程銀才，王 軍，李明華(．山東農(nóng)業(yè)大學(xué)水利土木工程學(xué)院，山東 泰安 708；．山東省泰安市水文局，山東 泰安 7000)

謝爾曼單位線(xiàn)(以下簡(jiǎn)稱(chēng)單位線(xiàn))是進(jìn)行流域降雨徑流預(yù)報(bào)和流域水文模型建立中常用的工具。現(xiàn)有的根據(jù)降雨與徑流資料識(shí)別單位線(xiàn)的方法有多種，如分析法、試算法、最小二乘法等方法[1,2]。分析法適用于凈雨時(shí)段數(shù)m較小(m≤3～4)情況，當(dāng)m較大時(shí)，推算出的單位線(xiàn)容易在退水段出現(xiàn)鋸齒狀，以及退水段流量較小時(shí)容易出現(xiàn)負(fù)值現(xiàn)象，其原因主要有四點(diǎn)，一是推求單位線(xiàn)的倍比、疊加兩個(gè)假定均是線(xiàn)性的，這與流域匯流非線(xiàn)性的特點(diǎn)不完全一致；二是實(shí)測(cè)的降雨、徑流資料不可避免存在誤差，這會(huì)影響到單位線(xiàn)計(jì)算的精度；三是根據(jù)產(chǎn)流模型由降雨推算凈雨時(shí)的模型誤差；最后是根據(jù)流域出口斷面實(shí)測(cè)的流量資料進(jìn)行水源分割推求地面徑流時(shí)也會(huì)出現(xiàn)誤差。試算法推求單位線(xiàn)具有初始單位線(xiàn)不易設(shè)定，且因反復(fù)迭代計(jì)算效率低的缺點(diǎn)。最小二乘法原理相對(duì)完善，但也會(huì)由于前述四個(gè)原因?qū)е伦R(shí)別的單位線(xiàn)出現(xiàn)鋸齒狀、負(fù)值和多峰的不合理現(xiàn)象。對(duì)此，有學(xué)者提出了一些辦法，具有代表性的是，葛守西[3]提出的水量平衡約束、非負(fù)約束以及無(wú)震蕩約束條件下識(shí)別單位線(xiàn)的方法，董曉華[4]等提出了三個(gè)目標(biāo)和一個(gè)約束的目標(biāo)規(guī)劃法識(shí)別單位線(xiàn)的方法。這兩種方法效果都較好，不足之處是這兩種方法都過(guò)于復(fù)雜，有鑒于此，本文提出了先用約束的非線(xiàn)性最小二乘法識(shí)別單位線(xiàn)，再用離散傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)單位線(xiàn)光滑的兩步法。兩步法相對(duì)獨(dú)立，分別計(jì)算，不僅簡(jiǎn)便，且效果較好，在工程計(jì)算中具有一定的借鑒價(jià)值。

1 約束非線(xiàn)性最小二乘法識(shí)別單位線(xiàn)原理

1.1 約束非線(xiàn)性最小二乘法模型

約束非線(xiàn)性最小二乘法模型為：

(1)

式中：A、B為系數(shù)矩陣；X為待求向量。

對(duì)上述模型，要求對(duì)給定的A、B，求滿(mǎn)足式(1)的解X。由于使用了非負(fù)約束，消除了單位線(xiàn)出現(xiàn)負(fù)值的可能。

1.2 約束非線(xiàn)性最小二乘法識(shí)別單位線(xiàn)的方法

(2)

對(duì)比式(1)與式(2)，應(yīng)有

得出A、B后，即可用按式(1)用約束非線(xiàn)性最小二乘法識(shí)別出單位線(xiàn)。

2 離散傅里葉級(jí)數(shù)光滑單位線(xiàn)原理

傳統(tǒng)的計(jì)算單位線(xiàn)方法是，用試算法或最小二乘法推算出單位線(xiàn)后，因計(jì)算出的單位線(xiàn)有鋸齒、不光滑，還需要用手工辦法修勻單位線(xiàn)。這一方法的缺點(diǎn)顯而易見(jiàn)，一是修勻過(guò)程主觀隨意性大，結(jié)果因人而異；二是精度難以控制，效率低下。對(duì)此，提出了修勻單位線(xiàn)一個(gè)可行的理論方法，即用離散傅里葉級(jí)數(shù)逼近單位線(xiàn)，實(shí)施單位線(xiàn)的光滑，原理如下。

(3)

