□鄒興平

冪的大小比較

□鄒興平

比較冪am和an（其中a、b為正數(shù)，m、n為正整數(shù)）的大小時(shí)，首先明白它們之間有如下兩種大小關(guān)系：

（1）當(dāng)a＝b，且m＞n時(shí)，

①若底數(shù)大于1，則am＞bn，即底數(shù)大于1的兩個(gè)同底數(shù)的冪，指數(shù)大的冪也大；

②若底數(shù)小于1，則am＜bn，即底數(shù)小于1的兩個(gè)同底數(shù)的冪，指數(shù)大的冪反而??；

（2）當(dāng)m＝n時(shí)，若a＞b，則am＞bn，即同指數(shù)的兩個(gè)冪，底數(shù)大的冪也大.

根據(jù)上述結(jié)論可得比較冪的大小有如下幾種方法.

方法一、把冪的底數(shù)化為相同后，通過比較指數(shù)的大小來確定冪的大小

例1若a＝8131，b＝2741，c＝961，則a、b、c大小關(guān)系是（）.

A.a＞c＞b B.a＞b＞c

C.a＜b＜c D.b＞c＞a

解析：因?yàn)?131＝（34）31＝3124， 2741＝（33）41＝3123，961＝（32）61＝3122，而124＞123＞122，所以a＞b＞c，故選B.

答案：B.

點(diǎn)評(píng)：由于冪比較大，直接計(jì)算很不現(xiàn)實(shí)，觀察發(fā)現(xiàn)，例1和例2中其底數(shù)分別可以轉(zhuǎn)化為3或，這樣只需要比較其指數(shù)即可.

方法二、把冪的指數(shù)化為相同后，通過比較底數(shù)的大小來確定冪的大小

例3已知a＝2444，b＝3333，c＝5222，則a，b，c大小關(guān)系是（）.

A.a＞b＞c B.c＞b＞a

C.a＜c＜b D.b＞a＞c

解析：根據(jù)冪的乘方的性質(zhì)，逆向運(yùn)用得到amn＝（am）n，因?yàn)?44，333，222的最大公約數(shù)為111，所以a＝2444＝（24）111＝16111，b＝3333＝（33）111＝27111，c＝5222＝（52）111＝25111.而16＜25＜27，所以16111＜25111＜27111，即a＜c＜b，故選C.

答案：C.

例4比較390與845的大小.

解析：由于兩個(gè)冪的指數(shù)90是45的2倍，因此給出的兩個(gè)冪可以化為相同的指數(shù)，得390＝（32）45＝945.顯然945＞845，所以390＞845.

點(diǎn)評(píng)：無法直接計(jì)算，又不能把底數(shù)化為相同，可考慮先找出其指數(shù)的最大公約數(shù)，逆用冪的乘方運(yùn)算性質(zhì)，把它們的指數(shù)化為相同，這樣只需比較其底數(shù)即可.

方法三、將冪乘方后，通過比較乘方所得數(shù)的大小來確定冪的大小

例5已知a3＝3，b5＝4，比較a、b的大小.

解析：因?yàn)椋╝3）5＝a15＝35＝243，（b5）3＝b15＝43＝64，而243＞64，所以a15＞b15，所以a＞b.

點(diǎn)評(píng)：顯然不能直接求出a、b值再比較，可先將它們各自乘方，使乘方后冪的指數(shù)為原各指數(shù)的最小公倍數(shù)，然后再比較所得數(shù)的大小.

方法四、利用中間量傳遞或放縮后，再運(yùn)用上述方法比較來確定冪的大小

例6比較1516和3313的大小.

解析：因?yàn)?516＜1616＝（24）16＝264，3313＞3213＝（25）13＝265，而265＞264，所以3313＞1516.

點(diǎn)評(píng)：既不能化為同底數(shù)，又無法化為同指數(shù)，觀察兩個(gè)底數(shù)，15接近16，33接近32，而16與32都可以表示為以2為底數(shù)的冪的形式，可通過比較中間量的大小來確定冪的大小.運(yùn)用放縮法比較冪的大小時(shí)要注意放縮的“幅度”，應(yīng)盡可能與原數(shù)的大小接近，不能過大，如果比較失敗，說明放縮的“幅度”偏大.

方法五、作商法

例7比較2616和8213的大小.