◎張成鵬

讓“三角形成立的條件”應(yīng)用的更自然
——高一（上）“研究性”公開課教學(xué)設(shè)計(jì)

◎張成鵬

以a，b，c為三邊長(zhǎng)的線段構(gòu)成三角形的充要條件是“任意兩邊之和大于第三邊”，還可以自然地轉(zhuǎn)化為“三條線段中最長(zhǎng)的小于其他兩條線段的和”．本文巧妙的設(shè)計(jì)了如何將“三角形成立的條件”應(yīng)用的更自然，如何更好的“轉(zhuǎn)化”為不等式組恒成立及引導(dǎo)學(xué)生思考“以函數(shù)值f（a），f（b），f（c）為三邊長(zhǎng)的線段構(gòu)成三角形的等價(jià)轉(zhuǎn)換”．

構(gòu)成三角形；充要條件；三角形穩(wěn)定函數(shù)

背景分析：筆者執(zhí)教于上海市華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)，現(xiàn)所帶班級(jí)為高一理科班、科技創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)班，“研究性學(xué)習(xí)”經(jīng)常在這兩個(gè)班級(jí)的課堂上開展．借與遼寧數(shù)學(xué)教研員考察我校的機(jī)會(huì)，開設(shè)一節(jié)題為《讓“三角形成立的條件”應(yīng)用的更自然》的公開課．選擇這個(gè)題目的理由是：（1）滬教版教材中高一第二章已經(jīng)介紹完不等式，第三章函數(shù)內(nèi)容也已經(jīng)過半；（2）高中“不等式恒成立”的數(shù)學(xué)思想學(xué)生已然接觸過；（3）利用不等式恒成立解答函數(shù)中的問題接觸較少．基于以上幾點(diǎn)，選擇從眾所周知的“以a，b，c為三邊長(zhǎng)的線段構(gòu)成三角形的充要條件”出發(fā)，一起探究幾個(gè)經(jīng)典數(shù)學(xué)問題．

教學(xué)目標(biāo)：

1．掌握以a，b，c為三邊長(zhǎng)的線段構(gòu)成三角形的充要條件；

2．理解以函數(shù)值f（a），f（b），f（c）為三邊長(zhǎng)的線段構(gòu)成三角形的等價(jià)轉(zhuǎn)換；

3．體會(huì)“不等式恒成立”的數(shù)學(xué)思想所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)的“美”．

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：如何巧妙應(yīng)用“三角形成立的條件”解答數(shù)學(xué)問題．

教學(xué)過程：直接應(yīng)用、間接應(yīng)用、等價(jià)轉(zhuǎn)化

環(huán)節(jié)1．回顧與思考以a，b，c為三邊長(zhǎng)的線段構(gòu)成三角形的充要條件

（3）若a＝max｛a，b，c｝，則a＜b＋c，即：三條線段中最長(zhǎng)的小于其他兩條線段的和；

（4）若a＝min｛a，b，c｝，則a＞max｛b－c，c－b｝，即：三條線段中最短的大于其他兩條線段的差；

設(shè)計(jì)意圖：（1）引導(dǎo)學(xué)生回顧三條線段構(gòu)成三角形的充要條件；（2）引導(dǎo)學(xué)生嘗試將構(gòu)成三角形的條件“轉(zhuǎn)化”為數(shù)學(xué)語(yǔ)言；（3）引導(dǎo)學(xué)生思考構(gòu)成三角形的其他等價(jià)條件．

環(huán)節(jié)2．“以a，b，c為三邊長(zhǎng)的線段構(gòu)成三角形的充要條件”的直接應(yīng)用

問題1．設(shè)集合A＝｛（x，y）｜x，y，1－x－y是三角形的三邊長(zhǎng)｝，則A所表示的平面區(qū)域（不含邊界的陰影部分）的面積是？

解：根據(jù)任意三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)得：

設(shè)計(jì)意圖：（1）引導(dǎo)學(xué)生直接利用“任意兩邊之和大于第三邊”這個(gè)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為不等式組“恒成立”問題；（2）引導(dǎo)學(xué)生探究不等式組在平面上所表示的區(qū)域（線性規(guī)劃問題）．

a，b，c都可以成為某個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)？

所以根據(jù)任意三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)得：

設(shè)計(jì)意圖：（1）引導(dǎo)學(xué)生再次直接利用“任意兩邊之和大于第三邊”這個(gè)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為不等

