者簡介 趙緒昌，男，1963年生，主任，四川宣漢人， 中學(xué)特級教師，四川省學(xué)術(shù)和技術(shù)帶頭人，蘇步青數(shù)學(xué)教育獎和國務(wù)院政府特殊津貼獲得者，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究和中小學(xué)教育科學(xué)研究.