浙江省永嘉縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 李淑槐

談?wù)劤踔袔缀卧瓌?chuàng)題編創(chuàng)的幾種途徑

浙江省永嘉縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 李淑槐

平時(shí)的解題是解答現(xiàn)有的題目，體現(xiàn)的是教師的自我解題能力，一線教師對(duì)此往往非常重視，但卻忽視原創(chuàng)題的編創(chuàng).原創(chuàng)題的編創(chuàng)要求教師把知識(shí)、方法、能力落實(shí)到具體的題目，即要求作者以研究者的眼光來(lái)審視和深思編創(chuàng)過(guò)程的每一個(gè)細(xì)節(jié).這個(gè)過(guò)程是豐富多彩的，方法是多種多樣的：用數(shù)學(xué)的眼光去觀察生活，可以發(fā)現(xiàn)有趣的命題素材；用學(xué)生常見(jiàn)的學(xué)具去擺放，可以發(fā)現(xiàn)新穎的圖形結(jié)構(gòu)；用智慧的頭腦，加以先進(jìn)的軟件，可以編創(chuàng)有深度的綜合題.每一道題從想法到成型都是一次次思維的歷練.所以，編創(chuàng)出一道滿意的，甚至賞心悅目的題目來(lái)，是要付出艱苦勞動(dòng)的，要有執(zhí)著的精神與創(chuàng)新的意識(shí).它能使教師從單純的解題者、講題者提升到編題者，同時(shí)能使教師對(duì)課本知識(shí)、教學(xué)大綱的理解躍上一個(gè)新的層次，更好地為教學(xué)服務(wù).本文將從若干個(gè)方面結(jié)合自己的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)談?wù)剬?duì)原創(chuàng)題編創(chuàng)的一些淺見(jiàn).

初中數(shù)學(xué) 原創(chuàng)題 思維歷程 途徑

教師，尤其是數(shù)學(xué)教師，在平時(shí)教學(xué)活動(dòng)中是要大量解題的.事實(shí)上，一個(gè)解題能力強(qiáng)大的數(shù)學(xué)老師確實(shí)是會(huì)受到學(xué)生與同行的贊許甚至是崇拜的，而且各種針對(duì)教師的解題基本功比賽也開(kāi)展得較多，因此，一線教師都十分注重解題方法與技巧的學(xué)習(xí)與積累.相對(duì)的，原創(chuàng)題的編創(chuàng)就被“冷落”多了.

原創(chuàng)即作者首創(chuàng)，是模仿與抄襲的反義，是一種蛻變.幾何原創(chuàng)題指在數(shù)學(xué)幾何學(xué)科的環(huán)境下進(jìn)行的數(shù)學(xué)題目編創(chuàng).每年的中考等各種考試都會(huì)誕生大量的原創(chuàng)題，其編創(chuàng)的價(jià)值除了作為試卷起到了考查、選拔的作用外，它所展示的創(chuàng)新理念、方法革新與發(fā)展方向同樣是極其重要的.

一、原創(chuàng)題編創(chuàng)的原則

生活是多姿多彩的，當(dāng)我們用數(shù)學(xué)的眼光去觀察生活時(shí)，往往可以發(fā)現(xiàn)許多有趣的原創(chuàng)素材.經(jīng)過(guò)反復(fù)地斟酌、演算、修改與檢驗(yàn)，許多素材最后都可以設(shè)計(jì)成一道道讓人滿意的原創(chuàng)試題.那么，初中幾何原創(chuàng)題編創(chuàng)要遵循哪些原則呢？

1.基礎(chǔ)咬定是根本.

抓好“雙基”教學(xué)是基礎(chǔ)教育永恒的主題.近年來(lái)，有些教師有意無(wú)意漠視“雙基”，崇尚能力，事實(shí)上，能力應(yīng)扎根于基礎(chǔ)才會(huì)“枝繁葉茂”.而考場(chǎng)上經(jīng)常有“運(yùn)算能力低，基本技能差，思想方法疲軟以及懂而不會(huì)、會(huì)而不對(duì)、對(duì)而不快”的現(xiàn)象.加強(qiáng)平時(shí)的常規(guī)訓(xùn)練，注重通性通法的應(yīng)用勢(shì)在必行.因此命題者要擺正心態(tài)，不要故意和學(xué)生過(guò)意不去，要盡量設(shè)置起點(diǎn)低、入口寬的題目，讓大部分學(xué)生能解答.

