□李慶社
整式乘法中的思想方法
□李慶社
《整式乘除》一章中蘊涵著諸多的數(shù)學思想方法,現(xiàn)作如下歸納,供同學們學習時參考.
《整式乘除》中公式、法則的推導過程大多都是從具體的數(shù)開始,通過字母推導出一般的結論.計算時常常用字母代數(shù),能起到化繁為簡、化難為易的作用.
分析:設字母代數(shù)進行計算.
解:令a=2000,
則2001=a+1,1999=a-1,
原式=20002-2001×1999
=a2-(a+1)(a-1)
=a2-a2+1=1.
點評:本題引入字母a=2000,將數(shù)2001和1999變形得2001=a+1,1999=a-1,運用乘法公式,避免了冪的運算和大數(shù)字的乘法運算,從而使問題得以簡便解決.
在應用冪的法則和乘法公式時,常常將一個代數(shù)式視為一個整體,整體代入公式進行計算.整體思想在解題中的應用,新穎獨特,簡捷明快.
例2已知x2-x-1=0,則代數(shù)式(x3-2x+1)2=________.
分析:視x2-x-1為一個整體,將待求的式子進行變形,整體代入.
解:x3-2 x+1=x(x2-x-1)+(x2-x-1)+2=2.
∴原式=4.
點評:本題若從已知條件求出字母x的值,代入計算,因x2-x-1=0是一個二次方程,暫時無法求出,而整體變形代入則可避開這個困難.
逆用冪的運算法則和性質(zhì),往往能使計算簡捷.
例3已知xm=2,xn=3,求x3m-2n.
分析:x3m-2n=x3m÷x2n
=(xm)3÷(xn)2,
將xm、xn整體代入便可.
解:x3m-2n=x3m÷x2n
點評:本例逆用同底數(shù)冪的除法法則,但解題中不能誤以為x3m-2n=x3m-x2n.
整式乘法中的完全平方公式的推導過程就是配方的過程.配方法在代數(shù)變形中有著廣泛的應用.
例4已知a2+2 a+b2-4 b+5=0,求(2 a+b)2016的值.
分析:將已知條件配方,再利用非負數(shù)性質(zhì)求解.
解:(a+1)2+(b-2)2=0,
∵(a+1)2≥0,(b-2)2≥0,
∴a=-1,b=2.
則(2 a+b)2016=0.
點評:本題將已知條件配方成兩個非負數(shù)的和,根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求解.
常見的非負數(shù)形式主要有:
例5已知ax=2,ay=3,az=6,求a3x+2y-z的值.
分析:求解本題的關鍵在于尋找求值式與已知的關系,可用下面兩種解法.
解法一:由ax=2,得(ax)3=23,即a3x=8.
由ay=2,得(ay)2=32,即a2y=9.
又az=6,
∴a3x·a2y÷az=8×9÷6=12.
即a3x+2y-z=12.
解法二:a3x+2y-z=a3x·a2y÷az=(ax)3·(ay)2÷az=22×32÷6=12.
點評:解法一根據(jù)等式兩邊可以同時乘方的原理,從已知中構造出求值式中有關的a3x、a2y及az,再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、除法性質(zhì)構造出求值式a3x+2y-z,這種解法的基本思路是由已知向目標轉(zhuǎn)化,即“已知→目標”;解法二利用冪的運算性質(zhì)的可逆性,即逆用冪的乘方性質(zhì),同底數(shù)冪的乘法、除法性質(zhì),求解過程直接了當,一氣呵成,這種解法的基本思路是由目標向已知轉(zhuǎn)化,即“目標→已知”.
例6計算11×101×10001.
分析:若直接相乘,計算量很大,但仔細觀察可知:11=10+1,101=100+1,10001=10000+1,所以在原式中只要乘以(10-1),即可連續(xù)運用平方差公式計算.
=11111111.