呂俊鋒，肖武，王開鋒，李中華，賀高紅（大連理工大學精細化工國家重點實驗室，膜科學與技術研究開發(fā)中心，遼寧 大連 116024）

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換熱網絡多目標綜合優(yōu)化算法研究進展

呂俊鋒，肖武，王開鋒，李中華，賀高紅
（大連理工大學精細化工國家重點實驗室，膜科學與技術研究開發(fā)中心，遼寧 大連 116024）

摘要：資源和能源的可持續(xù)發(fā)展使得換熱網絡綜合不僅要考慮經濟性，同時要滿足柔性、可靠性、可操作性和環(huán)境影響度等指標的要求。目前，換熱網絡多目標綜合的研究有了初步進展并引起了廣泛關注。本文闡述了進行換熱網絡多目標綜合的必要性并總結了相關研究。重點對常用的多目標優(yōu)化算法作了總結和對比，綜述了其在換熱網絡多目標優(yōu)化設計中的應用進展。研究表明，傳統(tǒng)多目標算法越來越無法滿足復雜模型的求解，而多目標進化算法可以很好地求解換熱網絡綜合多目標優(yōu)化問題，其中NSGA-Ⅱ算法是目前應用最廣的有效算法。提出嘗試NSGA-Ⅱ等多目標進化算法，基于超結構建立包括經濟性、柔性、可靠性、可操作性和環(huán)境影響度等在內的換熱網絡多目標綜合模型，給出Pareto最優(yōu)解集合供決策者選擇是未來的研究方向。

關鍵詞：系統(tǒng)工程；優(yōu)化設計；換熱網絡；多目標；算法；NSGA-Ⅱ

第一作者：呂俊鋒（1992—），男，碩士研究生，主要從事過程系統(tǒng)優(yōu)化研究。聯(lián)系人：肖武，副教授，碩士生導師，主要從事化工系統(tǒng)工程和過程強化的研究。E-mail wuxiao@dlut.edu.cn。

換熱網絡綜合是過程系統(tǒng)工程（PSE）的一個重要分支，從20世紀70年代爆發(fā)石油能源危機之后，換熱網絡綜合開始引起廣泛的關注[1]。一直以來，對換熱網絡綜合的研究主要以節(jié)能降耗和降低年度總費用為目標。然而，近年來隨著資源和能源可持續(xù)發(fā)展步伐的不斷加快，人們不再僅僅關注換熱網絡的經濟性指標，同時對柔性、可靠性、可操作性和環(huán)境影響度等指標的要求也隨之增長。因此越來越多的學者開始從多目標的角度進行換熱網絡綜合。

在換熱網絡綜合中，一些問題是由多個目標組成，并且各個目標之間通過變量相互影響、相互制約。因此綜合的權衡換熱網絡的各個目標，進行換熱網絡多目標綜合，給決策者提供多個Pareto解的選擇方案具有非常重要的現(xiàn)實意義[2]。然而雖然多目標優(yōu)化理論在化工領域的應用越來越廣泛，但是將其應用于換熱網絡綜合的研究仍然停留在理論階段[3]。這是因為在換熱網絡多目標綜合中，為了降低模型求解的復雜度作了很多假設和簡化，導致結果偏離工程實際應用。

目前，國內外已發(fā)表的換熱網絡多目標綜合的文獻中，常用的多目標優(yōu)化算法主要有加權求和法、ε-約束法、NIMBUS法和NSGA-Ⅱ算法。模型中目標函數不僅有換熱單元數目、換熱面積、公用工程消耗量等經濟性目標，還包括環(huán)境影響度和柔性等目標。將可靠性和可操作性等目標函數加入到模型之中，以及嘗試更多優(yōu)秀的多目標優(yōu)化算法仍然有待于進一步研究。

本文闡述了進行換熱網絡多目標綜合的必要性，對已發(fā)表的換熱網絡多目標綜合的文獻進行了概括總結，并對其中常用的多目標優(yōu)化算法進行了對比分析。以期為從事?lián)Q熱網絡多目標綜合相關研究的學者在模型建立和算法選擇方面提供參考。