2.能力立意是永恒.

對(duì)于“能力立意”，筆者的理解是落點(diǎn)在能力，而不是讓學(xué)生吃閉門羹，應(yīng)該搭建合適的平臺(tái)，引領(lǐng)學(xué)生拾級(jí)而上，登臨高峰.筆者認(rèn)為，應(yīng)低起點(diǎn)，高落點(diǎn)，立足于學(xué)生的思維高度，真正的數(shù)學(xué)教學(xué)就是教“思考”，就是教“思維”.

3.創(chuàng)新意識(shí)是靈魂.

作為一線教師，所解的數(shù)學(xué)題目不可謂不多，但要進(jìn)行原創(chuàng)題編創(chuàng)時(shí)，往往就會(huì)“理屈詞窮”，無(wú)從下手，只會(huì)解題，不會(huì)編題是一種普遍狀況.究其原因多是平時(shí)不注重原創(chuàng)題的編創(chuàng)，而創(chuàng)新意識(shí)，這一靈魂要素的缺失正是原創(chuàng)題編創(chuàng)困難的最大原因.

二、原創(chuàng)題編創(chuàng)的途徑

下面筆者以去年參加縣初中教師命題創(chuàng)新大賽中自己的原創(chuàng)題為例，結(jié)合中考原題談?wù)劤踔袔缀卧瓌?chuàng)題編創(chuàng)的幾種途徑.

1.看出”數(shù)學(xué)題——在觀察中創(chuàng)作.

為了找到理想的創(chuàng)作素材，就需要平時(shí)細(xì)心觀察生活.當(dāng)時(shí)正值國(guó)慶期間，街道商鋪的墻壁掛滿了國(guó)旗，就想，若能創(chuàng)作一道以國(guó)旗為載體的題目，既能考查知識(shí)點(diǎn)，又有愛(ài)國(guó)主義的思想內(nèi)涵，可謂一舉兩得.于是筆者進(jìn)行了如下創(chuàng)作：

（1）確定創(chuàng)作內(nèi)容，以四邊形、特殊三角形（三角函數(shù)）為對(duì)象.

（2）確定幾何模型.經(jīng)過(guò)實(shí)際觀察，國(guó)慶期間街道商鋪的墻壁上所掛的國(guó)旗多為以下兩種形式：

以上兩種可稱為平掛式與斜插式，平掛式創(chuàng)作余地不大，創(chuàng)作難以新穎，因此選定為斜插式.對(duì)斜插式進(jìn)行抽象得到下面圖形.

（3）確定題目數(shù)據(jù).國(guó)旗是神圣的，其大尺寸不可隨意更改，故查詢資料后選擇長(zhǎng)1440mm，寬960mm較為合適.而斜插傾角的選擇對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)60°比較容易接受.

（4）確定問(wèn)題設(shè)置.根據(jù)所編題目，可以預(yù)設(shè)多個(gè)問(wèn)題，如C或D離地面的高度，建立坐標(biāo)系后求某點(diǎn)的坐標(biāo)等，在進(jìn)行綜合比較后，最終定稿如下：

每逢國(guó)慶佳節(jié)，在我國(guó)許多街巷兩側(cè)的單位、商戶都會(huì)斜插著掛起國(guó)旗，以示慶祝.如圖，矩形ABCD是一面4號(hào)（長(zhǎng)1440mm，寬960mm）國(guó)旗，插掛在墻壁上離地面2m的M處（不計(jì)插入墻體部分），墻壁與地面垂直，旗桿BM長(zhǎng)1.5米，且與墻壁的夾角呈60°，則國(guó)旗的頂點(diǎn)D距離地面的高度為_(kāi)____m.（結(jié)果保留三位有效數(shù)字）

評(píng)析：本題設(shè)計(jì)思維含量高，包含豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，解法不單一，難度也適中.既充分體現(xiàn)了命題者細(xì)心的觀察與發(fā)現(xiàn)，又突出數(shù)學(xué)來(lái)源生活，數(shù)學(xué)服務(wù)生活的學(xué)科屬性.

