陶　超，虞　芳，鮑遠(yuǎn)娟，徐　鳳

（1.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)　統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院；2.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)　金融學(xué)院，安徽　蚌埠　233000）

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基于回歸分析的太陽影子定位技術(shù)研究

陶超1，虞芳2，鮑遠(yuǎn)娟1，徐鳳1

（1.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院；2.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，安徽蚌埠233000）

摘要：本文針對(duì)太陽影子定位，使用回歸分析、多項(xiàng)式擬合等方法，分別構(gòu)建由太陽影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)確定直桿所處的地點(diǎn)模型以及確定視頻拍攝地點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型，并使用MATLAB、EXCEL軟件進(jìn)行求解，得到已知太陽影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)可以確定視頻拍攝日期和地點(diǎn)等結(jié)論.

關(guān)鍵詞：太陽影子定位；回歸分析；多項(xiàng)式擬合；MATLAB7.0

在當(dāng)今視頻拍攝技術(shù)高速發(fā)展的時(shí)代，對(duì)視頻數(shù)據(jù)的分析處理逐漸成為一項(xiàng)重要的研究課題；而如何根據(jù)一段已知的視頻，確定視頻的拍攝地點(diǎn)和拍攝日期是視頻數(shù)據(jù)分析的重要方面，太陽影子定位技術(shù)就是通過分析視頻中物體的太陽影子變化，確定視頻拍攝的地點(diǎn)和日期的一種方法（詳見2012年全國數(shù)學(xué)建模A題[1]）.

1　數(shù)據(jù)的獲取及假設(shè)

本文數(shù)據(jù)來源于2015年高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題[1].為方便建立模型與解決問題，提出以下幾點(diǎn)假設(shè)：①假設(shè)地球不動(dòng),太陽以地球?yàn)橹行睦@地軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)；②假設(shè)太陽影子觀測點(diǎn)的地面是水平的；③假定太陽光是平行照射的.

2　由太陽影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)確定直桿所處的地點(diǎn)

2.1研究思路

已知某固定直桿在水平地面上的影子軌跡坐標(biāo)數(shù)據(jù)，確定直桿的地點(diǎn)，即確定物體所在的經(jīng)緯度.首先求解某地的經(jīng)度問題，轉(zhuǎn)化為求解當(dāng)?shù)貢r(shí)間正午12點(diǎn)與該時(shí)刻對(duì)應(yīng)的北京時(shí)間的差值，根據(jù)經(jīng)度與時(shí)區(qū)之間的變化關(guān)系，推測出某地的經(jīng)度范圍.確定經(jīng)度過程中利用MATLAB軟件對(duì)時(shí)間與影子長度的關(guān)系進(jìn)行曲線擬合，通過尋找最小影長確定當(dāng)?shù)卣鐣r(shí)刻相應(yīng)的北京時(shí)間，預(yù)測出二者的時(shí)間差值.查閱資料可知，在日期、時(shí)間已知的條件下，太陽高度角的大小是由緯度決定，而緯度也可以通過太陽高度角反向求解得到，因此將緯度問題轉(zhuǎn)化為求太陽高度角的問題，最后利用MATLAB軟件求解函數(shù)零點(diǎn)判斷物體所在緯度范圍.

2.2研究方法

2.2.1建模準(zhǔn)備

a.首先定義平面直角坐標(biāo)系，以直桿底端為原點(diǎn)，水平地面為xy平面，直桿垂直于地面，以正東方向?yàn)閤軸正方向，以正北方向?yàn)閥軸正方向,影子頂點(diǎn)的坐標(biāo)記為(x,y)，定義的坐標(biāo)系的情況如圖1所示.

圖1坐標(biāo)系及各角度示意圖

b.太陽影子觀測點(diǎn)的地理緯度用φ表示，地方時(shí)(時(shí)角)以λ表示，用δ表示赤緯角，太陽高度角θ的計(jì)算公式[3]為：

sinθ=sinφsinδ+cosφcisδcosλ(1)

由上式可知同一地點(diǎn)一天內(nèi)不同時(shí)點(diǎn)太陽高度角是不斷變化的.

