石滿紅，劉 衛(wèi)

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一種新的平移不變Shearlet變換域圖像去噪算法

石滿紅1，劉 衛(wèi)2

（1. 安徽科技學(xué)院信息與網(wǎng)絡(luò)工程學(xué)院，安徽 鳳陽(yáng) 233100；2. 中國(guó)科學(xué)院合肥智能機(jī)械研究所，安徽 合肥 230031）

提出了一種基于雙邊濾波和正態(tài)逆高斯模型的平移不變Shearlet變換域圖像去噪算法。對(duì)圖像進(jìn)行平移不變Shearlet變換分解，低頻子帶采用快速雙邊濾波算法處理，高頻子帶采用正態(tài)逆高斯模型對(duì)其進(jìn)行建模，在貝葉斯最大后驗(yàn)概率估計(jì)準(zhǔn)則下推導(dǎo)出與正態(tài)逆高斯模型相對(duì)應(yīng)的閾值函數(shù)表達(dá)式，從而達(dá)到去除圖像噪聲的目的。在對(duì)不同類型的圖像進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果表明了本文方法不僅具有良好的視覺效果，而且具有較高的峰值信噪比和平均結(jié)構(gòu)相似性。

圖像去噪；平移不變Shearlet變換；雙邊濾波；正態(tài)逆高斯模型；貝葉斯估計(jì)

0 引言

圖像在采集和傳輸?shù)倪^(guò)程中會(huì)不可避免地受到噪聲污染，噪聲的存在降低了圖像的分辨率。因此，如何有效的去除噪聲，成為了圖像處理中的經(jīng)典問(wèn)題。傳統(tǒng)的圖像去噪方法主要有空域低通濾波、統(tǒng)計(jì)濾波及頻域?yàn)V波等，雖然這些方法對(duì)噪聲有一定的抑制效果，但是損失了圖像的許多細(xì)節(jié)信息，會(huì)造成去噪圖像模糊，產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象。小波變換具有良好的時(shí)頻域局部化性質(zhì)，基于小波變換域的圖像去噪方法，能夠較好地保持圖像的細(xì)節(jié)信息，成為目前常用的去噪方法之一。小波域圖像去噪方法中最為著名的是Donoho[1]提出的全局閾值收縮去噪方法，閾值方法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單且可達(dá)到一定的降低噪聲的效果，因而引起學(xué)者們的廣泛關(guān)注。傳統(tǒng)的閾值方法并未考慮各尺度內(nèi)小波系數(shù)的相關(guān)性，而小波系數(shù)之間具有較強(qiáng)的相關(guān)性，因此學(xué)者們提出多種小波系數(shù)的先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)模型，以便獲得更好的去噪效果。Crouse等人[2]提出了隱馬爾科夫樹模型去噪算法，該算法時(shí)間復(fù)雜度太高且噪聲無(wú)法達(dá)到有效去除，2000年Chang等人[3]提出了基于廣義高斯分布模型Bayes Shrink去噪算法，但丟失過(guò)多的高頻系數(shù)，使得去噪效果不理想。2002年，Sendur等人利用小波系數(shù)尺度間的相關(guān)性，提出BiShrink[4]和Local-BiShrink[5]去噪方法，其主要是用二元非高斯分布來(lái)充分體現(xiàn)小波系數(shù)尺度間的相關(guān)性并作為先驗(yàn)分布，實(shí)驗(yàn)顯示基于二元非高斯分布模型去噪效果要好于廣義高斯分布模型及隱馬爾可夫模型，但去噪效果無(wú)法進(jìn)一步得到提升。文獻(xiàn)[6]用有限高斯混合模型來(lái)逼近小波系數(shù)分布，這些方法在一定程度上改善了去噪效果，但仍存在較大的局限性，例如缺乏局部自適應(yīng)性。2005年Cho提出了多元廣義高斯分布模型[7]，該模型通過(guò)調(diào)整不同的參數(shù)可以包含Gaussian、GGD、Non-Gaussian等模型，但是去噪過(guò)程中參數(shù)的估計(jì)比較復(fù)雜。2010年，郭強(qiáng)等人提出了Shearlet變換域的三變量模型的圖像去噪方法[8]，但是估計(jì)結(jié)果需要用到迭代算法，復(fù)雜度較高。2014年，劉炳良[9]提出結(jié)合小波變換和雙邊濾波相結(jié)合的去噪算法，雖然取得了不錯(cuò)的效果，但是其并未考慮到低頻子帶中的噪聲。Barndorff-nielesn[10]提出的正態(tài)逆高斯（NIG）模型，該模型能夠描述任意形狀的曲線，因而可以對(duì)不同程度拖尾的圖像分解系數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確建模，因此其作為圖像分解系數(shù)的先驗(yàn)?zāi)Ｐ褪呛线m的。

