韓玉成，宋文淵，白永生，李欣玥

(軍械工程學(xué)院 裝備指揮與管理系，石家莊　050003)

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二維產(chǎn)品二維成組更換間隔期優(yōu)化研究

韓玉成，宋文淵，白永生，李欣玥

(軍械工程學(xué)院 裝備指揮與管理系，石家莊050003)

摘要：對于故障受日歷時間與使用時間共同影響的二維產(chǎn)品，傳統(tǒng)的只按照單一時間變量開展的預(yù)防性維修已不能滿足二維產(chǎn)品的實際維修保障需求，鑒于此，針對二維產(chǎn)品的特點,提出了二維預(yù)防性維修的策略，以日歷時間與使用時間對二維產(chǎn)品進行二維預(yù)防性維修決策；首先建立了二維產(chǎn)品故障率函數(shù)表達式，然后對二維成組更換的過程進行具體的分析，在有限使用條件下分別從經(jīng)濟性的角度與任務(wù)性的角度建立二維成組更換的費用模型與可用度模型；根據(jù)所建模型，結(jié)合實例，采用了費效分析中的費效比準則來優(yōu)化二維成組更換間隔期，通過對比分析驗證了該模型的適用性與有效性，證明了二維成組更換策略要優(yōu)于傳統(tǒng)的成組更換策略，最后對二維預(yù)防性維修提出了展望。

關(guān)鍵詞：二維產(chǎn)品；二維成組更換；數(shù)學(xué)模型；維修間隔期

0引言

由于經(jīng)濟的快速發(fā)展與社會的不斷進步，產(chǎn)品的復(fù)雜性越來越高，性能越來越先進，很多復(fù)雜產(chǎn)品的壽命受產(chǎn)品的日歷時間、使用時間等因素的共同影響。過久的使用時間或過高的使用強度將加速產(chǎn)品部件的退化、增加產(chǎn)品的故障強度。陳相侄[1]將故障受日歷時間與使用時間共同影響的產(chǎn)品稱之為二維產(chǎn)品，其中使用時間可以是打印機的打印張數(shù)，汽車的行駛里程，飛機的起降次數(shù)等，對此類產(chǎn)品進行預(yù)防性維修時，要結(jié)合實際的使用情況，確定反映使用情況的使用間隔期。比如說家用汽車的維護保養(yǎng)，多采用日歷時間與行駛里程的二維約束，通常間隔期為半年或者一萬公里，在消費者正常的使用情況下，無論哪個期限先到，就進行相應(yīng)的維護保養(yǎng)。

關(guān)于二維產(chǎn)品維修的研究最初來源于產(chǎn)品的二維保修領(lǐng)域，目前關(guān)于二維保修的研究主要是關(guān)于二維保修策略以及二維保修成本的優(yōu)化研究。Nat Jack[2]討論了一種最優(yōu)策略，使得在產(chǎn)品二維保修期內(nèi)的保修成本最低。Mahmood Shafiee和Stefanka[3]為二手產(chǎn)品制定了一種全新的二維保修策略，并通過數(shù)學(xué)模型分析了二手產(chǎn)品的二維保修成本。N.Jack[4]，S.Varnosafaderani[5]，T.Chen[6]，等也都對二維保修期內(nèi)發(fā)生故障后的維修策略進行了優(yōu)化?？梢园l(fā)現(xiàn)大部分二維保修的文獻都是針對故障后維修的情況，在二維保修期內(nèi)采用預(yù)防性維修的策略相對較少。

預(yù)防性維修是為預(yù)防產(chǎn)品故障或故障的嚴重后果，使其保持在規(guī)定狀態(tài)所進行的全部活動[7]。預(yù)防性維修作為一種計劃性維修的方式在各個領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用，其可以有效地避免故障的發(fā)生，并可以大大降低故障所造成的損失。在二維產(chǎn)品保修中也有一些文獻考慮到預(yù)防性維修，Yeu-Shiang Huang[8]使用了二維故障率中雙因素變量的方法，針對于可修的產(chǎn)品，在二維保修期限下建立了定期預(yù)防性維修費用模型，最終對保修策略進行了優(yōu)化研究。K Shahanaghi[9]在二維保修期下，采用定期不完全預(yù)防性維修的策略，建立了關(guān)于費用的模型，以費用最小為決策目標，對預(yù)防性維修的次數(shù)以及維修程度進行了優(yōu)化； Hu[10]考慮了二維預(yù)防性維修的問題，提出了一個以日歷時間與使用時間同時進行備件更換的二維預(yù)防性維修策略，最終對備件需求量進行了優(yōu)化求解。