使用前述的約束非線(xiàn)性最小二乘法模型識(shí)別出單位線(xiàn)，得到的是一系列離散的點(diǎn)[(t,qt)，(t=1,2,…,n)]表示的單位線(xiàn)，此時(shí)，再用離散傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)這n個(gè)離散的點(diǎn)逼近，實(shí)施單位線(xiàn)的光滑，以消除單位線(xiàn)的鋸齒狀以及多峰不合理現(xiàn)象。

3 示 例

某流域一場(chǎng)降雨對(duì)應(yīng)的凈雨如表1中的r，地面徑流過(guò)程如表1中的Q。采用傳統(tǒng)的分析法得到的單位線(xiàn)結(jié)果見(jiàn)表1中的q1。在單位線(xiàn)q1的退水段當(dāng)流量較小時(shí)，單位線(xiàn)q1出現(xiàn)了負(fù)值流量-3.8 m3/s，同時(shí)也出現(xiàn)鋸齒現(xiàn)象，如q1的退水段第11個(gè)時(shí)序的流量276.6 m3/s大于第10個(gè)時(shí)序的流量224.4 m3/s。

表1 分析法、約束最小二乘法以及傅里葉級(jí)數(shù)光滑計(jì)算成果Tab.1 Calculation results of analysis method, constrained least squares method and fourier series smooth

采用本文提出的方法：第一步，采用了約束非線(xiàn)性最小二乘法，通過(guò)應(yīng)用程序VB6.0經(jīng)編程計(jì)算，得到單位線(xiàn)見(jiàn)表1中的q2。從計(jì)算結(jié)果可知，消除了單位線(xiàn)的負(fù)值，單位線(xiàn)q2相對(duì)于單位線(xiàn)q1的總體誤差為(3 445.36-3 475.7)/3 475.7×100%=0.84%，可見(jiàn)約束非線(xiàn)性最小二乘法計(jì)算結(jié)果精度較高。但單位線(xiàn)鋸齒現(xiàn)象仍然存在，如q2的退水段第11個(gè)時(shí)序的流量277.4 m3/s大于第10個(gè)時(shí)序的流量219.4 m3/s。第二步，采用傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)約束非線(xiàn)性最小二乘法的結(jié)果實(shí)施消鋸齒光滑，經(jīng)程序試算，調(diào)和函數(shù)的個(gè)數(shù)h=8時(shí)效果最好(圖1)，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1中的q3，從計(jì)算結(jié)果看，鋸齒現(xiàn)象已經(jīng)消除。單位線(xiàn)q3相對(duì)于單位線(xiàn)q1的總體誤差為(3 237.2-3 475.7)/3 475.7×100%=6.86%，能滿(mǎn)足一般工程計(jì)算對(duì)精度的要求，可見(jiàn)采用離散傅里葉級(jí)數(shù)計(jì)算結(jié)果精度較高。

圖1 離散傅里葉級(jí)數(shù)消除單位線(xiàn)鋸齒與多峰現(xiàn)象Fig.1 Fourier series eliminates the zigzag and multi-peak phenomenon of unit line

為便于對(duì)比，編程計(jì)算并繪制了q2與q3單位線(xiàn)曲線(xiàn)，如圖1。通過(guò)圖1可以清楚看出，單位線(xiàn)鋸齒現(xiàn)象得到明顯改善，不再存在，采用離散傅里葉級(jí)數(shù)光滑后，單位線(xiàn)的計(jì)算結(jié)果也更加合理。

4 結(jié) 語(yǔ)

分析了傳統(tǒng)的謝爾曼單位線(xiàn)識(shí)別方法存在的問(wèn)題，提出了先用約束的非線(xiàn)性最小二乘法識(shí)別單位線(xiàn)，再用離散傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)單位線(xiàn)光滑的兩步法。新方法計(jì)算簡(jiǎn)便，且效果較好，在工程計(jì)算中具有一定的借鑒價(jià)值。

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[1] 包為民．水文預(yù)報(bào)[M]．北京：中國(guó)水利水電出版社，2006．

[2] 詹道江，葉守澤．工程水文學(xué)[M]．北京：中國(guó)水利水電出版社，1999．

[3] 葛守西．現(xiàn)代洪水預(yù)報(bào)方法[M]．北京：中國(guó)水利電力出版社，1999:261-264.

[4] 董曉華，趙云法，袁 杰，等．基于目標(biāo)規(guī)劃法的時(shí)段單位線(xiàn)多目標(biāo)優(yōu)化估計(jì)[J]．人民長(zhǎng)江，2007，38(8)：12-13．