魏昕婧， 潘月君， 張耀明

(山東理工大學(xué) 理學(xué)院, 山東 淄博 255049)

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Laplace方程Cauchy問題的正則化間接邊界元法

魏昕婧， 潘月君， 張耀明

(山東理工大學(xué) 理學(xué)院, 山東 淄博 255049)

摘要：應(yīng)用間接變量規(guī)則化邊界元法，對(duì)邊界條件識(shí)別Cauchy反問題進(jìn)行了研究. 采用TSVD和Tikhonov兩種正則化方法求解配點(diǎn)過程中出現(xiàn)的線性病態(tài)方程組，通過GCV法確定正則化參數(shù). 數(shù)值算例表明，該算法穩(wěn)定性好，數(shù)值解與精確解相當(dāng)?shù)匚呛?

關(guān)鍵詞：間接邊界元法； Cauchy反問題； 正則化方法； GCV法

位勢(shì)邊界條件識(shí)別反問題是指通過研究對(duì)象表面或內(nèi)部的位勢(shì)相關(guān)信息，反演物體邊界條件的一類問題，它涉及物理學(xué)、數(shù)學(xué)、實(shí)驗(yàn)技術(shù)等多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域，在無損探傷、航空航天、生物醫(yī)學(xué)、冶金鑄造、核能工程等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用.有限差分法(FDM)和有限元法(FEM)已被應(yīng)用于反問題的研究中，然而，它們均需在物體內(nèi)部劃分網(wǎng)格，過程繁復(fù)，耗費(fèi)機(jī)時(shí)，而且求解精度較差. 邊界元法(BEM)由于只需在物體邊界劃分單元，大大減少了工作難度，提高了計(jì)算效率，使其在反問題的研究中更加有效. 已有的反問題的研究主要集中在直接變量邊界元法，文獻(xiàn)[1-2]分別將直接變量邊界元法應(yīng)用于二維位勢(shì)問題、二維薄體位勢(shì)問題邊界識(shí)別反問題的求解. 本文基于文獻(xiàn)[3]提出的間接變量無奇異邊界積分方程，開展位勢(shì)邊界條件識(shí)別反問題的研究.

反問題求解過程中，相應(yīng)的線性系統(tǒng)通常是嚴(yán)重病態(tài)的，直接使用傳統(tǒng)的Gauss消去法一般很難獲得其有效解，因此，采用適當(dāng)?shù)恼齽t化方法求解是必要的. 最常用的正則化方法有TSVD法、Tikhonov法及PCG法(預(yù)處理共軛梯度法)[4]. 確定正則化參數(shù)的常用方法有：L曲線法、GCV法(廣義交叉校驗(yàn)準(zhǔn)則)及波動(dòng)曲線法等. 本文采用TSVD和Tikhonov兩種正則化方法來求解病態(tài)線性系統(tǒng)，正則化參數(shù)的選取通過GCV法來完成.

1反問題及規(guī)則化邊界積分方程

1.1二維位勢(shì)邊界條件識(shí)別反問題

本文考慮子邊界Γ1上位勢(shì)和通量已知，邊界Γ2上的位勢(shì)和通量均未知的邊界條件識(shí)別反問題，如圖1所示.

圖1　Cauchy型邊界條件識(shí)別反問題

1.2規(guī)則化邊界積分方程

二維位勢(shì)問題的等價(jià)的規(guī)則化間接變量邊界積分方程[3]為

∫Γφ(y)dΓx=0

u(y)=∫Γφ(x)u*(x,y)dΓx+C,y∈Γ

2正則化方法

2.1截?cái)嗥娈愔捣纸夥?TSVD)

對(duì)于線性方程組

Ax=b

(1)

其中，A∈Rm×n，x∈Rn，b∈Rm，且m≥n.對(duì)矩陣A進(jìn)行奇異值分解，則有

且

UUT=Im∈Rm×m

VVT=In∈Rn×n

m≥n,σ1≥…≥σp>0,σp+1=…=σn=0.

方程(1)的解可用Moore-Penrose廣義逆A+來表示，即

x的歐幾里得范數(shù)可寫為

式中：rε為滿足1

k≤p即為正則化參數(shù)，其對(duì)應(yīng)的截?cái)嗥娈愔到鉃?/p>

2.2Tikhonov正則化方法(TR)

Tikhonov正則化方法[5]構(gòu)造了一種依賴于參數(shù)α>0的泛函

Jα(x):=‖Ax-b‖2+α2‖x‖2

(2)

并通過求解該泛函的極小值得到式(2)的一個(gè)較好的近似解.顯然，對(duì)于任意α>0，Jα是嚴(yán)格凸的，因此，有唯一的xα滿足

此時(shí)，xα即為Jα的正則解.而xα又是方程

(ATA+α2In)xα=ATb

的解，且ATA+α2In對(duì)稱正定，所以該方程的解唯一，可表示為

2.3廣義交叉檢驗(yàn)準(zhǔn)則(GCV)