隨著小波變換的局限性（缺乏多方向選擇性和非稀疏性）日益顯現(xiàn)，學(xué)者們提出了多尺度幾何分析方法[11-13]。2007年Guo等人[13]提出了一種新的多尺度幾何分析方法——Shearlet變換，它能夠?qū)D像進(jìn)行稀疏表示且產(chǎn)生最優(yōu)逼近。與傳統(tǒng)的多尺度分析方法相比Shearlet沒(méi)有方向數(shù)和支撐尺寸大小的限制，Shearlet可以通過(guò)一個(gè)基函數(shù)的膨脹、剪切和平移變換來(lái)進(jìn)行構(gòu)造的。此外，Shearlet逆變換時(shí)只需要對(duì)正向變換中的剪切濾波器進(jìn)行加工和處理，因而Shearlet實(shí)現(xiàn)過(guò)程具有更高的計(jì)算效率。由于Shearlet具有以上這些優(yōu)點(diǎn)，其已應(yīng)用于許多圖像處理領(lǐng)域，如圖像去噪[14]、邊緣檢測(cè)[15]、圖像融合[16-18]等。然而，由于Shearlet離散化過(guò)程中也采用了下采樣操作，因而其不具備平移不變性，應(yīng)用于圖像去噪時(shí)易在奇異點(diǎn)附近產(chǎn)生偽吉布斯現(xiàn)象。平移不變Shearlet變換[15]通過(guò)級(jí)聯(lián)非下采樣金字塔濾波器和剪切濾波器，其具有Shearlet變換的所有優(yōu)點(diǎn)且實(shí)現(xiàn)過(guò)程沒(méi)有采用下采樣操作，因而其具有平移不變性，所以平移不變Shearlet變換更適合于圖像去噪工作。

噪聲圖像經(jīng)多尺度幾何變換后，雖然噪聲大部分集中高頻子帶，但是其低頻子帶仍存在一部分噪聲。本文在此基礎(chǔ)上提出了一種基于快速雙邊濾波[19]和正態(tài)逆高斯模型的平移不變Shearlet變換域圖像去噪算法，將平移不變Shearlet與正態(tài)逆高斯模型相結(jié)合，采樣快速雙邊濾波算法處理低頻子帶，以正態(tài)逆高斯模型為高頻系數(shù)的先驗(yàn)?zāi)Ｐ停秘惾~斯最大后驗(yàn)概率估計(jì)準(zhǔn)則，以達(dá)到去除噪聲的目的。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法能夠取得較好地去噪效果。

1 基于正態(tài)逆高斯模型的平移不變Shearlet變換域圖像去噪算法

1.1 Shearlet變換

Guo和Labate[13]在合成小波理論基礎(chǔ)上衍生出Shearlet變換。當(dāng)維數(shù)＝2時(shí)，具有合成膨脹的仿射系統(tǒng)定義為：

則對(duì)于任意的∈＋，∈，∈2，Shearlet基函數(shù)定義為：

基于以上Shearlet定義，函數(shù)()的Shearlet變換為：

式中：,,分別表示圖像尺度參數(shù)、剪切方向和平移量。Shearlet變換的頻域支撐如圖1所示。

SIST用于圖像處理時(shí)，需采用離散化形式，離散化過(guò)程主要分為兩步：①首先對(duì)圖像利用非下采樣金字塔濾波器組進(jìn)行多尺度分解，圖像經(jīng)過(guò)級(jí)非下采樣金字塔濾波器，可以得到＋1個(gè)與原圖像大小相同的子帶圖像。②對(duì)得到的各尺度子帶圖像使用剪切濾波器組進(jìn)行方向分解。經(jīng)以上兩個(gè)步驟完成了SIST對(duì)圖像的分解。由于在圖像處理的過(guò)程中沒(méi)有進(jìn)行采樣操作，使其具有平移不變性。更多關(guān)于SIST可以參考文獻(xiàn)[15]。

1.2 SIST變換域圖像去噪算法

以往基于小波變換域的圖像去噪算法，大多只是處理其高頻子帶，而認(rèn)為低頻子帶中不含有噪聲。實(shí)際研究發(fā)現(xiàn)，含噪圖像經(jīng)過(guò)小波分解，噪聲雖然主要集中于高頻子帶，但其低頻子帶中仍存在少量噪聲，如果僅僅處理高頻子帶，那么處理后的圖像視覺效果不佳，因而在設(shè)計(jì)圖像去噪算法時(shí)應(yīng)考慮低頻子帶的噪聲情況。因此本文對(duì)圖像進(jìn)行SIST分解后，為了減少計(jì)算負(fù)擔(dān)，首先對(duì)低頻子帶采用快速雙邊濾波[19]處理，然后對(duì)高頻子帶用NIG模型進(jìn)行建模，再進(jìn)行后續(xù)的處理。