通過以上綜述可以發(fā)現(xiàn)，二維產(chǎn)品保修是在二維的“時間”約束下(即二維保修期內(nèi))開展一系列的維修策略優(yōu)化研究，維修策略優(yōu)化的時間變量都是單維的日歷時間，很少有文章考慮到二維預(yù)防性維修的問題。二維預(yù)防性維修是針對二維產(chǎn)品而言，同時以兩個度量指標(如日歷時間與使用時間)對產(chǎn)品開展的一系列預(yù)防性維修活動，即使有文獻[10]考慮到二維預(yù)防性維修的問題，也都是假設(shè)維修間隔期是已知的，而在在實施預(yù)防性維修的過程中，維修間隔期的確定是維修決策中的重要一環(huán)。所以針對可以準確獲取到日歷時間與使用時間的二維產(chǎn)品，結(jié)合產(chǎn)品的實際維修需求，以費用與可用度為優(yōu)化目標，對產(chǎn)品的二維預(yù)防性維修間隔期進行優(yōu)化研究具有重要的現(xiàn)實意義。

因此，本文結(jié)合二維產(chǎn)品的維修實際，從二維產(chǎn)品預(yù)防性維修的角度出發(fā)，對二維產(chǎn)品采取二維成組更換策略，研究二維產(chǎn)品在有限使用期下二維成組更換間隔期的確定問題。

1系統(tǒng)描述

1.1模型描述

本節(jié)主要針對壽命受日歷時間T與使用時間U雙重影響的二維產(chǎn)品，對產(chǎn)品中使用量較大的一些部件采取二維成組更換策略，這種策略表示每到規(guī)定成組更換間隔期(T0,U0)就進行預(yù)防性更換，在成組更換間隔期內(nèi)出現(xiàn)故障進行故障后維修，所有維修皆為修復(fù)如新，即使有個別產(chǎn)品或部件在更換間隔期內(nèi)發(fā)生故障更換過，到指定的二維預(yù)防性維修間隔期(T0,U0)也一起更換，在有限使用條件下分別從經(jīng)濟性的角度與任務(wù)性的角度建立相應(yīng)的費用模型與可用度模型，然后采用費效分析的方法，權(quán)衡費用與可用度的綜合影響，確定最優(yōu)的二維成組更換間隔期。

1.2模型假設(shè)

1)產(chǎn)品的壽命具有日歷時間和使用時間兩個度量指標；

2)產(chǎn)品是不可修的，故障率是遞增的(Increasing Failure Rate)；

3)對于給定的用戶來說，其使用率r是長期恒定不變的，不同的用戶使用率不同，對于批次產(chǎn)品來說，使用率是隨機變量，用G(r)表示；

4)為了更精確地建立模型，考慮維修時間的影響，修復(fù)性維修時間Tf大于預(yù)防性維修時間Tp，預(yù)防性維修間隔期大于Tf，且維修時間都是固定的；

5)產(chǎn)品按照時間間隔(T0,U0)進行預(yù)防性維修，對于產(chǎn)品來說，其日歷時間與使用時間二者有其一達到T0或者U0則開展預(yù)防性維修；

6)故障后立即進行更換，忽略故障反應(yīng)時間。

1.3模型參數(shù)