1 必要性及問題描述

1.1 換熱網絡多目標綜合的必要性

在以往換熱網絡綜合的研究中，很多學者從單目標優(yōu)化的角度考慮了換熱網絡的可靠性、柔性、可操作性和環(huán)境影響度等指標。

YI等[4]提出了同時滿足換熱網絡柔性和可靠性指標的兩步漸進式方法。第一步利用虛擬T-H圖，初步綜合得到能夠滿足柔性指標的換熱網絡結構，第二步通過網絡解耦提高可靠性，使換熱網絡的可靠性不低于0.9，以總費用為目標函數，采用GA/SA算法求解，最后求出在滿足柔性和可靠性指標的約束條件下總費用最低的網絡結構。ESCOBAR等[5]提出了同時滿足換熱網絡柔性和可操作性指標的優(yōu)化模型，為了降低計算的復雜度，采用靜態(tài)分析法和一些線性假設簡化模型，在GAMS軟件環(huán)境下對總費用進行優(yōu)化。WEN和SHONNARD[6]建立了同時考慮經濟性和環(huán)境影響度的數學模型，對7個生命周期影響評估指標（LCIA）環(huán)境影響指標進行標準化，然后經過權衡計算得出復合環(huán)境影響評價指標（IPC），采用層次分析法（AHP）將IPC指標與經濟性指標合并，計算得出經濟性和環(huán)境影響度兩個指標所占權重分別是0.82和0.18。對最小傳熱溫差進行優(yōu)化，并通過案例中的靈敏度分析說明了不同因素對最小傳熱溫差的影響程度大小。CHEN和HUNG[7]以YEE和GROSSMANN的分級超結構模型為基礎，建立了一個同時考慮柔性、最低公用工程消耗量和最少換熱單元數的模型，采用兩級模糊決策的方法將多目標問題轉化為單目標優(yōu)化的問題，在GAMS和CPLEX軟件環(huán)境下進行求解。

上述文獻以單目標優(yōu)化的角度，在優(yōu)化總費用的同時考慮了多個指標，在一定程度上是一種改進。但其缺陷也很明顯，BJ?RK和WESTERLUND[8]說明了由于模型中具有二元變量，僅僅通過改變年度費用權值因子的單目標優(yōu)化方法無法獲得完整的優(yōu)化解。然后提出多目標優(yōu)化中的Pareto曲線能夠更好地描述多個目標之間的權衡，并且能夠提供多個選擇方案，更貼近實際應用。SREEPATHI和RANGAIAH[9]提出在客觀條件以及實際操作環(huán)境的限制下，單目標優(yōu)化得到的結果只是理論上最優(yōu)，無法滿足實際工況的多方面要求，并且通過數據說明了換熱面積、換熱設備數量和公用工程消耗這3個費用目標處于相互競爭、相互影響的狀態(tài)，指出通過多目標優(yōu)化得出的非支配解集能夠更好地兼顧各個費用目標，進一步說明換熱網絡多目標綜合的必要性。

1.2 換熱網絡多目標綜合的問題描述

一般地，換熱網絡多目標綜合問題可以描述成如式(1)～式(3)形式[10]。

式中，x是變量，包括濃度、溫度、流量、壓力和設備尺寸等；f(x)是目標函數的集合；fp(x)是換熱網絡相應的公用工程費用、換熱單元數目、換熱面積、可靠性、柔性、可操作性和環(huán)境影響度等目標函數；gi(x)和hj(x)是流股和換熱器的熱平衡、流股質量和熱量衡算、最小傳熱溫差、連續(xù)變量非負等約束條件[11]；I是不等式約束條件；J是等式約束條件。

經過多目標優(yōu)化得到的一系列解稱為非支配解（non-dominated solutions）或Pareto最優(yōu)解，并且這些非支配解之間無法比較優(yōu)劣[12]，而單目標優(yōu)化通常得出的是唯一解，這是兩種優(yōu)化方法的本質區(qū)別。如圖1是對年度總費用和環(huán)境影響度[13]兩個目標函數進行換熱網絡多目標綜合獲得的Pareto曲線，位于Pareto曲線上的點是Pareto最優(yōu)解，位于曲線上側的是次優(yōu)解，位于曲線下側的是不可行解。通過曲線可以很好地權衡比較兩個目標，避免了單目標優(yōu)化顧此失彼的弊端，同時給決策者提供多個選擇方案，方便決策者根據實際情況選擇最佳方案。

圖1 Pareto曲線[13]

2 換熱網絡多目標綜合中常用算法

在進行換熱網絡多目標綜合時[14]，第一步是根據換熱網絡的物理特性建立一個由約束條件和目標函數組成的數學模型；第二步是選擇合適的多目標優(yōu)化算法對所建立的模型進行求解，從而求得在滿足約束條件的前提下，使多個目標函數都得到優(yōu)化的Pareto解集。換熱網絡多目標綜合中常用的多目標優(yōu)化算法分為兩類，第一類是包括加權求和法、ε-約束法和NIMBUS法在內的傳統(tǒng)多目標算法，第二類是以NSGA-Ⅱ為代表的多目標進化算法[15]。下面結合常用算法對換熱網絡多目標綜合的相關研究進行總結。