圖1 Shearlet變換頻域支撐

1.2.1 NIG模型

基于統(tǒng)計(jì)模型的小波變換域圖像去噪算法，通常都需要知道圖像的小波變換系數(shù)的概率密度函數(shù)，然而對(duì)于一幅自然圖像，其變換系數(shù)的概率密度函數(shù)是無(wú)法準(zhǔn)確確定的，通常需要使用經(jīng)驗(yàn)直方圖來(lái)近似獲得。圖像經(jīng)小波變換后，其系數(shù)具有零均值，重拖尾的特點(diǎn)，因而Gaussian[20]、Generalized Gaussian Distribution[3]等模型都曾被用來(lái)模擬其分布情況，然而小波系數(shù)的實(shí)際分布情況與這些模型卻有些區(qū)別，通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)我們發(fā)現(xiàn)SIST變換系數(shù)也具有小波系數(shù)的分布特點(diǎn)。文獻(xiàn)[9]提出了一個(gè)混合模型，它由一個(gè)逆高斯分布和一個(gè)具有不同均值的高斯分布組成。由于其參數(shù)具有很強(qiáng)的靈活性，理論上可以描述任何形狀的曲線，因而可以作為SIST變換系數(shù)的先驗(yàn)分布，其概率密度函數(shù)為：

為了檢驗(yàn)使用正態(tài)逆高斯分布作為SIST系數(shù)的分布的先驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇裕覀兎謩e使用紋理較為豐富的圖像（Barbara）及紋理較少、對(duì)比度較低的紅外圖像（Plane）作為擬合示例，圖2是分別用NIG和GGD來(lái)擬合Barbara圖像及Plane圖像經(jīng)2層SIST分解（方向數(shù)為4，4）的第二層四個(gè)方向的系數(shù)分布。從圖2中我們可以看出，GGD無(wú)法很好地?cái)M合原始系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)分布，而NIG可以準(zhǔn)確地對(duì)原始系數(shù)分布進(jìn)行擬合，這種高度擬合情形也同樣出現(xiàn)在其他的子帶中，這再次證明了我們假定NIG為圖像的系數(shù)分布的合理性。

1.2.2 貝葉斯最大后驗(yàn)概率估計(jì)

通常情況下，圖像的退化模型可以簡(jiǎn)化為：

＝＋(5)

式中：為原始圖像；為均值為零、方差為2的服從高斯分布的噪聲；為含噪圖像。

經(jīng)SIST變換后，得到：

＝＋(6)

由上假定噪聲服從高斯分布，則高斯白噪聲概率密度函數(shù)為：

令(7)式右邊的一階導(dǎo)數(shù)等于零，并將(4)和式(8)代入式(7)，從而得到原始系數(shù)的估計(jì)解：

利用式(9)對(duì)圖像進(jìn)行去噪處理時(shí)，需要估計(jì)出正態(tài)逆高斯模型的參數(shù)、以及噪聲方差2，參數(shù)、根據(jù)不同子帶系數(shù)自適應(yīng)的估計(jì)出來(lái)，因而可以自適應(yīng)的處理噪聲圖像的分解系數(shù)。

1.2.3 模型參數(shù)估計(jì)

對(duì)各個(gè)子帶內(nèi)對(duì)應(yīng)的噪聲方差2本文采用蒙特卡洛[2]方法進(jìn)行估計(jì)。參數(shù)、可以利用下式進(jìn)行估計(jì)：

圖2 不同先驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?duì)實(shí)際分解系數(shù)分布的擬合示意圖

1.2.4 算法主要步驟

Step1：對(duì)含噪圖像先進(jìn)行四層SIST變換，方向數(shù)由粗到細(xì)尺度的方向數(shù)依次為4, 8, 8, 16，得到低通子帶和一系列帶通子帶；

Step2：采樣快速雙邊濾波算法處理低頻子帶；

Step3：運(yùn)用蒙特卡羅方法估計(jì)各個(gè)子帶的噪聲方差2，再利用式(10)、(11)對(duì)每個(gè)子帶估計(jì)正態(tài)逆高斯模型的參數(shù)、；

Step5：進(jìn)行逆SIST變換，從而得到去噪圖像。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