(T0,U0)：二維成組更換間隔期，T0表示日歷時間間隔期，U0表示使用時間間隔期；

Tf：故障維修平均時間；

Tp：預(yù)防性維修平均時間；

Cd：停機造成的單位時間損失；

Cfr：故障維修的平均費用；

Cpr：預(yù)防性維修的平均費用；

Cf：故障維修總費用，Cf=Cfr+CdTf；

Cp：預(yù)防性維修總費用，Cp=Cpr+CdTp；

R：產(chǎn)品的使用率；

G(r),g(r)：產(chǎn)品使用率的分布函數(shù)與概率密度函數(shù)；

rl、ru、r0：分別表示批次產(chǎn)品中最低的使用率、最高的使用率以及二維間隔期U0與T0的比；

λ(t|r)：產(chǎn)品在使用率為r時的故障率函數(shù)；

F(t|r)：產(chǎn)品在使用率為r時的累計故障分布函數(shù)；

TW：產(chǎn)品的使用期限；

C(T0,t)：在間隔期為T0的預(yù)防性維修策略下，[0,t]時間內(nèi)的期望維修費用；

ECf(T0)：一個以T0為預(yù)防性維修間隔期內(nèi)故障費用的期望值；

ETf(T0)：一個以T0為預(yù)防性維修間隔期內(nèi)故障引起停機時間的期望值；

C(TW,T0,U0)：在二維預(yù)防性維修間隔期為(T0,U0)時，有限使用期TW內(nèi)，產(chǎn)品的期望總維修費用。

A(TW,T0,U0)：在二維預(yù)防性維修間隔期為(T0,U0)時，有限使用期TW內(nèi)，產(chǎn)品的平均可用度。

2模型建立

在本章，對有限使用期下的二維產(chǎn)品開展二維成組更換預(yù)防性維修，維修間隔期為(T0,U0)。首先需要給出二維產(chǎn)品的故障率函數(shù)表達式，然后進行具體維修過程分析，根據(jù)分析的結(jié)果建立與之對應(yīng)的費用表達式與可用度表達式。

2.1二維故障率模型

在二維產(chǎn)品維修領(lǐng)域中，共有3種不同的二維故障率表示方法，分別是雙因素變量法、復(fù)合尺度法與使用率法。其中使用率法的應(yīng)用最為廣泛，該方法中，讓T(t)與U(t)分別表示產(chǎn)品的日歷時間、使用時間與廣義時間t的函數(shù)，在使用率方法中，假設(shè)U(t)=R*T(t)，兩者為線性關(guān)系，其中R為非負的系數(shù)，R表示每單位時間的使用情況，即使用率，由于本文假設(shè)產(chǎn)品的使用率為隨機變量，不同的消費者對產(chǎn)品的使用率不變，且同一消費者的使用率保持長期恒定不變，同時R服從一定的分布，G(r)=P(R≤r)，根據(jù)實際使用消費者的不同，R服從不同的分布。

產(chǎn)品的故障是一個點過程，通過故障率函數(shù)進行建模，根據(jù)泊松過程，產(chǎn)品在使用率為r時的故障率函數(shù)可以表示為：

(1)

式中,φ(T(t),U(t))是關(guān)于T(t)與U(t)的增函數(shù)，這表示產(chǎn)品的故障率是日歷時間與使用時間的增函數(shù)。Iskandar and Murthy[11]給出了如下的故障率函數(shù)公式：

(2)

Moskowitz and Chun[12]考慮了以下的特殊形式：

(3)

Iskandar and Murthy[13]與Yun and Kang[14]同時采用了下面的形式：

(4)

本文在算例分析一章也采用公式(4)的形式，由于本文假設(shè)T(t)=t,U(t)=rt，所以最終的故障率函數(shù)表達式為：

(5)

對于傳統(tǒng)的故障率而言，故障率只是關(guān)于變量t的增函數(shù)，但是對于二維故障率來說，其是關(guān)于時間變量t與使用率變量r的增函數(shù)。通過式(5)我們無法直觀地看到故障率與兩個變量之間的最終關(guān)系，當時間變量的單位取年，使用率變量單位取萬公里時，結(jié)合文獻[13]中所給的參數(shù)，假設(shè)參數(shù)取θ0=0.1,θ1=0.2,θ2=0.3,θ3=0.3時，二維故障率函數(shù)圖像如圖1所示。

圖1　二維故障率函數(shù)圖像

由圖1可以發(fā)現(xiàn)二維故障率函數(shù)是關(guān)于變量t和r的增函數(shù)，當使用率r一定時，故障率隨著日歷時間t的增加而增加；同樣的，當日歷時間t一定時，故障率隨著使用率r的增加而增加，證明了該故障率函數(shù)形式與實際是相符的。