2.1 加權求和法

這種方法是給各個目標函數分配權重，然后通過加權求和的方法，將多目標優(yōu)化問題轉化為單目標優(yōu)化問題進行求解[15]，表示如式(4)。

式中，ωi是權重，不同的權重分配，經過計算可以得到不同的Pareto最優(yōu)解。其優(yōu)點是求解簡單，便于計算，容易理解；缺點是權重的選擇主觀性較大，多個目標間不可比較，并且Pareto前沿非凸時此方法無法求解。

WEN和SHONNARD[6]應用該方法對換熱網絡的環(huán)境影響度和經濟性指標進行了評估。JIN等[16]建立了同時考慮環(huán)境影響度和經濟性的數學模型，分別將環(huán)境影響度和經濟性指標除以相應條件下的最大值，從而將兩個不同量綱的目標函數轉化為標量函數，然后針對這兩個標量采用加權求和的方法求解，將多目標問題轉化為單目標問題，最終結果使每年污染物排放量降低了68.07%。

2.2 ε-約束法

其原理是選取某個目標函數作為優(yōu)化目標，而將其余的目標函數作為約束條件，轉化為單目標優(yōu)化問題后，用單目標算法求解[17]。表達式如式(5)、式(6)。

該方法的優(yōu)點是解算簡單，易實現(xiàn)，在優(yōu)化過程中h取不同的值，計算可得多個Pareto最優(yōu)解；缺點是ε值難以選取，需要未知的先驗知識。

LóPEZ-MALDONADO等[13]應用該算法對建立的mo-MINLP換熱網絡多目標綜合模型進行求解，模型中目標函數包括年度費用和環(huán)境影響度，采用eco-indicator 99作為環(huán)境影響度的指標，實現(xiàn)了換熱網絡經濟性和環(huán)境影響度的多目標綜合。VASKAN等[18]指出僅僅采用經過整合的單一指標（例如eco-indicator 99等）并不足以評價環(huán)境影響度，因此采用了應用更廣泛的LCA量化環(huán)境影響，建立了以總費用和環(huán)境影響度為目標函數的MINLP模型，在求解模型過程中，同樣采用了ε-約束法，通過改變ε的值并多次運行，獲得了不同的Pareto解。案例中包含12個目標函數（總費用和11個LCA環(huán)境影響度目標），采用降維法分析并移除多余的目標，從而在不改變結構的前提下降低了求解問題的復雜度。將案例優(yōu)化結果與文獻[13]的結果進行對比，說明了選取LCA可以更有效地評價環(huán)境影響度，更好地實現(xiàn)了換熱網絡經濟性和環(huán)境影響度的多目標綜合。

2.3 NIMBUS法

NIMBUS是一種交互式規(guī)劃的方法[19]，這種決策方法可以使決策者參與到模型的優(yōu)化與求解中，即分析和決策交替進行，主要思想是在每一步交互過程中，決策者根據對目標函數的滿意程度對其進行分類，引導算法向指定區(qū)域搜索，無需給出具體的偏好信息（例如目標的排序和權重等），并且可以充分利用決策者的專業(yè)知識和經驗。NIMBUS可以求解不可微分和非凸的多目標優(yōu)化問題，不受目標函數的數目影響，同時這種多目標優(yōu)化方法在互聯(lián)網上有在線平臺。但是這種算法仍是將多目標問題轉化為單目標子問題進行求解，與加權求和法相比，只是更好地考慮了決策者的偏好，其本質依然是單目標優(yōu)化。

LAUKKANEN等[20]采用了這種NIMBUS交互式多目標優(yōu)化的方法，以YEE和GROSSMANN的超結構模型為基礎，以換熱單元數目、總換熱面積、冷熱公用工程消耗量為目標函數，進行了換熱網絡的多目標綜合，通過NIMBUS將多目標問題轉化為單目標問題，然后在GAMS軟件系統(tǒng)中進行求解。對兩個案例進行了優(yōu)化，通過案例一優(yōu)化了總費用，同時協(xié)調了各個目標，并說明了單目標優(yōu)化無法得到非支配解，案例二使總費用降低了32%。隨后，LAUKKANEN等[21]采用經過簡化的NIMBUS將多目標問題標量化為一個單目標函數，然后在GAMS環(huán)境下對標量化的單目標函數進行求解，結合雙層優(yōu)化策略，實現(xiàn)了對中等規(guī)模換熱網絡的多目標綜合。

