杜澤華, 梁振英, 杜亞男

(山東理工大學(xué) 理學(xué)院, 山東 淄博 255049)

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基于視覺伺服的不確定系統(tǒng)的指數(shù)鎮(zhèn)定

杜澤華, 梁振英, 杜亞男

(山東理工大學(xué) 理學(xué)院, 山東 淄博 255049)

摘要：基于運動學(xué)模型和狀態(tài)變換, 研究了一類帶有未知參數(shù)的不確定系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題. 運用輔助變量和控制輸入兩種方法分別設(shè)計控制器, 使系統(tǒng)狀態(tài)指數(shù)收斂. 兩種方法克服了系統(tǒng)初始狀態(tài)不為零的限制. 理論分析展示了兩種控制器的高度統(tǒng)一性, 仿真結(jié)果驗證了兩種控制方法的有效性.

關(guān)鍵詞：非完整； 移動機器人； 穩(wěn)定性； 視覺反饋

眾所周知, 可控的非完整系統(tǒng)不能通過光滑純狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定到穩(wěn)定點，而輪式非完整移動機器人(WMR)也是非完整系統(tǒng)[1]. 在WMR的實際控制應(yīng)用中, 其運動狀態(tài)雖可以通過儀器測量, 但由于諸如運動學(xué)模型的不確定性、 機械限制、 噪音等原因, 其狀態(tài)的精確測量難以實現(xiàn). 基于狀態(tài)測量過程中誤差存在的必然性, 大量文獻采用視覺反饋消除狀態(tài)測量誤差, 進而解決了一系列跟蹤與鎮(zhèn)定問題[2-4].

傳統(tǒng)的時變光滑狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定控制方法中, 系統(tǒng)的初始狀態(tài)需要滿足一定的條件[5], 一定程度上限制了其應(yīng)用范圍. 針對這一問題, 李世華[6]通過引入輔助變量給出一種時變光滑反饋控制律, 馬保離[7]通過確定一種新的控制輸入給出另一種時變光滑反饋控制律. 以上兩種控制方法均能夠保證系統(tǒng)狀態(tài)的指數(shù)收斂, 同時很好的解決了系統(tǒng)的初始狀態(tài)需滿足一定條件的問題.

本文基于已有的(2,0)型WMR的運動學(xué)模型以及狀態(tài)變換, 運用上述兩種控制方法[6-7]分別設(shè)計了兩種新的控制器, 實現(xiàn)了在不限定系統(tǒng)初始狀態(tài)情況下的指數(shù)穩(wěn)定問題.

1問題陳述

圖1為(2,0)型機器人和針孔相機系統(tǒng)[8],建立如圖所示坐標系，則其數(shù)學(xué)模型為

(1)

圖1　單目相機和輪式移動機器人系統(tǒng)

其中機器人坐標系X1-X2與慣性坐標系的角度為θ.假設(shè)坐標系x-y面與坐標系u-v面平行.攝像機光軸與X-Y面和u-v面交點坐標分別為(cx,cy)和(Oc1,Oc2).(x,y)和(xm,ym)分別為機器人質(zhì)心在慣性和圖像坐標系下的坐標，

其中α1和α2為兩個正常數(shù), 其數(shù)值取決于攝像機深度信息、焦距、以及分別沿u軸和v軸的像素放大倍數(shù).

(2)

選擇如下變換[8]

(3)

注1 對變換(3)，假設(shè)θ0≠0且已知, 通過變換Φ=θ-θ0, 可以將其轉(zhuǎn)換成θ0=0的情形(θ0=0表示u軸和x軸方向相同). 因此,只需討論θ0=0,α1和α2未知情況下系統(tǒng)的穩(wěn)定性. 令u0=ω,u1=v. 則

(4)

2控制器設(shè)計

本節(jié)將基于如下兩個假設(shè)分別設(shè)計控制器討論非完整不確定系統(tǒng)(4)的穩(wěn)定性.

假設(shè)1θ0已知,α1和α2未知.

通常攝像機焦距等標量的上下界是可以估計的.

引理2[10]考慮線性時變系統(tǒng):

其狀態(tài)向量x∈Rn. 若A∈Rn×n是Hurwitz矩陣, 并且B(t)∈Rn×n中每一個元素bij(t)(i,j=1,2,…)均滿足t趨于無窮時, 指數(shù)趨于零. 則系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的.

2.1方法1 輔助變量法

對不確定系統(tǒng)(4), 取輔助變量za(t)使得z0(t)構(gòu)成如下系統(tǒng)

(5)

其中,la,l0是由系統(tǒng)狀態(tài)初值確定的常數(shù).

u0=mf=m[f0+f1(t)]

(6)

其中f=f(t)=f0+f1(t)且

對系統(tǒng)(4), 選擇控制輸入(6)和如下狀態(tài)縮放變換以及控制輸入u1

(7)

其中k1和k2是未知增益. 則

以上兩式可寫成如下矩陣形式

(8)

其中

矩陣A的特征多項式為

當且僅當滿足下述條件, A為Hurwitz矩陣

(9)

定理1對于不確定系統(tǒng)(4), 基于假設(shè)1和2, 取輔助變量za(t).設(shè)計控制律

u0=-kaza-k0z0

(10)

(11)

當ki(i=1,2,3)滿足(9)時, 系統(tǒng)(4)是指數(shù)鎮(zhèn)定的.

