●涂玉霞

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原汁數學：學真數學做真思考

●涂玉霞

涂玉霞工作室是黃岡市首屆十大名師工作室，由武穴市各中心學校的18位骨干教師組成。

工作室主持人涂玉霞是湖北名師、特級教師，長期致力于“原汁數學”教學研究，該研究成果獲得湖北省首屆校本教研創(chuàng)新成果一等獎。2013年，涂玉霞出版?zhèn)€人專著《原汁數學教學隨筆》。

“原汁”指用肉類、蔬菜、水果等直接榨出的汁液，或食物原料摻以少量的水而熬出的汁液?！霸钡膶嵸|是不摻雜其他成分，具有真價值。原汁數學的根本要義是把握數學的本質，引導學生學真數學，做真思考，形成真正的數學素養(yǎng)和能力，其教學內涵體現在五個方面。

一、數學原型：生活和經驗

數學的學習資源來自于現實生活或學生已有的經驗。數學教學是對之進行分析、澄清、引導、回應，使學生實現對知識的創(chuàng)造性轉換、溝通、交融的過程。這樣的一個過程，可以看作兒童對知識原有基礎的發(fā)展或轉變，而不是新信息的點滴累積。

1.生活情境：具有探究的意義

談到數學生活化，很多教師以為就是從生活中找到一些相關數據或者隨便編造一個故事情境，并運用于教學之中。這種理解是不夠準確的。學習最大的快樂在于學習者在解決問題的過程中發(fā)現了自己的智慧，因此，教師要盡量提供具有現實意義的問題讓學生去探究，以培養(yǎng)學生用數學眼光觀察世界的能力。

2.借助經驗：找準發(fā)展的區(qū)域

維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)理論”認為，學生的發(fā)展有兩種水平：一種是學生的現有水平，指獨立活動時所能達到的解決問題的水平，另一種是學生借助成人或更有能力的伙伴的幫助所能達到的水平，兩者間的差異就是最近發(fā)展區(qū)。教師設計的教學問題如果能緊緊扣住學生的“最近發(fā)展區(qū)”，就容易暴露學生的前概念，從而引發(fā)認知沖突并衍生新知識。

教學人教版課標實驗教材四年級下冊的“中括號”時，教師設計了“聽指令，加括號”游戲：出示算式“96÷12+4×2”，要求學生按教師指令改變它的運算順序。第一個指令：先算加法，再算除法，然后算乘法；第二個指令：先算加法，再算乘法，然后算除法。學生根據第一個指令，順利寫出了算式“96÷（12+4）×2”。在完成第二個指令時，學生寫出了很多答案，典型的有“96÷（12+4）×2)”和“96÷（12+4×2)”兩種。教師讓學生討論，“你們完成指令了嗎？這樣加括號會有什么問題？”從而引導學生得出了正確算式“96÷[(12 + 4)× 2]”。最后，教師引導學生思考：加入的新括號叫什么名字？它有什么作用？

這個教學環(huán)節(jié)，教師通過設置障礙，巧妙地引出了中括號，并讓學生直觀地感受到了它產生的意義。教學中的每一次猜想、否定、改進，都閃現出創(chuàng)新思維的火花。

二、數學原委：建模、用模

原委即原由、結尾，泛指事情的來龍去脈。學數學就是學建模和用模，即把現實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數學模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該模型所提供的解答來解釋現實問題。

模型思想要在建立模型的過程中培養(yǎng)。實際研究中，我們將發(fā)展學生的建模思想提煉為三個方面：①假設模型——生活問題轉化為數學問題；②證明模型——數學問題轉換為核心問題；③運用模型——核心問題轉變?yōu)榻鉀Q問題。

學生只有將生活問題轉化為數學問題，才能建立數學與現實世界的聯(lián)系。建立聯(lián)系的過程是學生嘗試的過程，也是學生否定與優(yōu)化的過程。教師要引導學生將生活問題轉化為幾個數學問題，并運用合情推理進行判斷和比較。

學生只有將數學問題轉換成核心問題，才能意識到問題中的數學實質，并對假設的模型進行證明，闡述這樣做是有道理的。在證明過程中，學生會意識到問題的關鍵是什么。

運用模型是把模型放在現實背景中，思考其在現實背景中的具體含義，分析其中的數量關系，制訂解決問題的步驟和方案。這個過程中，學生再次回到了生活，所不同的是審視現實問題的眼光不一樣了。這正是生活眼光與數學眼光的區(qū)別，這樣的變化源自走實了建模過程。