2.2費用模型

由于本文研究的是有限使用期下的二維成組更換模型，其中建模的方法與過程與無限使用期費用模型類似，不同在于建模的機理，無限使用期是建立單位時間平均費用模型，有限使用期是建立產(chǎn)品在使用期限內(nèi)的總費用模型。在有限使用期內(nèi)對產(chǎn)品進行二維成組更換，如圖2所示。

圖2　二維成組更換周期圖

本文要確定最優(yōu)的一組(T0,U0)使產(chǎn)品在有限時間TW內(nèi)總維修費用最低，由于r在不同的情況下，對應(yīng)的預(yù)防性更換間隔期不盡相同，此時分為兩種情況(1)r≤r0，(2)r>r0，分別進行討論。

當r≤r0時，如圖2所示，定期預(yù)防性維修時間為T0，在產(chǎn)品的壽命周期TW內(nèi)，產(chǎn)品在使用率為r時的期望費用

(6)

在一個完整的預(yù)防性維修周期中，產(chǎn)品的故障費用期望值包括，故障后維修費用與停機的損失費用，

(7)

ENb(T0)表示在[0,T0]內(nèi)產(chǎn)品的期望故障次數(shù)，根據(jù)更新過程與更新定理[15]

(8)

產(chǎn)品在[n1(T0+Tp),TW]內(nèi)的費用組成只有故障后維修的費用，所以

C[T0,TW-n1(T0+Tp)]=Cf*ENb

(9)

所以最終當r≤r0時，在使用率為r時的期望費用

(10)

(11)

此時在使用期限TW內(nèi)產(chǎn)品的期望平均費用

(13)

2.3可用度模型

與費用模型類似，可用度模型在建立的過程中也需要分為r≤r0與r>r0兩種情況分別進行建模分析。

在二維預(yù)防性維修中，可用度可以表示為：

(14)

當r≤r0時，與費用模型相同，定期預(yù)防性維修時間為T0，在產(chǎn)品的壽命周期TW內(nèi)，產(chǎn)品在使用率為r時期望停機時間：

(15)

停機時間的公式與平均費用模型的公式極其相似，只需將Tf、Tp代替Cf、Cp即可，相應(yīng)的故障停機時間表達式如下，

(16)

(17)

所以最終當r≤r0時，在使用率為r時期望停機時間

(18)

(19)

綜合以上兩種情況，在使用率r的分布函數(shù)為G(r)時，可以得到產(chǎn)品在使用期限TW內(nèi)期望平均可用度為：

(20)

2.4模型解析

由于模型的表述過于復(fù)雜，無法用函數(shù)的方法對其直接求解，本文采用數(shù)值算法，通過Matlab軟件對所建模型進行求解，根據(jù)產(chǎn)品的故障特點選取T0與U0的適當取值范圍，選取T0與U0適當?shù)牟介L，生成有限組(T0,U0)，將生成的每組(T0,U0)代入到編好的模型程序中。這里需要強調(diào)的是，在計算期望故障次數(shù)ENb(T)時采用了遞歸編程的方式，而遞歸過程中的步長最小為1，步長表示的是時間，在故障率函數(shù)表達式中時間的單位為年，如果步長的單位取年，在計算過程中會產(chǎn)生很大誤差，故遞歸過程中的步長單位取天，這就需要對二維故障率函數(shù)的參數(shù)進行重新設(shè)定。故障率函數(shù)中的時間變量單位取天，使用率變量單位取公里每天，在案例分析一節(jié)中會有所體現(xiàn)，之后通過Matlab進行迭代計算，分別計算每組(T0,U0)所對應(yīng)費用與可用度的值。

如果單從費用的角度處理問題，則維修費用越少越好；如果單從可用度的角度看問題，則可用度越高越好；而產(chǎn)品的維修費用和可用度是一對相互制約的矛盾體，只強調(diào)費用最優(yōu)或者可用度最優(yōu)不一定會達到整體最優(yōu)，只有控制費用并同時保證可用度才是科學(xué)的方法。為此，本文采用單位時間費效比函數(shù)V，來綜合權(quán)衡保修費用和可用度，對模型進行費效比分析，從而得到最優(yōu)的二維成組更換間隔期。費效比函數(shù)表達式如下：

