王耀嘉

摘 要：當(dāng)今社會(huì)，數(shù)學(xué)無(wú)處不在，只要平時(shí)用心觀察，就會(huì)在生活中發(fā)現(xiàn)各種各樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題。概率與組合的問(wèn)題以及其解決辦法，是日常生活中每個(gè)人都會(huì)接觸到的一類數(shù)學(xué)問(wèn)題。對(duì)此，教師幫助學(xué)生解決生活中出現(xiàn)的概率組合問(wèn)題，充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，以使學(xué)生更好地學(xué)習(xí)知識(shí)。

關(guān)鍵詞：概率;組合;數(shù)學(xué)建模;問(wèn)題解答

中圖分類號(hào)：G63 ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ? ? ?文章編號(hào)：1673-9132（2016）10-0245-145

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.10.039

一、引言

生活中的概率組合事件非常多，比如游樂(lè)場(chǎng)的扔圏套娃娃游戲，圏的大小影響了套中娃娃的概率，直接影響著商家能不能盈利，所以這個(gè)小小的圏里其實(shí)有著大大的計(jì)算。復(fù)雜一點(diǎn)的比如離我們最近的人身傷害保險(xiǎn)，其實(shí)保險(xiǎn)公司在銷售這款保險(xiǎn)產(chǎn)品之前會(huì)做一個(gè)復(fù)雜的模型。模型中包含了通過(guò)一系列分析計(jì)算得出的投保人群的可能受傷害的概率，通過(guò)這個(gè)規(guī)律，保險(xiǎn)公司可以制定出一套保險(xiǎn)方案包括投保金額，理賠金額等等。最終而言，即便理賠金額遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于投保金額，但保險(xiǎn)公司還是盈利的。

又如，現(xiàn)在的彩票中獎(jiǎng)問(wèn)題。彩票作為一個(gè)概率事件，中獎(jiǎng)的幾率是非常低的，以從前非常流行的35選7為例，一等獎(jiǎng)中獎(jiǎng)率有多低？我們可以做一個(gè)計(jì)算35個(gè)數(shù)字組合可以有C357=6724520種可能，買一注就中獎(jiǎng)的可能只有1/6724520，所以說(shuō)這個(gè)中獎(jiǎng)率是非常低的。

數(shù)學(xué)組合的問(wèn)題同樣十分貼近生活，它在生活中非常常見(jiàn)。比如，求a個(gè)球隊(duì)參加的比賽中，每隊(duì)只與其他隊(duì)各比賽一次的總比賽的場(chǎng)數(shù)。又如，一個(gè)人要把一匹狼，一只羊和一棵大白菜運(yùn)到河對(duì)岸。而當(dāng)人不在的時(shí)候，狼會(huì)吃羊，羊會(huì)吃大白菜，而這個(gè)人的船每趟卻只能運(yùn)其中的一只。問(wèn)這個(gè)人怎么做才可以都運(yùn)過(guò)河。

諸如上述概率組合問(wèn)題是在生活中會(huì)經(jīng)常遇到又常常需要解決的一類實(shí)際問(wèn)題，那么應(yīng)該如何運(yùn)用自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決上述問(wèn)題呢？

二、建立針對(duì)同類問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

首先，建立一個(gè)和上述問(wèn)題相一致的數(shù)學(xué)模型，從而更好地探究同類問(wèn)題。

建立數(shù)學(xué)模型就是通過(guò)已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)原理來(lái)構(gòu)建一個(gè)易懂的、生活中實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而闡述比較困難的數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)學(xué)模型的建立遵從以下步驟：

1.分析問(wèn)題，找到問(wèn)題本質(zhì)。

2.非必要因素忽略，簡(jiǎn)化問(wèn)題。

3.通過(guò)數(shù)學(xué)計(jì)算歸納出這類問(wèn)題規(guī)律。

4.最終與要研究問(wèn)題相對(duì)比，找出相應(yīng)問(wèn)題的統(tǒng)一處理辦法。

三、應(yīng)用舉例

仍以上文提到的保險(xiǎn)賠償問(wèn)題入手，通過(guò)實(shí)際的問(wèn)題解答來(lái)深入分析數(shù)學(xué)模型的建立對(duì)實(shí)際問(wèn)題解決起到的幫助。

例：某中學(xué)為在校學(xué)生投保人壽保險(xiǎn)，據(jù)了解學(xué)生在校受到嚴(yán)重意外傷害的概率是0.002，學(xué)生須繳付保險(xiǎn)費(fèi)為每人每年12元。如果學(xué)生在校期間一旦發(fā)生意外事件而受到傷害可獲得保險(xiǎn)公司的賠償為2000，此時(shí)保險(xiǎn)公司是否盈利，其盈利的概率是多少，且獲利不少于10000元的概率是多少？

通過(guò)感性的認(rèn)識(shí)，很難感受到保險(xiǎn)公司的利潤(rùn)率到底是多少？保險(xiǎn)公司在提供相對(duì)投保金額十分高昂的賠付金額的同時(shí)是如何保證盈利的呢？通過(guò)建立起簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)分析模型來(lái)看到對(duì)于這些生活中的概率問(wèn)題來(lái)進(jìn)行更細(xì)致的解答。