廣義交叉檢驗(yàn)準(zhǔn)則是由GolubGH提出的.其基本思想是：假定將任意一個(gè)觀測(cè)值bi從原觀測(cè)值序列b中刪除，則此時(shí)由剩余觀測(cè)值求得的正則化解應(yīng)能夠較好地預(yù)測(cè)b中被去掉的這一觀測(cè)值bi.廣義交叉檢驗(yàn)法可以等效為求解最小GCV函數(shù)問題

3數(shù)值算例

考慮圓環(huán)區(qū)域上的穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的Cauchy反問題. 圓環(huán)內(nèi)、外邊界分別是

和

圖2　圓環(huán)區(qū)域熱傳導(dǎo)

計(jì)算時(shí)，內(nèi)、外邊界分別被劃分成20個(gè)和40個(gè)線性單元.分別用TSVD和Tikhonov正則化方法對(duì)問題進(jìn)行求解，并用GCV法選取正則化參數(shù). 如圖3和圖4所示，兩種方法分別在k=93和α=1.0×10-3處達(dá)到GCV最小值，因此選取上述參數(shù)作為該問題的正則化參數(shù). 圖5描述了兩種正則化方法下求得的邊界位勢(shì)和通量的數(shù)值解以及與解析解的比較，結(jié)果表明，數(shù)值解與解析相當(dāng)?shù)匚呛?

圖3　GCV法選取TSVD正則化參數(shù)

圖4　GCV法選取Tikhonov正則化參數(shù)

分別將邊界劃分成60、120、180、240、300個(gè)線性單元，表1列出了在不同單元數(shù)下TSVD和Tikhonov正則化方法的最佳正則化參數(shù)選取，圖6(a)和6(b)分別描述了邊界溫度和熱流的平均相對(duì)誤差的變化. 可以看出，隨著單元數(shù)的增加，邊界溫度和熱流的平均相對(duì)誤差迅速地變小，表明該方法具有良好的收斂性.

圖5　未知邊界溫度和熱流數(shù)值解與解析解對(duì)比圖

表1不同單元下正則化參數(shù)的選取

單元數(shù)TSVD參數(shù)kTR參數(shù)α60931.00×10-31201711.00×10-31802491.00×10-42403271.00×10-43004121.00×10-4

圖6　不同單元下未知邊界溫度和熱流平均相對(duì)誤差

4結(jié)束語

二維位勢(shì)問題邊界條件反識(shí)別問題具有不適定性，常規(guī)邊界元法直接求解此問題時(shí)通常失效，因?yàn)榍蠼庵猩婕暗木€性系統(tǒng)是高度病態(tài)的.本文運(yùn)用間接規(guī)則化邊界元方法，結(jié)合TSVD和Tikhonov兩種正則化措施，同時(shí)通過GCV曲線法確定TSVD法的最佳截?cái)囗?xiàng)和Tikhonov法的最優(yōu)參數(shù)，有效地解決了這個(gè)問題.數(shù)值算驗(yàn)證了方法的有效性.

參考文獻(xiàn)：

[1]卞步喜, 周煥林, 程長(zhǎng)征, 等. 二維位勢(shì)邊界條件反識(shí)別TSVD正則化法[J]. 合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2014, 37(9):1 097-1 011.

[2]周煥林, 王劍, 牛忠榮. 薄體各向異性位勢(shì)邊界條件識(shí)別反問題正則化邊界元方法[J]. 固體力學(xué)學(xué)報(bào),2008, 29(12): 45-48.

[3]ZhangYM,LyuHX,WangLM.Novelregularizedboundaryintegralequationsforpotentialplaneproblems[J].AppliedMathematicsandMechanics, 2006, 27(9):1 165-1 170.

[4]周煥林, 江偉, 胡豪，等. 二維彈性力學(xué)邊界條件反識(shí)別PCG正則化法[J]. 固體力學(xué)學(xué)報(bào), 2013, 33(10): 288-293.

[5]TikhonovAN,ArseninVY.SolutionsofILL-posedproblem[M].NewYork:JohnWileyandSons,1977.

(編輯：郝秀清)

Regularized BEM with indirect unknowns for the Cauchy problem of Laplace′s equation

WEI Xin-jing, PAN Yue-jun, ZHANG Yao-ming

(School of Science, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China)

Abstract:The potential inverse identification boundary conditions problem is investigated by using the indirect boundary element method (IBEM) in this paper. Both the truncated singular value decomposition(TSVD) and the Tikhonov regularization method are applied to solving the ill-conditioned linear system involved in the process of implementation, and the optimal truncation number for the TSVD and the optimal parameter for the Tikhonov are chosen according to the generalized cross validation(GCV) method. A numerical example is given to verify the effectiveness of the proposed scheme, with numerical results being good agreement with the exact solutions.

Key words:indirect boundary element method; Cauchy inverse problems; regularization methods; generalized cross validation

中圖分類號(hào)：O342

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-6197(2016)03-0057-04

作者簡(jiǎn)介：魏昕婧，女，mogu555@sina.com； 通信作者： 張耀明，男，zymfc@163.com

收稿日期：2015-03-18