其中，由于太陽赤緯角值日變化很小，一年內(nèi)任何一天的赤緯角δ可近似計(jì)算為:

T0=79.6764+0.2422×(計(jì)算機(jī)日期年份-1985）-INT（（計(jì)算日期年份-1985（/4）

其中INT表示取整數(shù)部分.

公式（1）中時(shí)角λ=15°(n-12),n為一天24小時(shí)制所對(duì)應(yīng)的時(shí)間.

綜上，可以根據(jù)測量的日期、時(shí)間、地理位置，確定不同時(shí)刻相應(yīng)的太陽高度角，由三角函數(shù)關(guān)系可以求解出影長隨時(shí)間動(dòng)態(tài)變化的規(guī)律：L=h/tanθ

其中L表示物體的影子長度，h代表物體的高度.

2.2.2經(jīng)度的確定

2.2.3緯度的確定

由于緯度未知，利用太陽高度角的計(jì)算公式無法得到sinθ，因此本文引進(jìn)太陽方位角A，即經(jīng)過地球球心與太陽位置點(diǎn)在地平面上投影點(diǎn)的直線與地平面正南方向所夾的角稱為方位角.通過查找參考文獻(xiàn)得到太陽方位角與太陽高度角存在以下關(guān)系[4]：

2.3結(jié)果分析

通過對(duì)2015年4月18日某地固定直桿在水平地面上的太陽影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)(x,y)的處理，計(jì)算影子長度、太陽方位角、太陽赤緯角等.

將數(shù)據(jù)中給出的北京時(shí)間統(tǒng)一換算成以小時(shí)計(jì)數(shù)的時(shí)間，如9:45換算成9.75.利用MATLAB軟件將北京時(shí)間t與對(duì)應(yīng)的影子長度L進(jìn)行函數(shù)擬合，做出的效果圖如下所示，并且得到預(yù)測的擬合方程為：

L=0.1489t2-3.7519t+24.128

圖2北京時(shí)間t與影子長度L擬合效果圖

圖2曲線擬合程度的可決系數(shù)R2=0.9673,擬合的準(zhǔn)確度高，曲線擬合的結(jié)果可信.

同時(shí)根據(jù)處理得到的數(shù)據(jù)利用公式(1)，化簡得到緯度與各個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系函數(shù)，利用MATLAB軟件編程求解出緯度，并結(jié)合經(jīng)度大小進(jìn)行匯總，利用在線衛(wèi)星地圖查找系統(tǒng)，近似模擬出不同經(jīng)緯度所對(duì)應(yīng)的地點(diǎn).

綜上得出以下結(jié)論：附件1所給數(shù)據(jù)直桿所處地點(diǎn)的緯度范圍在區(qū)間[108°,109.75°]內(nèi)，經(jīng)度的范圍在[16°,22°]上，直桿所處的可能地點(diǎn)有：海南，北部灣海域，越南.

3　確定視頻拍攝地點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型

3.1研究思路

首先，要根據(jù)視頻提取影長的信息，利用電子標(biāo)尺測量視頻中桿高與影子長度數(shù)據(jù)，因?yàn)闂U高與影長的測量值與實(shí)際值對(duì)應(yīng)成比例，由此可以計(jì)算影子的實(shí)際長度，太陽的高度角也可以根據(jù)幾何知識(shí)計(jì)算得出；然后，利用太陽高度角與其他參數(shù)的函數(shù)關(guān)系確定物體所在的緯度，經(jīng)度的計(jì)算方法與上文相同.

3.2研究方法

3.2.1對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)、處理

針對(duì)視頻中的影子長度，先選取一個(gè)時(shí)間基點(diǎn).在此處我們選取的時(shí)間基點(diǎn)為2015年7月13 日8:54，往后每隔2分鐘再取一個(gè)基點(diǎn),截止點(diǎn)為9:34.列表7給出21組北京時(shí)間與影子測量長度的對(duì)應(yīng)值，電子標(biāo)尺測量的桿的高度是11.54cm.

