茹峰

【摘要】 如何解決中考數(shù)學復習內(nèi)容多、參考資料雜而課時有限的困境？本文借賞析藤麗老師《平面直角坐標系中的平行直線》一課中對一道中考復習題的支架式教學，指出中考數(shù)學復習課應該借助重點習題的教學構(gòu)建一個遞進式的知識體系，讓學生消化得了，并形成數(shù)學思考與方法，學生舉一反三。

【關(guān)鍵詞】 中考題 數(shù)學復習 支架

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2016）02-073-030

一、背景

面對歷年的中考數(shù)學難題，不少老師總是感到變化無常而無規(guī)律可循，導致復習時械重復訓練很多且收效甚微。近年來，筆者聽過不少復習課，但印象頗深的要數(shù)寧波蛟川書院藤麗老師的課了。藤老師借助2012年中考數(shù)學寧波卷第26題的第（3）問，以兩條平行線為基本模型，由平面直角坐標系中的簡單的平行線設計開放性問題讓學生積極探索，充分挖掘平行線在數(shù)學中考中的廣泛應用，科學地設置了知識的結(jié)合點和生長點，通過模型的不斷變式，有效地啟發(fā)和培養(yǎng)了學生的數(shù)學思維方式，使在場教師受益匪淺。

原題：如圖，在平面直角坐標系中，一條拋物線經(jīng)過點A（-2，0）、B（0，-1）、C（1，0）。在此拋物線上是否存在點F，使得以F為圓心、為半徑的圓和直線AB相切 ？若存在，請求出所有點F的坐標；若不存在，請說明理由。

很明顯，這一習題的解答對知識的綜合運用程度極高，依現(xiàn)行的初中數(shù)學畢業(yè)班備考階段的通行做法，本題講解的一般思路是：考點分析——解題分析——解題過程講解——方法總結(jié)。選擇這種習題講授法的教師占多數(shù)，主要原因是心理上所承受的中考應試壓力大，理念上受“雙基”的影響，行為上采取“滿堂灌”式的傳授。但依伍德的學習支架理論來進行教學診斷，這種常規(guī)講解方法屬于支架過度：教師代替并束縛了學生的思維，就算學生聽懂了也只是達成了一個短期的記憶效果，并沒有讓大多數(shù)學生獲得數(shù)學思想上的認知或收獲。還有部分教師選擇的是先學后教的方式，讓學生以合作探究或獨立思考方式先進行自我嘗試，然后再進行全面講解。但由于第（3）問不易想出解題方法，學生的“已知區(qū)”與“最近發(fā)展區(qū)”之間鴻溝過大，多數(shù)學生都會束手無側(cè)。本文擬結(jié)合藤老師的教學過程作一個賞析評價，與同行分享并研討。

二、學習支架的遞進構(gòu)建

支架性問題1：如圖，在平面直角坐標系中，直線AB 分別交x軸，y軸于點A（-2，0），B（0，-2）。（1）求直線AB的函數(shù)解析式；（2）若直線l與直線AB平行，增加一個怎樣的條件就可以確定直線l的解析式？（3）若直線AB 向下平移2個單位，求所得的函數(shù)解析式？

分析：對于（2）的解答有學生提出增加“直線l過一個定點（0，1）”。因為通過第一小題可得直線AB的函數(shù)解析式為y=-x-2，再結(jié)合已知條件兩直線平行，則x的系數(shù)是相等的，所以只要再知道一個點的坐標就可以確定函數(shù)解析式了。

有學生認為，若知道直線l與AB之間距離為22，應該可以得出函數(shù)解析式的。

有的則說可以增加“將直線AB向右平移1個單位”。還有的認為可以求出點A和點B的對應點，從而兩點決定一條直線。有一個學生則認為：平移后的直線和原直線平行，所以k=-1，如增加（3），則直線l與y軸的交點為（0，-4）”函數(shù)解析式為y=-x-4。

教學評析：通過開放性問題的設問，能有效打開學生的思維，可以讓學生積極探索，歸納總結(jié)兩平行直線解析式的

特征和決定一直線的條件，

為下面的教學埋下了伏筆。

支架性問題2：如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-12x-1分別交x軸， y軸于點A、B. 若直線l與直線AB平行，且與直線AB的距離等于55.求直線l的解析式。

師生解析：過A作PA⊥AB，使得PA=55，再過點P作PM⊥x軸，

則△AOB∽△PAM，得到AM=15，PM=25，所以點P（-95，25），過P作直線l∥AB，設直線l為y=-12x+b代入點P得b=-12，類似地在直線AB下方也可以求出b=-32.

既然只要再求出一個點就可以確定解析式了，那么我們這個點就可以取得特殊點，在y軸上找一點P，使得PM⊥AB，則△BMP∽△BOA，得到點P（0，-12），所以直線l為y=-12x-12，類似直線下方的解析式為y=-12x-32.