三、數學原理：在數形之間

原理指自然科學和社會科學中具有普遍意義的基本規(guī)律。數學的基本規(guī)律是研究數量關系和空間形式。數學大體上就是在數與形這兩個概念的提煉、演變、發(fā)展中逐步展開的。數形結合就是把抽象難懂的數學語言、數量關系與直觀形象的幾何圖形和位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”，即通過抽象思維與形象思維的結合，使相對復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，從而優(yōu)化解題方法。

1.在教學中使學生逐步養(yǎng)成畫圖習慣

數學教學應該有這樣的導向：能畫圖時盡量畫。這樣能將相對抽象的思考對象“圖形化”，盡量把問題、計算、證明等數學過程變得直觀。直觀化后就容易展開形象思維，因為邏輯的、形式的結論都是在形象思維的基礎上產生的。例如，利用長方形模型來教學分數乘法的算理（圖1），利用線段圖來幫助學生理解分數除法的算理（圖2），利用面積模型來解釋兩位數乘兩位數的算理（圖3）、乘法分配律（圖4）等。

圖1

圖2

圖3

圖4

2.學會從“數”與“形”兩個角度認識數

數形結合最初是對知識、技能的融通式理解，后來逐漸發(fā)展成一種對數與形之間的化歸與轉化的意識。這種認識和運用，是必須要求學生形成的正確的數學態(tài)度。

如，4+7+10+13+16+19+22……+100+103的求和公式是（首項+末項）×項數÷2。首項是4，末項是103，首尾兩兩相加都相等。這很好懂，但是有多少個這樣的數呢？雖然有求項數的公式：（末項－首項）÷公差+1，但靠死記硬背公式去計算，學生對算理并不理解，因而難以靈活運用。教師如果把它轉化成植樹問題去理解，等差數列求和類問題就會迎刃而解，如下圖（箭頭表示小樹）。

教師告訴學生，這就是一條路，并提問：如果我們把4看成是第4米，7就是第7米，那么能不能看圖編一道植樹問題的題目？一名學生回答：從第4米的地方開始植一棵樹，每隔3米植一棵，植到第103米，一共植了多少棵樹？另一名學生隨即做出解釋：這就是從頭到尾栽樹的情況。因為樹的棵樹=總長÷間隔長+1，所以算式是（103-4）÷3+1=34。

植樹問題還可以轉化為等差數列去思考（方法略）。知識之間的關節(jié)打通后，就會帶來方法的共融。

四、數學原本：抽象、轉化和推理

“原本”指本來的樣子。數學本來是要做什么？提供具體的問題情境，讓學生利用抽象、轉化和推理的方法發(fā)展思維能力。說具體點，就是發(fā)現實際問題中的數學成分，并對其做符號化處理，從而把實際問題轉化為數學問題；對符號化的問題做進一步的抽象化處理，以推理方式嘗試建立和使用不同的數學模型，并將其發(fā)展為更完善、合理的概念框架。

1.抽象要實現理性上升

從感性具體上升到理性具體的思維過程是第一次抽象。學習者可以在此基礎上，憑借想象和類比進行第二次抽象，得到那些并非直接來源于現實的數學概念和運算方法。

比如，要讓學生經歷“在同一個圓內，所有的半徑都相等”這個抽象結論的概括與遷移過程，教師可以設計以下教學環(huán)節(jié)：第一，讓學生畫出一個圓的多條半徑，并量一量它們的長度。第二，比一比這些半徑的長度。比如，量出的長度都是3厘米，也就是說這是一個半徑是3厘米的圓，這樣就可以得到“在這個圓中，量出的這些半徑的長度都是3厘米，它們的長度都相等”的結論。第三，進而猜測，得出“這個圓內還沒有量出的半徑，長度也都是3厘米”或“這個圓內所有半徑的長度都相等”的結論；再畫出幾條半徑，量一量，比一比，驗證猜測的結論是否正確。第四，想一想，為什么會有這樣的結論？或者說，為什么這個圓中的所有半徑都會相等？可以聯(lián)系剛才的度量，以及用圓規(guī)畫圓時兩腳尖之間的長度始終保持不變，或者根據圓的本質屬性等來解釋結論的正確性。第五，進一步猜測得出“在任何一個圓中，所有的半徑都相等”這樣的結論；再另外畫圓，并度量半徑，驗證這個結論。第六，進一步想象、感悟這個結論的正確性。