2.4 NSGA-Ⅱ算法

2002年，DEB等[22]提出了第二代基于非支配排序的遺傳算法（NSGA-Ⅱ），NSGA-Ⅱ算法性能優(yōu)良，主要對NSGA進行了三點改進[23]：首先是引入精英保留策略，提高了算法的收斂性；其次改進了非支配排序的算法，使時間復雜度從O(mN3)降低到O(mN2)，提高了算法效率；另外采用擁擠度比較算子代替了共享策略，解決了需要人為確定共享參數的缺點。迄今為止，NSGA-Ⅱ是最優(yōu)秀的多目標優(yōu)化算法之一。在進化多目標優(yōu)化的領域，DEB提出 NSGA-Ⅱ的文獻被引用次數最多[24]，目前被引用次數達到了14000余次。

AGARWAL和GUPTA[25]首次將NSGA-Ⅱ算法應用于換熱網絡綜合，擺脫了啟發(fā)探試的方法，采用NSGA-Ⅱ算法并引入交叉算子，同時結合sJG轉位子加快算法的收斂速度。目標函數包括年度費用、公用工程消耗、能量回收率和換熱單元數量。文獻中并沒有同時對這4個目標函數進行優(yōu)化，而是分別選取了其中2個和3個目標函數，分別進行換熱網絡雙目標和三目標綜合，指出NSGA-Ⅱ更適合于求解雙目標優(yōu)化問題，并通過多個案例對比，說明通過多目標優(yōu)化得到的非支配解集優(yōu)于單目標優(yōu)化的唯一解。任建強[26]以成本和火積耗散數為目標函數，同樣采用NSGA-Ⅱ算法實現(xiàn)了對換熱網絡成本和換熱效果的多目標優(yōu)化。林露[27]建立了以環(huán)境影響度、公用工程費用和投資費用為目標函數的換熱網絡多目標綜合MINLP模型，在模型引入溫差修正系數，并且去除了等溫混合的不合理假設。采用IPCC方法，同時結合全球變暖潛值（GWP），以溫室氣體排放量作為環(huán)境影響度的衡量標準，這種方法是從局部衡量換熱網絡的環(huán)境影響度。在MATLAB-GUI平臺上，基于換熱網絡綜合軟件系統(tǒng)HenDesign，開發(fā)了采用NSGA-Ⅱ算法的換熱網絡多目標綜合的模塊。根據建立的換熱網絡多目標綜合模型和NSGA-Ⅱ求解方法，對3個案例進行了換熱網絡的綜合，每個案例均獲得了令人滿意的結果。

2.5 算法對比

傳統(tǒng)多目標優(yōu)化算法[29]本質是采用一些技術和方法將多個目標函數轉化成單目標函數，然后以單目標優(yōu)化方法進行求解。其缺點主要有：對目標函數有連續(xù)性、凸性、線性等要求；為了得出多個Pareto最優(yōu)解，需要多次獨立運行求解，增加了計算時間，計算結果難以比較；在分配權重系數或者懲罰值時，需要人為規(guī)定，主觀性較大。

近年來多目標進化算法[30]在求解多目標優(yōu)化問題的應用中展現(xiàn)了良好的前景，其在換熱網絡綜合中的應用也是目前的研究熱點。遺傳算法3個方面的優(yōu)點[31]使得它非常適用于求解多目標優(yōu)化問題：首先，進化算法以種群進化為基礎使其具有搜索的全局性和多向性特點，算法運行一次便能得到多個Pareto最優(yōu)解；其次，進化算法通過個體之間支配關系決定個體的適應度值，不需要為各個目標配置權重；最后，進化算法可以處理所有類型的約束條件和目標函數，不需要滿足連續(xù)性、凸性和線性等數學條件。

然而雖然多目標進化算法在多目標問題的求解上取得了非常好的成效，但是這并不意味著多目標進化算法會徹底取代傳統(tǒng)多目標算法[32]。多目標進化算法的理論研究仍有很多不成熟的地方，比如其早熟問題還沒有得到解決、缺少收斂性證明以及參數設置比較困難等。相反，傳統(tǒng)多目標優(yōu)化算法仍然具有很大的優(yōu)勢，比如易實現(xiàn)、計算量小、計算速度快、設計簡單、容易理解、方便建立數學模型等。