表1處理后視頻中影子長度數(shù)據(jù)

3.2.2經(jīng)度的確定

3.2.3緯度的確定

在已知一系列不同時(shí)間與影長的數(shù)據(jù)，就可以計(jì)算出不同時(shí)間下的太陽高度角.

根據(jù)公式(1)，當(dāng)正午時(shí)太陽高度角最大,此刻時(shí)角為0°,公式可以簡化為:

sinθ=sinφsinδ+cosφcosδ

由兩角和與差的三角函數(shù)公式,可得

sinθ=cos(φ-δ)

對(duì)公式作進(jìn)一步變換，可知：θ=90°-|φ-δ|

由擬合的曲線方程可以推斷影子最短長度，就可以計(jì)算正午時(shí)刻的太陽高度角，日期確定的情況下δ也是確定的，則根據(jù)公式(1)可以推算地理緯度.

3.3結(jié)果分析

首先畫出處理后的影長隨時(shí)間變化的散點(diǎn)圖，利用已有數(shù)據(jù)做二次函數(shù)關(guān)系擬合.利用MATLAB擬合的曲線方程為：L=0.145t2-3.4622t+21.728,

將時(shí)間區(qū)域拓展到9:00-16:00，畫出太陽影子隨時(shí)間動(dòng)態(tài)變化的曲線圖3：

圖3太陽影子隨時(shí)間動(dòng)態(tài)變化的曲線圖

利用求導(dǎo)關(guān)系計(jì)算出最短影長對(duì)應(yīng)的北京時(shí)間是11.93862069，根據(jù)經(jīng)度計(jì)算公式得出地點(diǎn)所在經(jīng)度120.92°E.

|φ-δ|=27.947°

那么求出地理緯度φ的值是49.852°或-6. 043°即北緯49.852°或南緯-6.043°.

結(jié)合上述確定的經(jīng)度與緯度的值，用定位系統(tǒng)找到視頻的拍攝地點(diǎn)是內(nèi)蒙古呼倫貝爾市或印度尼西亞.

4　結(jié)語

本文建立的模型，在代入實(shí)際數(shù)據(jù)時(shí)，均可以得出較為合理的求解結(jié)果，且在利用數(shù)據(jù)做二次函數(shù)擬合時(shí)，模型擬合的可決系數(shù)達(dá)97%，可信度很高；本文利用相關(guān)軟件分析結(jié)果符合實(shí)際，檢驗(yàn)了文中建立模型的合理性.

參考文獻(xiàn)：

〔1〕2015年高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A 題http://www.mcm.edu.cn.

〔2〕陳曉勇,鄭曉科.對(duì)建筑日照計(jì)算中太陽赤緯角公式的探討[J].浙江建筑,2011(9):7-9.

〔3〕鄭鵬飛,林大鈞,劉小羊,吳志庭.基于影子軌跡線反求采光效果的技術(shù)研究[J].華東理工大學(xué)學(xué)報(bào),2010(36):459-463.

〔4〕王國安,米鴻濤,鄧天宏,李亞男,李蘭霞.太陽高度角和日出日落時(shí)刻太陽方位角一年變化范圍的計(jì)算[J].河南氣象,2007(09):3-7.

〔5〕楊光容,羅茂羲.建筑采光和照明設(shè)計(jì)[M].北京:中國建筑工業(yè)出版社,1980.4-66.

通訊作者：徐鳳（1980-），女，安徽宿州人，安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院講師，碩士，研究方向:應(yīng)用統(tǒng)計(jì).

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(11301001);安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)教研項(xiàng)目(acjyzd201429)

收稿日期：2015年12月2日

中圖分類號(hào)：N91；O242

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-260X（2016）02-0025-03