證明對系統(tǒng)(4), 利用式(7)中狀態(tài)縮放變換和控制器(10)、(11), 得到子系統(tǒng)(8). 對于(8), 由

可知, 當t→時,z0→0. 所以當t→時, sinz0可近似為z0, cosz0可近似為考慮到

且sinz0, cosz0,α均有界, 所以當t→, 系統(tǒng)(8)中B的每個元素bij∈B0(t)(i,j=1,2,3,4)指數(shù)趨近于零. 由引理2和假設(shè)1、2,采用控制器(10)、(11), 系統(tǒng)(4)是指數(shù)鎮(zhèn)定的.

2.2方法2控制輸入法

對系統(tǒng)(4), 做如下控制

(12)

其中p=p0e-?t(p0≠0),k0>?>0.

令η=1-k0g, 則u0/p-η指數(shù)收斂于零, 且η=-?g. 對系統(tǒng)(4), 選擇控制輸入(12)以及如下狀態(tài)縮放變換

(13)

其中k1和k2是未知增益. 則

(14)

其中

矩陣A的特征多項式為

當且僅當滿足下述條件, A為Hurwitz矩陣

(15)

定理2 對于系統(tǒng)(4), 通過引入新的控制輸入

(16)

其中p=p0e-?t(p0≠0),k0>?>0, 當ki(i=1,2,3)滿足(15)時, 系統(tǒng)(4)是指數(shù)鎮(zhèn)定的.

證明 對系統(tǒng)(4), 利用狀態(tài)縮放變換(14)和控制器(16), 得到子系統(tǒng)(14). 對于(14), 由

注2 方法1和方法2所設(shè)計的控制器克服了系統(tǒng)初值狀態(tài)非零的要求[8]. 兩種方法雖然運用了不同的控制器, 但通過對比系統(tǒng)(8)和(14)中A矩陣, 可以看出兩個矩陣的高度相似性. 因此, 參數(shù)ki的取值類似. 呈現(xiàn)出兩種方法的高度統(tǒng)一性.

3仿真

對于不確定系統(tǒng)(4)和文中兩種控制方法, 分別在z0(0)≠0和z0(0)=0兩種情況進行仿真.

方法2當z0(0)≠0時, 令初值[z0(0), z1(0), z2(0)]=[1,-2.36,1.89], 選擇參數(shù)與增益常數(shù)?=1, g=2, α1=6, α2=3, k0=2, k1=-1, k2=0.6, 狀態(tài)變量和控制輸入的仿真結(jié)果見圖4；當z0(0)=0時, 在參數(shù)與增益常數(shù)不變的情況下, 選擇初值[z0(0), z1(0), z2(0)]=[0,-2.36,1.89]進行仿真, 結(jié)果見圖5.

圖2　方法1:z0(0)=1時狀態(tài)及控制輸入隨時間變化軌跡

圖3　方法1:z0(0)=0時狀態(tài)及控制輸入隨時間變化軌跡

圖4　方法2:z0(0)=1時狀態(tài)及控制輸入隨時間變化軌跡

圖5　方法2:z0(0)=0時狀態(tài)及控制輸入隨時間變化軌跡

通過仿真結(jié)果圖2～5容易看出, 所有狀態(tài)均具有很好的指數(shù)收斂性. 因此, 仿真結(jié)果驗證了所提出的控制器設(shè)計的有效性.

4結(jié)束語

本文討論了在θ0已知, α1及α2未知的條件下, 非完整不確定系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題. 基于(2.0)型非完整不確定系統(tǒng), 在假設(shè)1和2成立的條件下, 運用輔助變量和控制輸入兩種方法推導(dǎo)出不同的時變控制器, 從而保證系統(tǒng)的所有狀態(tài)指數(shù)收斂到原點. 不僅如此, 文章所提出的兩種控制方案不受系統(tǒng)初始值的限制. 理論分析與仿真結(jié)果表明兩種方法具有較高的統(tǒng)一性. 參數(shù)θ0未知的情況還有待于進一步討論.

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(編輯：姚佳良)

Exponential stabilization of uncertain systems based on visual servoing

DU Ze-hua, LIANG Zhen-ying, DU Ya-nan

(School of Science, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China)

Abstract:This paper investigates the exponential stabilization problem for a class of uncertain systems with unknown parameters. Two controllers were designed using auxiliary variables and control inputs to make the system status exponential convergence. Those methods overcome the limit of the initial state of the systems is not zero. Theoretical analysis shows a high degree of unity of the two controllers and simulation results show the effectiveness of the two control methods.

Key words:nonholonomic； mobile robot； stabilization； visual feedback

中圖分類號：O231.2

文獻標志碼：A

文章編號：1672-6197(2016)03-0020-05

作者簡介：杜澤華, 男, zehuadu@126.com； 通信作者：梁振英, 女, lzhenying@126.com

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目(61473179)； 山東省自然科學(xué)基金項目(ZR2013FM012, ZR2014FM007)

收稿日期：2015-07-10