王 利 藺海曉河南理工大學(xué)土木工程學(xué)院 河南焦作 454000

?

用圖解法確定膠結(jié)拉桿的許可載荷

王 利 藺海曉
河南理工大學(xué)土木工程學(xué)院 河南焦作 454000

摘 要：針對(duì)學(xué)生在理解通過拉壓桿膠結(jié)面強(qiáng)度確定桿件許可載荷存在的困惑，提出了一種確定許可載荷的圖解法，方法簡(jiǎn)單易懂，有助于全面認(rèn)識(shí)斜截面的應(yīng)力變化規(guī)律和許可載荷確定，是課后答案的重要補(bǔ)充。

關(guān)鍵詞：拉壓桿；斜截面；許可載荷；圖解法

材料力學(xué)課程是高等院校工科類專業(yè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，只有學(xué)好材料力學(xué)課程，后續(xù)課程的學(xué)習(xí)才能得心應(yīng)手[1,2]，該課程具有知識(shí)點(diǎn)多、邏輯性強(qiáng)、與工程和生活聯(lián)系緊密等特點(diǎn)。力學(xué)問題的求解方法一般可分為解析法和圖解法，解析法具有邏輯性強(qiáng)的特點(diǎn)，但是圖解法往往更加直觀，更容易理解，采用圖解法進(jìn)行求解往往可以起到事半功倍的效果[3,4]。

1

問題的提出

學(xué)生在求解《材料力學(xué)》(劉鴻文主編，第五版)習(xí)題2.14時(shí)，普遍感到不甚理解[5]。原題是：圖1中拉桿沿斜截面m-m，由兩部分膠合而成。膠合面的許用拉應(yīng)力[σ] =100MPa，許用切應(yīng)力[τ] =50MPa。設(shè)膠合面的強(qiáng)度決定桿件拉力。試問：為使桿件承受最大拉力F，α角應(yīng)取何值？若桿件橫截面面積為400mm2，并規(guī)定α≤60°0，試確定許可載荷F。

圖1

這是通過膠合面強(qiáng)度確定桿件載荷的問題，不同于一般的強(qiáng)度校核，本題的復(fù)雜性：一是膠結(jié)面上同時(shí)存在兩種應(yīng)力作用，拉應(yīng)力為：

切應(yīng)力為：

它們隨α變化規(guī)律不同(如圖2所示)；二是它們都可以使膠結(jié)面發(fā)生強(qiáng)度失效；三是膠結(jié)面許用拉應(yīng)力[σ]和許用切應(yīng)力[τ]不同。這道題的常規(guī)解法是，當(dāng)膠結(jié)面上的拉應(yīng)力和切應(yīng)力同時(shí)達(dá)到許用應(yīng)力時(shí)，桿端載荷最大，聯(lián)立(1)(2)二式，解得膠結(jié)面角度α=arctan (1/2) =26.561°0。但是，由于兩種應(yīng)力在膠結(jié)面上有很多種組合形式，且許用應(yīng)力又不同，所以，對(duì)桿件是否達(dá)到最大載荷仍然存在疑惑。本題的疑惑是為什么必須是兩種應(yīng)力同時(shí)達(dá)到許用應(yīng)力，桿件承受的荷載才達(dá)到最大？雖然我們可以理解為，正應(yīng)力和且應(yīng)力的共同作用使桿件維持一個(gè)最大強(qiáng)度，但是，從圖2(a)可知，兩種應(yīng)力具有不同的變化規(guī)律，桿件在達(dá)到最大載荷時(shí)，膠結(jié)面為什么不能只發(fā)生正應(yīng)力拉破壞或是沿截面的切應(yīng)力破壞中一種？如果簡(jiǎn)單地認(rèn)為兩種應(yīng)力同時(shí)達(dá)到許用應(yīng)力，桿件即可承受最大載荷，僅僅是一種數(shù)學(xué)推測(cè)，不利于學(xué)生對(duì)兩種強(qiáng)度失效方式的理解，也不利于對(duì)斜截面應(yīng)力狀態(tài)變化規(guī)律的理解?；谏鲜隹紤]，我們決定采用圖解法對(duì)膠結(jié)面的應(yīng)力狀態(tài)和失效應(yīng)力組合方式進(jìn)行全面的分析，以使學(xué)生對(duì)此問題達(dá)到全面的認(rèn)識(shí)。相比的公式解析法的理性分析，圖解法更加通俗易懂、全面直觀，非常本問題的全面討論。

為此，本文提出求解最大荷載及其斜面角度的圖解法，然后對(duì)比分析不同角度斜面上的應(yīng)力狀態(tài)，以及達(dá)到最大值時(shí)桿件的最大載荷。經(jīng)過對(duì)比當(dāng)α=26.561o，桿件承受拉力最大，與課本理論解一致。最后對(duì)膠結(jié)面的破壞機(jī)理進(jìn)行了圖解分析。