教學評析：用特殊點和方程思想來解決問題，其實線段與點的坐標也存在著一定的關(guān)系，得出y=-12x-12是由原來直線向上平移12個單位，或者向下平移12個單位得到進一步強化通過平行線之間的距離來求解析式，強化用特殊到一般，熟練掌握用方程的思想在幾何中的運用。

支架性問題3：如圖，在平面直角坐標系中，一條拋物線經(jīng)過點A（-2，0），B（0，-1），C（1，0）。問題1：在此拋物線上是否存在點D，使得以A、B、C、D為頂點、BC為腰的四邊形是梯形？

若存在，請求出所有點D的坐標；若不存在，請說明理由。

師生解析：當AC為底時，過點B作BD∥AC，得點D1 （-12，-1）；當AB為底時，過點C作CD∥AB，點D為直線CD與拋物線的交點，求得D2 （-3，2）。

教學評析：用分類思想探究問題，方程思想解決問題，從而求出點D坐標。這里已經(jīng)逐步過渡到第26題的第3問，讓學生回憶并用轉(zhuǎn)化的思想。讓分類更為完備，逐步加大平行線想象難度，培養(yǎng)學生的分類思想，同時也強化了兩平行線的函數(shù)特征。

支架性問題4：如圖，在平面直角坐標系中，一條拋物線經(jīng)過點A（-2，0）、B（0，-1）、C（1，0）。問題2：在此拋物線上是否存在點E，使得△ABE的面積等于0.5 ？若存在，請求出所有點E的坐標；若不存在，請說明理由。

師生解析：由SΔABC=12和AB=5，可得AB邊上的高為55，那么就是學生7所求的兩直線和已知拋物線的交點，計算得E1（-2-1，22），E2（2-1，-22），E3（-1，-1）。

教學評析：逐步過渡到第26題的第3問，把這個問題轉(zhuǎn)化為剛才我們所解的直線方程與拋物線的交點，運用了方程的思想求解，讓學生回憶并用轉(zhuǎn)化的思想。

支架性問題5：如圖，在平面直角坐標系中，一條拋物線經(jīng)過點A（-2，0）、B（0，-1）、C（1，0）。問題3：在此拋物線上是否存在點F，使得以F為圓心、55為半徑的圓和直線AB相切 ？若存在，請求出所有點F的坐標；若不存在，請說明理由。

師生解析：這個問題可以轉(zhuǎn)化為就是拋物線上的點到直線AB的距離為55.

三、值得借鑒之處

藤麗老師的課為我們老師怎樣上一節(jié)高效的復習課指明了方向，從課堂的教學評價來看，學生顯然做到了舉一反三，形成了解決所有類似問題的技能。

1.巧妙整合，形成探究支架

數(shù)學學習支架是指學生在解決數(shù)學問題的過程中老師所給予的、讓學生順利地跨越“已知區(qū)”到“最近發(fā)展區(qū)”、甚至“未知區(qū)”的支持，它具有過渡性與支撐性兩個特點。復習課最忌“題海戰(zhàn)術(shù)”與“炒冷飯”，藤老師注意知識的整合，把一道復雜習題的解析過程演變?yōu)橐粋€平行線的系列問題進行剖析。通過一個個問題的遞進式解決，最終大題的解決已經(jīng)水到渠成，同時又系統(tǒng)地復習了相關(guān)知識，形成了解題能力。

2.開放性設問，留給學生思考

藤麗老師的很多問題都沒有固定答案，她將問題的多種思考方向留給學生自己去探究，這有助于學生發(fā)散性思維的培養(yǎng)。

3.提煉方法，引導舉一反三

數(shù)學是解決現(xiàn)實問題的工具與方法，更是一種思維方式與思想模型。藤老師的教學設計使學生經(jīng)歷了數(shù)學問題發(fā)生與發(fā)展的全過程，把綜合題分解為基本題，又能把基本題整合成綜合題。

四、小結(jié)

在例題教學中，我們先通過設置具有開放性的學習支架來暴露問題本質(zhì)要素，引發(fā)學生對虛擬的動態(tài)點線進行追蹤或以動態(tài)的觀點來進行圖形觀察，促使學生形成必要的幾何直觀與數(shù)學悟性；然后再利用指南支架讓學生形成解題的基本活動經(jīng)驗，以小結(jié)的形式及時歸納經(jīng)驗性的認識與思想性的認識。教師在支架的構(gòu)建過程中一方面要具備重新抓住一條主線整合知識的能力，讓學生有耳目一新之感，通過拾級而上順利解決問題，又能形成思想方法與舉一反三的能力。

[ 參 考 文 獻 ]

[1]數(shù)學課程標準研制組.全日制義務教育數(shù)學課程標準解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2002.

[2]丁爾陞.中學數(shù)學教材教法總論[M].北京：高等教育出版社，1990.