首先設(shè)參保的2500人中在一年的參保期內(nèi)受到意外傷害的人數(shù)為X，那么X的取值可以有0，1，2，……2500，而且X服從分布ξ（2500，0.002）。此時(shí)用A表示“保險(xiǎn)公司盈利”，B表示“保險(xiǎn)公司盈利大于10000元”，由上述的問(wèn)題所知：

A={2500×12-2000X>0}={X<15}

B={10<x<15}

于是，可以通過(guò)計(jì)算的：P（A）=P{X<15}

=∑14i=0 C125000.002i0.9982500-i

≈0.999931

于是，可以通過(guò)計(jì)算的：P（B）=P{10<x<15}

=∑14i=11Ci25000.002：0.9982500-i

≈0.98305

有上述計(jì)算可以很容易地發(fā)現(xiàn)，保險(xiǎn)公司的盈利概率竟高達(dá)0.999931，而盈利在一萬(wàn)元以上的概率也達(dá)到了0.98305。通過(guò)上述建立數(shù)學(xué)模型的分析與計(jì)算，可以清楚地看到保險(xiǎn)公司的盈利保證是十分高的，這是其他行業(yè)所不能比擬的利潤(rùn)保證，所以保險(xiǎn)公司是很樂(lè)意接受這類保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的。

通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的模型建立與計(jì)算，可以通過(guò)直觀地?cái)?shù)字對(duì)比看到明確的結(jié)論，這是在日常生活的問(wèn)題解答中為什么要保持?jǐn)?shù)學(xué)思維的一個(gè)重要原因。其實(shí)，保險(xiǎn)公司在銷售每一款保險(xiǎn)產(chǎn)品之前都會(huì)建立一個(gè)更加復(fù)雜的模型。這個(gè)模型中會(huì)包含了通過(guò)一系列分析計(jì)算得出的投保人群的可能受傷害的概率，通過(guò)計(jì)算得到一個(gè)規(guī)律，此時(shí)保險(xiǎn)公司在根據(jù)得到的結(jié)果制定出一套保險(xiǎn)復(fù)雜而詳細(xì)的方案包括投保金額，理賠金額等等。最終而言，即便理賠金額遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于投保金額，但保險(xiǎn)公司還是盈利的。

當(dāng)然，這只是現(xiàn)實(shí)生活中概率問(wèn)題的一個(gè)簡(jiǎn)單案例。還有很多看起來(lái)想當(dāng)然的問(wèn)題，其實(shí)需要通過(guò)良好的數(shù)學(xué)思維和扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)去建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來(lái)分析和解決。通過(guò)數(shù)學(xué)的眼光看待一些問(wèn)題，可以糾正一些感性認(rèn)識(shí)的誤差進(jìn)而得到一些原來(lái)并不認(rèn)同的事實(shí)。因此數(shù)學(xué)，是一個(gè)只用事實(shí)說(shuō)話的最基礎(chǔ)最復(fù)雜的自然科學(xué)。

四、結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)是一種非常世界通用的語(yǔ)言，它能夠準(zhǔn)確清晰而且間接地說(shuō)明生活中的很多不同現(xiàn)象。需要養(yǎng)成運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言與生活中的各種現(xiàn)象進(jìn)行溝通交流的習(xí)慣，如乘坐出租車的時(shí)候去發(fā)現(xiàn)乘坐的里程數(shù)與乘坐時(shí)間，付費(fèi)多少之間的函數(shù)關(guān)系并建立模型。這種通過(guò)建立模型并解決實(shí)際問(wèn)題，再通過(guò)觀察并分析提煉出問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)，然后再把這個(gè)問(wèn)題具體化地歸類到某個(gè)知識(shí)點(diǎn)，再去逐個(gè)攻破，便能夠從一個(gè)個(gè)的生活中的數(shù)學(xué)模型中感悟到數(shù)學(xué)建模的廣泛的用處，這樣也就能夠激發(fā)我們對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚興趣的潛在心理，從而提高了運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)到實(shí)際應(yīng)用中的能力。

[1] 劉翠霞.四種模型解決排列組合概率問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，

2015（Z3）.

[2] 張唯一.高中概率教學(xué)中模型思想的滲透與培養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，

2013.

Solutions to the Model Establishment and Probability Combination

WANG Yao-jia

（Hengshui No. 1 High School， Hengshui Hebei， 053000， China）

Abstract： Mathematics is everywhere in todays society. We can find a wide variety of mathematical problems as long as we observe attentively. The problem of probability and combination is a mathematical problem we usually come into contact with in daily life. Teachers should help students to solve the problem of probability and combination， fully demonstrate the application of mathematics in life， in order to make students better learn the knowledge.

Key words： probability; combination; mathematical modeling; solutions

[ 責(zé)任編輯 趙建榮 ]