2.推理要有法可依

邏輯推理主要有兩種形式，一是歸納推理，一是演繹推理。歸納推理是命題內涵由小到大的推理，是一種從特殊到一般的推理。比如，推算三角形的內角和時，我們經過論證，發(fā)現鈍角三角形、銳角三角形、直角三角形的內角和都是180度，三角形按角分，只有這三類，所以可以推算出三角形內角和是180度。演繹推理是命題內涵由大到小的推理，是一種從一般到特殊的推理，通過演繹推理得到的結論是必然的。演繹推理的核心方法是三段論。

我們知道，數學的真實發(fā)展歷程并非是演繹的，而是先歸納后演繹。因此，為了還數學本來面目，現行數學教材的編寫并沒有一味地采用演繹體系。

3.轉化，最大限度實現學習高效

轉化是通過某種方式將一個新問題變成舊知識進行解決的思想。它可以從語言描述向圖形表示轉化，可以從語言表達向符號形式轉化，還可以是每一種情況反轉的轉化。數學教師的每次新授都是在幫學生找到一個轉化點，或把未知條件轉化為已知條件，或把一個綜合問題轉化為幾個基本問題，或把順向思維轉化為逆向思維。轉化的過程中，要努力實現學習遷移，特別是原理和態(tài)度的遷移，從而較快地提高學生的學習質量和數學能力。

五、數學原則：嚴謹有理

嚴謹表現為兩個方面，一是思維的嚴密性，一是論證的嚴密性。在數學中，思維的嚴密性表現為思維過程服從于嚴格的邏輯規(guī)則；考察問題時嚴格、準確；進行運算和推理時精確無誤。數學是一門具有高度抽象性和精密邏輯性的科學，論證的嚴密性是數學的根本特點之一。

1.充分利用直觀感知，加強變式練習

根據小學生的年齡和認知特點，教學時宜利用各種直觀手段，促使學生形成認知結構；在進行不完全歸納時，要兼顧例證的數量與質量。實際教學中，教師應通過變式練習突出概念的本質，區(qū)分易混淆的概念、知識，幫助學生克服思維定勢的消極影響。

2.創(chuàng)設教學情境時要符合教學的嚴謹性要求

教師在選擇提煉和再現生活場景時，要使之符合數學的嚴謹性要求。

前些日子，筆者參加一項研究課比賽活動。三位教師同課異構，教學內容是人教版課標實驗教材五年級上冊《組合圖形的面積》。教材中的例題如下：

講課教師無一例外地讓學生分組討論：可以用哪些方法求出圖形的面積。學生思維活躍，想出了種種方法：分割法。把圖形分割成一個三角形和一個正方形，算式為5×5+ 5×2÷2；或者分割成兩個相等的梯形，算式為（2+5+5）× 5÷2。添補法。把三角形上面進行添補，變成一個長方形，然后減去添補的面積，算式為（2+5）×5-5×2÷2。還有割拼法，把組合圖形分割成兩個相同的梯形，然后把另一個梯形旋轉，移上去，拼成一個平行四邊形或者一個長方形，等等。

雖然學生的思維都很活躍，但我始終感到很納悶：居然沒有一位老師和一位學生對教材提出異議。教材呈現小男孩的話：“也可以把它分成兩個完全一樣的梯形來計算?！边@句話的依據在哪里？我們知道，只有當上面的三角形是等腰三角形時，這句話才成立。題目給了這個條件嗎？沒有！教師引導學生測量驗證了嗎？也沒有！既然都沒有，我們怎能理直氣壯地用眼花繚亂的方法來求出組合圖形的面積呢？這不就是一種典型的假繁榮嗎？

教師要等學生提出多種方法后，提醒他們注意學習的嚴謹性，要求他們量一量，看是不是等腰三角形。我覺得，這才是學數學的態(tài)度；似是而非，在數學中是非常不可取的。

（作者單位：武穴市師范附屬小學）