(21)

將式(13)與式(20)代入到式(21)可以得到最終的費效比函數(shù)表達式，將生成的每一組(T0,U0)代入到式(21)中，以費效比的值為二維成組更換間隔期優(yōu)化的判定標準，費效比V最小時所對應(yīng)的一組(T0,U0)即為最優(yōu)二維成組更換間隔期。

3案例分析

3.1問題描述

在對某部隊的某型按批投入使用的輪式裝備進行調(diào)研時發(fā)現(xiàn)，該裝備中的輪胎只是按照傳統(tǒng)的方式進行修復(fù)性維修，修復(fù)性維修費用很高，且停機時間很長，生產(chǎn)停工及維修造成的損失也較大，該裝備的使用具有日歷時間與使用時間(行駛里程)兩個測量維度，而且發(fā)現(xiàn)使用率高的裝備輪胎出現(xiàn)的故障更為頻繁，嚴重地影響到部隊的正常訓(xùn)練。假設(shè)該裝備輪胎的故障函數(shù)表達式形式為λ(t|r)=θ0+θ1r+(θ2+θ3r)t2，在實際調(diào)研中了解到均勻分布與威布爾分布是使用率r最為常見的分布形式，為了便于比較，假設(shè)兩種分布具有相同的上下限，最高使用率ru為105公里每天，最低使用率rl為5公里每天，其他參數(shù)的具體設(shè)置如下表所示，同樣地，對該裝備的輪胎采取二維成組更換預(yù)防性維修方式，將所有參數(shù)代入到費用模型、可用度模型以及費效比模型中，得到與之相應(yīng)的費用、可用度以及費效比函數(shù)表達式。

表1　參數(shù)設(shè)置

3.2求解計算

運用Matlab工具軟件，根據(jù)裝備的故障特點選取T0與U0的適當取值范圍，T0在[1,500]內(nèi)取值，對應(yīng)的步長取1天，U0在[50,25 000]內(nèi)取值，步長取50 km，生成250 000組(T0,U0)，通過Matlab進行迭代計算，分別計算每組(T0,U0)所對應(yīng)費用值、可用度值與費效比的值。分別繪制使用率服從不同分布下的二維成組更換費用模型三維圖、二維成組更換可用度模型三維圖與費效比三維圖，如圖3~圖8所示，根據(jù)計算的結(jié)果求出最小費效比對應(yīng)的二維成組更換間隔期；同時，為了比較二維成組更換與傳統(tǒng)的一維成組更換的關(guān)系，繪出圖9，根據(jù)數(shù)值計算的結(jié)果，列出表2，為了比較以不同約束目標下費用、可用度與費效比值之間的關(guān)系，列出表3。

圖3　使用率服從均勻分布費用三維圖

圖4　使用率服從均勻分布可用度三維圖

圖5　使用率服從均勻分布費效比三維圖

圖6　使用率服從威布爾分布費用三維圖

圖7　使用率服從威布爾分布可用度三維圖

圖8　使用率服從威布爾分布費效比三維圖

圖9　一維費用模型(只以日歷時間進行預(yù)防性維修)

注：CT表示日歷時間，單位為天；UT為使用時間，單位為公里，費用單位為元/每天。

表3　有限使用期不同分布下不同約束目標對應(yīng)的各指標最優(yōu)值

3.3結(jié)果分析

通過圖3、圖4、圖6及圖7可知，不同的優(yōu)化目標會優(yōu)化出不同的最優(yōu)二維成組更換間隔期，以費用為優(yōu)化目標時，使用率服從均勻分布時最優(yōu)的二維成組更換間隔期為(85天，6 200公里)，威布爾分布的最優(yōu)二維成組更換間隔期為(98天，5 100公里)；以可用度為優(yōu)化目標時，均勻分布下最優(yōu)的二維成組更換間隔期為(75天，4 800公里)，威布爾分布為(82天，4 000公里)；