換熱網絡多目標綜合中常用的多目標算法比較如表1所示?？梢钥闯?，在換熱網絡多目標綜合中，綜合的考慮各個算法的優(yōu)點和缺點，選擇合適的算法至關重要。對于目標函數滿足連續(xù)性、凸性、線性要求的簡單模型，傳統(tǒng)多目標優(yōu)化方法仍不失為一種簡單易行的方法。然而為了貼近工程實際，需要考慮很多復雜因素的換熱網絡，其數學模型經常呈現(xiàn)嚴重的不連續(xù)性、非凸性和非線性，具有全局最優(yōu)性的多目標進化算法是求解這類問題的非常好的選擇[28]。雖然NSGA-Ⅱ算法已經應用到換熱網絡多目標綜合，然而仍然還有很多優(yōu)秀的算法有待于嘗試。為了更貼近工程實際需要，應該盡可能減少各種假設和簡化，建立符合生產實際的詳細數學模型，并采取更有效的算法對模型進行求解。

3 結語與展望

3.1 結語

雖然通過單目標優(yōu)化的方法可以考慮換熱網絡柔性、可靠性、可操作性和環(huán)境影響度等約束條件，但是換熱網絡多目標綜合可以將這些約束與經濟性放在一起作為目標函數同時進行優(yōu)化，具體優(yōu)勢體現(xiàn)在以下方面。

表1 換熱網絡多目標綜合中常用的多目標算法

（1）單目標優(yōu)化得到的唯一解很難滿足工程實踐多元化的要求，而通過換熱網絡多目標綜合得到的非支配解集可以很清楚的看出各個目標之間的關系，從而更好地衡量各個目標，便于決策者選擇具體的實施方案。

（2）單目標優(yōu)化只能同時優(yōu)化一個目標，而換熱網絡多目標綜合可以使多個目標函數的結果收斂于Pareto前沿，實現(xiàn)同步優(yōu)化多個目標函數。

3.2 展望

換熱網絡多目標綜合是非常復雜的設計問題。模型的求解非常具有挑戰(zhàn)性。雖然通過引入很多簡化和假設可以采用傳統(tǒng)多目標算法進行求解，但是與此同時也會導致優(yōu)化結果嚴重偏離實際情況。未來的研究工作應在以下兩方面得到重視。

（1）目前模型中考慮的約束和目標仍不全面，盡可能減少簡化和假設，建立包括經濟性、柔性、可靠性和環(huán)境影響度等在內的換熱網絡多目標綜合模型。

（2）傳統(tǒng)多目標算法越來越無法勝任復雜模型的求解，嚴重限制了換熱網絡多目標綜合的發(fā)展，嘗試性能更好的多目標進化算法（如NSGA-Ⅱ算法）是非常好的選擇。

參 考 文 獻

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綜述與專論

Research progress on optimization algorithms in multi-objective synthesis of heat exchanger networks

Lü Junfeng，XIAO Wu，WANG Kaifeng，LI Zhonghua，HE Gaohong
（State Key Laboratory of Fine Chemicals，R&D Center of Membrane Science and Technology，Dalian University of Technology，Dalian 116024，Liaoning，China）

Abstract：For the sustainable development in resources and energy，the designers should not only consider economy，but also flexibility，reliability，operability and environmental impact in the synthesis of heat exchanger networks（HENs）. Multi-objective synthesis of HENs has got preliminary progress and drawn great attention. This paper illustrates the necessity of multi-objective synthesis of HENs and summarizes the research progress on multi-objective synthesis of HENs. The summary and comparison of the algorithms for solving multi-objective optimization problems were mainly focused. Application in multi-objective synthesis of HENs was reviewed. Research shows that traditional multi-objective algorithms are less suitable for solving the problems of complex superstructure. However，multi-objective evolutionary algorithms can solve multi-objective problems better in the synthesis of HENs. Non-dominated sorting genetic algorithm（NSGA-Ⅱ） is one of the most popular and effective applied algorithms. It was proposed that based on superstructure，establishing multi-objective models which involve economy，flexibility，reliability，operability and environmental impact and then present the decision makers with Pareto optimum solutions is the future of HEN synthesis.

Key words：systems engineering；optimal design；HENs；multi-objective；algorithms；NSGA-Ⅱ

基金項目：國家自然科學基金（21206014，21125628）、中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項基金（DUT14LAB14）及中國石油化工股份有限公司資助項目（X514001）。

收稿日期：2015-09-01；修改稿日期：2015-09-10。

DOI：10.16085/j.issn.1000-6613.2016.02.002

中圖分類號：TQ 021.8

文獻標志碼：A

文章編號：1000–6613（2016）02–0352–06