余超(安徽省皖江船舶檢驗(yàn)局,安徽蕪湖241000)

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船舶的冰運(yùn)動方程研究

余超
(安徽省皖江船舶檢驗(yàn)局,安徽蕪湖241000)

摘要：由于破冰船航行區(qū)域及工作任務(wù)的特殊性，對于海冰與船體的相互作用越來越受到重視。了解冰的作用機(jī)理，對冰船間運(yùn)動的數(shù)值模擬極其重要。本文對三維的冰運(yùn)動方程進(jìn)行了分析，并運(yùn)用水彈性理論，對冰的平移、轉(zhuǎn)動和變形方程的耦合作用進(jìn)行了分析。

關(guān)鍵詞：冰運(yùn)動;水彈性理論;合

目前在經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展、能源緊缺的情況下，海洋和極地新能源的開發(fā)備受關(guān)注，破冰船將為此承擔(dān)不可替代的作用。破冰船在冰區(qū)作業(yè)過程中，海冰對其的作用力是破冰船設(shè)計(jì)中的主要載荷。為了對冰船間的作用進(jìn)行數(shù)值模擬，必須對冰運(yùn)動過程有準(zhǔn)確的表示，這就涉及到冰運(yùn)動方程的求解問題。

冰的運(yùn)動可分為三部分，即平動、轉(zhuǎn)動和變形，其方程如下所示?？梢?，其包含了剛性和彈性運(yùn)動，本文運(yùn)用水彈性理論對其進(jìn)行分析，并對三者間的耦合作用進(jìn)行了說明。

1冰運(yùn)動方程

1.1平動方程

運(yùn)用牛頓第二定律，即可得到方程1-1，其中M為單元冰的質(zhì)量矩陣，U為單元冰的速度矩陣，F(xiàn)i為冰塊間的接觸力矩陣。

1. 2、轉(zhuǎn)動方程

根據(jù)動量矩定理：

Q為繞質(zhì)心的動量矩：

其中，r為某點(diǎn)至質(zhì)心的矢徑：

則有：

而慣性矩表達(dá)式為：

可以得到：

從而可推導(dǎo)出冰運(yùn)動的轉(zhuǎn)動方程式1-2。

3、彈性變形方程

彈性變形方程1-3即為彈性變形的本構(gòu)方程，其中Me為冰塊的有效質(zhì)量矩陣，ε、σ分別為冰塊的應(yīng)變、應(yīng)力。

2水彈性理論

水彈性力學(xué)是研究慣性力、水動力及彈性力之間的相互作用現(xiàn)象的學(xué)科。它將流體對結(jié)構(gòu)的作用和結(jié)構(gòu)的響應(yīng)統(tǒng)一起來進(jìn)行研究，與傳統(tǒng)理論相比，水彈性力學(xué)理論更準(zhǔn)確地考慮了流體與船體結(jié)構(gòu)之間的相互耦合影響,因而具有更加廣泛的工程應(yīng)用價值和發(fā)展前途。在水彈性理論中把干模態(tài)作為廣義基函數(shù)，考慮包含流固耦合作用力在內(nèi)的浮體所受的各種作用力，在浮體運(yùn)動方程的基礎(chǔ)上建立和求解主坐標(biāo)運(yùn)動方程。

在水彈性統(tǒng)一理論中，無論是計(jì)算廣義質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣，還是計(jì)算廣義波激力都需要結(jié)構(gòu)的振動干模態(tài)。該方法是先把結(jié)構(gòu)與流體分開，求出結(jié)構(gòu)在真空中的固有頻率和固有模態(tài)；根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行模態(tài)截?cái)?，使自由度?shù)大大減少；在做干模態(tài)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后再考慮流體的影響。因此，在進(jìn)行模態(tài)疊加法分析時，把剛體的運(yùn)動稱為0階模態(tài)，而將彈性體振動的固有模態(tài)稱為r階模態(tài)（r=1,2,….），并按照干模態(tài)法的理論來計(jì)算其附加質(zhì)量。

2.1基本方程

對結(jié)構(gòu)劃分有限單元，則有

則單元應(yīng)變能和動能分別為：

由哈密爾頓原理，即在任意時間間隔內(nèi)動能與內(nèi)部勢能之差加上保守力和非保守力外力做功之和為零，可得：

Ce為單元阻尼力向量矩陣；Fe為集中力；Pe為分布面力；Qe為體積力；Re為內(nèi)部平衡內(nèi)力。

將（1-3）式化簡可得：

將各單元的運(yùn)動方程依次列出，并且把各個矩陣和列陣的大小均擴(kuò)大為n×n和n×1，擴(kuò)展處均添加零元素，然后將各式等號兩端相加，Re為系統(tǒng)平衡內(nèi)力，相加后抵消，可得到彈性浮體的系統(tǒng)運(yùn)動方程為：