在仿真實(shí)驗(yàn)中，對(duì)自然圖像Lena、Barbara、Peppers、紅外圖像Plane及遙感圖像（Pentagon）進(jìn)行測(cè)試，加入零均值、方差為2的高斯白噪聲。將本文所提的去噪算法與Contourlet變換（CT）[11]的硬閾值算法，Mihcak等[20]人提出的LAWML（5×5）算法，非下采樣Contourlet變換[12]（NSCT）算法、基于雙樹復(fù)小波（DTCWT）的雙變量收縮（BiShrink）[5]算法以及SURE-LET[21]進(jìn)行比較；然后峰值信噪比（PSNR）、平均結(jié)構(gòu)相似性[22]（MSSIM）以及去噪后的視覺效果結(jié)合起來(lái)評(píng)價(jià)本文方法。其中峰值信噪比定義為：

從表1中可以看出，各種方法去噪后的PSNR均有不同程度的提高，這說(shuō)明了幾種方法的有效性；其中本文的去噪方法處理后的PSNR相比其他方法是最高的。相比于CT方法的去噪效果有明顯的優(yōu)勢(shì)；與LAWML及SURE-LET方法相比，本文方法獲得的PSNR值有較大的提高，平均提高在1.3dB以上；相比于其他兩種去噪方法，本文方法去噪后的PSNR也有不同幅度的提升。

從圖3、4中可以看出，BiShrink方法使用了二元收縮方法，去噪后零系數(shù)太多，細(xì)節(jié)丟失嚴(yán)重，使得去噪后的圖像過(guò)于平滑，LAWML方法獲得的圖像毛刺現(xiàn)象較為嚴(yán)重，本文去噪算法保留了圖像大部分的細(xì)節(jié)信息，如桌面紋理清晰可見，圖像視覺效果更好，與NSCT算法相比也有一定的程度上的改善；從圖5、6可以看出，Contourlet變換域硬閾值去噪后的圖像存在振鈴現(xiàn)象，LAWML和BiShrink方法去噪后的圖像整體偏暗，邊緣變得模糊，本文方法處理后的圖像減少了振鈴現(xiàn)象，圖像更清晰。

此外，本文方法不僅具有更好的視覺效果和較高的峰值信噪比，從表2可以看出，本文去噪后平均結(jié)果相似性也是最高的，表明本文方法去噪后的圖像保持原圖像的結(jié)構(gòu)能力要高于其他方法。

3 結(jié)論

本文充分考慮了含噪圖像經(jīng)SIST分解后，其高、低頻子帶中的噪聲情況，在SIST變換域中，提出了基于雙邊濾波和正態(tài)逆高斯模型的SIST變換圖像去噪算法?？焖匐p邊濾波算法用來(lái)處理低頻子帶，消除了低頻子帶中的噪聲，以NIG為先驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?duì)高頻進(jìn)行建模，由于模型的參數(shù)的自適應(yīng)性，使得去噪閾值具有自適應(yīng)性，改善了去噪效果。仿真實(shí)驗(yàn)表明，本文算法無(wú)論是在主觀視覺效果還是客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)PSNR、MSSIM上都有明顯的提高和改善，在有效去除噪聲的同時(shí)，更好的保持了原圖像的細(xì)節(jié)信息，證明本文算法的有效性。

表1 不同方法去噪后的峰值信噪比（PSNR）

表2 不同方法去噪后的平均結(jié)構(gòu)相似性比較（MSSIM）

圖3 噪聲方差為20的圖像（Barbara）去噪后局部放大圖

圖4 不同方法去噪后的圖像（Peppers）比較（噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為20）

圖5 不同方法去噪后的紅外圖像（Plane）比較（噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為20）

圖6 不同方法去噪后的遙感圖像（Pentagon）比較（噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為20）

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A New Image Denoising Algorithm Based on Shift-invariant Shearlet Transform Domain

SHI Manhong1，LIU Wei2

(1.,,233100,; 2.,,230031,)

A novel image denoising algorithm based on bilateral filtering and the normal inverse Gaussian model in shift-invariant shearlet transform domain has been proposed. The shift-invariant shearlet transform (SIST) is utilized to decompose the noised image. The fast bilateral filtering algorithm is used to deal with the low frequency sub-band coefficients; normal inverse Gaussian model for the prior model is used to describe the distributions of the image high frequency coefficients, and corresponding threshold function is derived from the model using Bayesian maximum a posteriori probability estimation theory to get denoised image. Test on different types of images and the experimental results show that our algorithm not only has better visual quality but also has higher peak signal-to-noise ratio (PSNR) and mean structural similarity (MSSIM).

image denoising，shift-invariant shearlet transform，bilateral filtering，normal inverse Gaussian model，Bayesian estimation

TP391

A

1001-8891(2016)01-0033-08

2015-08-14；

2015-12-28.

石滿紅（1987-），女，助教，研究方向計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)。

安徽省自然基金資助項(xiàng)目（1508085MC55、1508085QB41）。