由于本節(jié)給定的優(yōu)化目標為費效比最低，通過圖5、圖8可知，以費效比為優(yōu)化目標時，同樣存在極值點，意味著同樣能優(yōu)化出最優(yōu)的二維成組更換間隔期，經(jīng)過計算可得，以費效比為優(yōu)化目標時，均勻分布下最優(yōu)的二維成組更換間隔期為(91天，6 200公里)，對應(yīng)的最低費效比為19 492；威布爾分布下最優(yōu)的二維成組更換間隔期為(101天，5 100公里)，對應(yīng)的最低費效比為16 809。

通過圖3~圖8亦能發(fā)現(xiàn)，在有限使用期下進行間隔期優(yōu)化研究的圖像不是平滑的，圖像整體是呈起伏趨勢，通過圖9可以找到原因，在只以日歷時間進行成組更換時，圖中有明顯的跳躍點，這些跳躍點是由于不同的更換間隔期引起的，所以在最終的三維圖像中會出現(xiàn)不平滑的現(xiàn)象。

通過表2可知，按照傳統(tǒng)的方法同樣可以給出有限使用期下最優(yōu)的一維成組更換間隔期，通過對比可以發(fā)現(xiàn)，二維成組更換間隔期要明顯優(yōu)于一維成組更換間隔期，而在不采用任何預(yù)防性維修措施的情況下，使用率服從均勻分布下總維修費用高達25 936元，使用率服從威布爾分布下總維修費用高達21 287元，由此可以證明二維成組更換預(yù)防性維修策略更為科學(xué)、更為合理。

通過圖3~圖8，以及表3對比可知，以不同的約束條件為優(yōu)化目標會得到不同的二維成組更換間隔期，加粗部分為不同優(yōu)化目標下對應(yīng)的最優(yōu)值，以費效比為優(yōu)化目標時，可以發(fā)現(xiàn)費用與可用度的值都不是最優(yōu)的，但是費效比的值是最小的，證明整體最優(yōu)不一定個體就是最優(yōu)的。

4結(jié)束語

針對故障受日歷時間與使用時間雙重影響的二維產(chǎn)品，提出了二維預(yù)防性維修的策略，從經(jīng)濟性與任務(wù)性的角度，分別建立了有限使用情況下二維成組更換費用模型與可用度模型，采用了費效分析中的費效比準則來優(yōu)化二維成組更換間隔期。通過實例對比分析，進一步驗證了該模型的有效性與適用性。二維預(yù)防性維修是一個較新的概念，本文只是進行了初步的探討，研究還比較有限，下一步可以針對更為復(fù)雜的產(chǎn)品，采用更通用的二維故障函數(shù)表達式，選擇不完全維修、最小維修以及改進維修等組合維修策略，進行二維預(yù)防性維修多目標優(yōu)化的相關(guān)研究。

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An Optimization Research on Preventive Maintenance Interval of Two-Dimensional Product

Han Yucheng,Song Wenyuan, Bai Yongsheng, Li Xinyue

(Department of Equipment Command and Management, Ordnance Engineering College,Shijiazhuang050003,China)

Abstract:For the failures of two-dimensional product affected by the calendar time and usage time, traditional one-dimensional preventive maintenance can’t meet the actual maintenance demand of two-dimensional product, therefore, according to the features of two-dimensional product, preventive maintenance strategy for two-dimensional product is proposed, this paper makes decision for two-dimensional product through calendar time and usage time. First we establish failure rate function expression of two-dimensional product and analyze the process of two-dimensional preventive maintenance in detail, after propose a cost model and availability model from the view of economy and mission in finite span. According to the cost and availability model, through examples, we derive the optimal two-dimensional age-replacement interval by cost-effectiveness analysis, and verify the model’s the applicability and the validity through contrast and analysis, verify that two-dimensional block-replacement strategy is better than traditional block-replacement strategy，the last we give a brief discussion of future research area about two-dimensional maintenance.

Keywords:two-dimensional product; two-dimensional block-replacement; math model; maintenance interval

文章編號：1671-4598(2016)02-0216-06

DOI：10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2016.02.060

中圖分類號：TP206

文獻標識碼：A

作者簡介：韓玉成(1990-)，男，遼寧大連人，工學(xué)碩士研究生，主要從事維修保障理論與技術(shù)方向的研究。

基金項目：國家自然科學(xué)基金(71401173)。

收稿日期：2015-08-31；修回日期：2015-10-13。