式組“恒成立”問題，并巧妙的等價(jià)轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的兩個(gè)不等式“恒成立”問題；（2）引

導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“參變量分離”的數(shù)學(xué)思想在含參變量的不等式恒成立問題中的應(yīng)用．

環(huán)節(jié)3．“以a，b，c為三邊長(zhǎng)的線段構(gòu)成三角形的充要條件”的間接應(yīng)用

問題3．已知三個(gè)正數(shù)a，b，c，對(duì)于任何正整數(shù)n，都有以an，bn，cn為邊長(zhǎng)的三角形，證明：這些三角形都是等腰三角形．

證明：（法一）不失一般性，設(shè)a≥b≥c．因?yàn)閷?duì)于任何正整數(shù)n，都有以an，bn，cn為邊長(zhǎng)的三角形，所以根據(jù)三條線段中最長(zhǎng)的小于其他兩條線段的和這個(gè)性質(zhì)有an＜bn＋cn，n∈N*．（i）若三個(gè)正數(shù)a，b，c中有兩個(gè)相等，則結(jié)論成立；

綜上，這三個(gè)正數(shù)a，b，c中必有兩個(gè)相等，即這些三角形都是等腰三角形．

（法二）不失一般性，設(shè)a≥b≥c．因?yàn)閷?duì)于任何正整數(shù)n，都有以an，bn，cn為邊長(zhǎng)的三角形，所以根據(jù)三條線段中最長(zhǎng)的小于其他兩條線段的和這個(gè)性質(zhì)有an＜bn＋cn，n∈N*．而an－bn＝（a－b）（an－1＋an－2b＋…＋bn－1）≥（a－b）·n·cn－1，所以得到（a－b）·n·cn－1＜cn，由a對(duì)任何正整數(shù)n都成立，可得a＝b，即這些三角形都是等腰三角形．

設(shè)計(jì)意圖：（1）引導(dǎo)學(xué)生從“三條線段中最長(zhǎng)的小于其他兩條線段的和”這個(gè)性質(zhì)出發(fā)思考問題；（2）引導(dǎo)學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)中的“極限”思想；（3）引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“對(duì)任何正整數(shù)n都成立”這一無窮多個(gè)條件的含義．

環(huán)節(jié)4．“以函數(shù)值f（a），f（b），f（c）為三邊長(zhǎng)的線段構(gòu)成三角形”的等價(jià)轉(zhuǎn)換

問題4．一個(gè)函數(shù)f（x），如果對(duì)任意一個(gè)三角形，只要它的三邊長(zhǎng)a，b，c都在f（x）的定義域內(nèi)，就有f（a），f（b），f（c）也是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱f（x）為“三角形穩(wěn)定函數(shù)”．

解：（1）設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，不妨假設(shè)a≤c，b≤c，則a＋b＞c．

對(duì)于f2（x），3，3，5可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，但32＋32＜52，所以f2（x）不是“三角形穩(wěn)定函數(shù)”．

設(shè)計(jì)意圖：（1）引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并掌握以函數(shù)值f（a），f（b），f（c）為三邊長(zhǎng)的線段構(gòu)成三角

形要等價(jià)轉(zhuǎn)換為2f（x）min＞f（x）max對(duì)定義域中的x恒成立問題；（2）帶領(lǐng)學(xué)生再次體會(huì)

含參變量的“對(duì)勾函數(shù)”在給定區(qū)間上的最值問題．

環(huán)節(jié)5．思考

思考2．已知正數(shù)a，b，c滿足（a2＋b2＋c2）2＞2（a4＋b4＋c4），證明：以正數(shù)a，b，c為邊長(zhǎng)的線段可構(gòu)成三角形．［1］

思考3．思考以a，b，c為三邊長(zhǎng)的線段構(gòu)成銳角、鈍角、直角三角形的充要條件．

［1］計(jì)正榮．三條線段構(gòu)成三角形的充要條件［J］．中等數(shù)學(xué)，1995．4

［2］黃萬堯．用三條線段為邊圍成三角形的充要條件．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，1982

（作者單位：華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué) 201203）