圖2

2 圖解法解題步驟

2.1 確定桿端許可載荷

將(1)和(2)式視為以F 為變量的函數(shù)，每一個(gè)α膠結(jié)面的應(yīng)力用兩條直線σα與τα表示，它們與[σ] 與[τ]直線交點(diǎn)的較小值就是桿端許可荷載[F]，如圖2(a)所示。

2.2 確定膠結(jié)面上控制許可載荷的應(yīng)力

分別確定α=20°0(0°<α<2266.561°0)， α=26.561°，α=40°(26.251°<α<45°)，α=45°以及α=60°0(45°<α<90°)膠結(jié)面的許可載荷，如圖2所示。其中當(dāng)α=26.561°時(shí)，由拉應(yīng)力確定的許可載荷與切應(yīng)力確定的許可載荷相同。

從圖中可見，當(dāng)膠結(jié)面0°≤α≤26.561°，如圖2(b)所示，許可載荷由拉應(yīng)力控制，當(dāng)σα=[σ]時(shí)，由(1)式得最大許可載荷為：

當(dāng)膠結(jié)面26.561°≤α<90°(如圖2d，e，f所示)，許可載荷由切應(yīng)力控制，當(dāng)τα=[τ]時(shí)，由(2)式得最大許可載荷為：

2.3 確定最大許可載荷

根據(jù)(3)和(4)式，做出許可載荷的變化曲線，如

圖3所示。由圖3可知，當(dāng)α≤60°時(shí)，最大許可載荷[F]max= 50kN，其對(duì)應(yīng)的膠結(jié)面α=26.561°。這是課本給出的答案。但是由圖3可知，同樣的最大許可載荷，當(dāng)α=90°?26.561°=63.439°時(shí)，也可以產(chǎn)生。且當(dāng)α>63.439°時(shí)，許可載荷將急劇增大，直至α=90，[F]=∞，說明斜面將永遠(yuǎn)不會(huì)產(chǎn)生膠結(jié)面破壞問題，此時(shí)桿件許用荷載完全由桿件材質(zhì)強(qiáng)度控制。同時(shí)由圖3可知，膠結(jié)面最不利承載角度是α=0°和α=45°，相應(yīng)于桿端最小許可載荷[F]min=40kN。

圖3

2.4 膠結(jié)面破壞機(jī)理解釋

當(dāng)0°≤α <26.561°，膠結(jié)面在拉應(yīng)力作用下發(fā)生拉伸斷裂。

當(dāng)α=26.561°，膠結(jié)面同時(shí)發(fā)生拉伸和剪切斷裂。

當(dāng)26.251°<α<90°，膠結(jié)面發(fā)生剪切破壞。

當(dāng)α=90°，膠結(jié)面不破壞。使膠結(jié)面發(fā)生破壞的應(yīng)力狀態(tài)如圖4所示。

圖4

3 結(jié)束語

通過圖解法分析，學(xué)生對(duì)斜截面上的應(yīng)力變化規(guī)律、決定桿件許可載荷的應(yīng)力、許可載荷變化規(guī)律以及膠結(jié)面破壞機(jī)理有了全面的認(rèn)識(shí)，因此，本文方法可以作為課本習(xí)題答案的一個(gè)補(bǔ)充說明，有利于提高教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)

[1] 陳建偉,王興國(guó),楊梅.材料力學(xué)中彎曲內(nèi)力概念及計(jì)算的圖例法教學(xué)設(shè)計(jì)[J].河北聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào):社會(huì)科學(xué)版,2013,13(1):93-95,118.

[2] 饒黃云.一道力學(xué)題的圖解法[J].江西科學(xué),2005,23(4):430-431.

[3] 張昌莘.矢量圖解法在力學(xué)中的應(yīng)用[ J ] .物理通報(bào),1996,(11):11-12.

[4] 沈韶華,李航.二向應(yīng)力狀態(tài)圖解法的教學(xué)設(shè)計(jì)[C].力學(xué)教學(xué)與教學(xué)改革交流會(huì)學(xué)術(shù)論文集,2006:42-43.

[5] 劉鴻文.材料力學(xué)[M].第5版.北京:高等教育出版社,2011.

The Maximum Allowable Load Determination Using Graphical Method

Wang Li, Lin Haixiao
School of Civil Engineering, Henan Polytechnic University, Jiaozuo, 454000, China

Abstract:How to determine the maximum allowable load by the strength conditions on inclined plane? It puzzles the students. In the paper, a graphical method is proposed. It is so simple that could be understand easily, and is an important supplement to the text answers.

Key words:tensile and compression bar; inclined plane; allowable load; graphical method

基金項(xiàng)目：河南省高等教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目(編號(hào)：2009SJGLX132)；河南省高校深部礦井建設(shè)重點(diǎn)學(xué)科開放實(shí)驗(yàn)室項(xiàng)目(編號(hào)：2012KF-07)；河南省教育廳科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(編號(hào)：13A440320)。

作者簡(jiǎn)介：王利，博士，副教授。

收稿日期：2015-07-27