其中M、C、K分別為系統(tǒng)的總質(zhì)量向量矩陣、總阻尼向量矩陣和總剛度向量矩陣；U為系統(tǒng)總節(jié)點(diǎn)位移向量列陣；P、F、Q分別為結(jié)構(gòu)所承受的分布外力、集中力和體積力的等效節(jié)點(diǎn)力向量列陣。

2、系統(tǒng)響應(yīng)的求解

以系統(tǒng)無阻尼的振型模態(tài)（干模態(tài)）為空間基底，通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，使原動力方程解耦，求解n個相互獨(dú)立的方程獲得模態(tài)位移，進(jìn)而通過疊加各階模態(tài)的貢獻(xiàn)求得系統(tǒng)的響應(yīng)。

令物理位移向量：

pr( t )—廣義位移向量，也稱模態(tài)位移向量，即

D—振型向量（也稱主模態(tài)）矩陣

可將結(jié)構(gòu)運(yùn)動方程轉(zhuǎn)到模態(tài)空間中進(jìn)行求解，將式（3-5）兩邊左乘DT可得到：

左側(cè)的系數(shù)矩陣分別為結(jié)構(gòu)廣義質(zhì)量矩陣、廣義阻尼矩陣、廣義剛度矩陣：

可以證明對于整體位移被剛性約束的彈性結(jié)構(gòu)，各個主振型間具有正交性，因而廣義質(zhì)量矩陣[a],廣義阻尼矩陣[b]和廣義剛度矩陣[c]均為對角陣，從而解除了聯(lián)立耦合關(guān)系。

至此，以節(jié)點(diǎn)位移U為待定變量的運(yùn)動方程轉(zhuǎn)化為以模態(tài)位移向量P為待定變量的運(yùn)動方程，使數(shù)值計(jì)算得到了簡化。當(dāng)作用于結(jié)構(gòu)上的廣義力與廣義位移向量之間的關(guān)系確定后，通過求解該運(yùn)動方程，即可獲得系統(tǒng)各模態(tài)的位移向量，進(jìn)而可通過幾何和物理關(guān)系求解其他變量值。

運(yùn)動方程（3-7）也可相應(yīng)的分為兩組（剛性運(yùn)動和彈性運(yùn)動）：

3、附加質(zhì)量

定義式（3-7）右側(cè)為廣義外力A，則各階廣義外力Ar由下式得到：

本文采用三維勢流理論，對Ar中流體慣性力進(jìn)行計(jì)算，并引入附加質(zhì)量慣性矩，以在結(jié)構(gòu)方程中考慮水彈性的影響。

定義包括剛體運(yùn)動和彈性體振動的附加質(zhì)量矩陣Mf為：

4、水彈性影響下的運(yùn)動方程

在求解流固耦合下的結(jié)構(gòu)動響應(yīng)問題中，可以采用上面得到的附加質(zhì)量矩陣以考慮水彈性影響，因此式（3-7）可寫為：

所有廣義外力A中的流體慣性力由附加質(zhì)量矩陣Mf加以考慮。注意到由于附加質(zhì)量耦合項(xiàng)的影響，上式中的廣義質(zhì)量矩陣不再是對角陣，各階之間是相互耦合的，不能獨(dú)立求解，因此在動響應(yīng)計(jì)算中將所有階（包括剛性運(yùn)動和彈性體振動）統(tǒng)一聯(lián)立求解。

3冰運(yùn)動方程間的耦合

冰的運(yùn)動方程可分為三部分，即平動、轉(zhuǎn)動和變形，其包含了剛性和彈性運(yùn)動，根據(jù)前一章3.1.3-3.1.4節(jié)，介紹的水彈性理論，在流固耦合下，剛性運(yùn)動方程式（1-1）中的質(zhì)量矩陣M和式（1-2）中慣性矩矩陣Ⅰ，彈性運(yùn)動方程式（1-3）中的有效質(zhì)量矩陣Me，是相互影響，相互耦合的，且都需要考慮由水彈性影響的附加質(zhì)量矩陣?？芍?，由此三個方程耦合后的冰運(yùn)動方程的廣義質(zhì)量矩陣不再是對角陣，因而不能獨(dú)立求解。

參考文獻(xiàn):

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DOI編碼：10.13646/j.cnki.42-1395/u.2016.01.014

中圖分類號：U675.5

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1006－7973（2016）01－0049－02