2.“擺出”數(shù)學(xué)題——在實(shí)驗(yàn)中創(chuàng)作.

在日常教學(xué)中，經(jīng)常用到一些學(xué)具，如三角板、圓規(guī)、幾何體模型等.熟練地運(yùn)用這些學(xué)具是一個(gè)數(shù)學(xué)教師的基本功之一，而這些學(xué)具也為原創(chuàng)題提供了豐富的素材源泉.如最常見(jiàn)的三角板類題，在歷年全國(guó)各地的中考題中經(jīng)常出現(xiàn).例如2011年福建龍巖中考第22題：

一副直角三角板疊放如圖所示，現(xiàn)將含45°角的三角板ADE固定不動(dòng)，把含30°角的三角板ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（α=∠BAD且0°＜α＜180°）使兩塊三角板至少有一組邊平行.

（1）如圖①，α=______°時(shí)，BC∥DE；

圖①

（2）請(qǐng)你分別在圖②、圖③的指定框內(nèi)，各畫一種符合要求的圖形，標(biāo)出α，并完成各項(xiàng)填空：

圖②

圖③

圖②中α=____°時(shí)，____∥____；

圖③中α=____°時(shí)，____∥____.

本題在創(chuàng)編時(shí)使用了學(xué)生最熟悉的一副三角板，固定三角板ADE不動(dòng)，在旋轉(zhuǎn)三角板ABC的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)兩塊三角板至少有一組邊平行，可以說(shuō)，這題目是“擺”出來(lái)的.

評(píng)析：數(shù)學(xué)教學(xué)中有效使用學(xué)具，加強(qiáng)操作，增加學(xué)生的參與程度，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有利于學(xué)生對(duì)新知識(shí)的獲取與掌握.同樣是一副三角板疊放，該題以獨(dú)特視角呈現(xiàn)和考查，重視學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和動(dòng)手操作能力，顯示了編者的匠心獨(dú)運(yùn).

3.“畫出”數(shù)學(xué)題——在作圖中創(chuàng)作.

為了創(chuàng)作出理想的題目來(lái)，在確定知識(shí)點(diǎn)與難度值后，筆者經(jīng)常在草稿紙、在幾何畫板上畫一些圖畫.剛開(kāi)始時(shí)會(huì)沒(méi)什么想法，但第一筆畫下，總會(huì)有第二筆，第三筆，如此類推，或多或少總有收獲.

(1)在草稿紙上畫.

在創(chuàng)作“圓”這個(gè)知識(shí)的一道選擇題時(shí)，筆者經(jīng)歷了以下圖形變化過(guò)程：

最終題目如下：

如圖，已知線段AB=4，C是AB的中點(diǎn)，以AC和BC為直徑分別向線段AB的兩側(cè)做半圓，圓心分別為O1、O2，過(guò)點(diǎn)A作半圓O2的切線l1，過(guò)點(diǎn)B作半圓O1的切線l2，那么兩條切線間的距離是（ ）

剛開(kāi)始創(chuàng)作時(shí)帶有極強(qiáng)的隨意性，然后一次次的作圖，一次次的被否定，直到偶然看到字母“S”，擦去部分圓是這個(gè)題目成型的關(guān)鍵，充滿了原創(chuàng)的味道.

評(píng)析：本題圖形新穎、美觀，看似兩條平行線中夾著一個(gè)英文字母“S”，讓學(xué)生充滿親切感，也體會(huì)到處處有數(shù)學(xué)，事事皆學(xué)問(wèn).本題作為選擇題，各個(gè)選項(xiàng)設(shè)置也較有特色，對(duì)成績(jī)不佳的同學(xué)頗具迷惑性，但總體上難度不大，學(xué)生只要基本功扎實(shí)，均可正確的解題.

（2）利用幾何畫板畫.

幾何畫板（The Geometer's Sketchpad）是一款優(yōu)秀的專業(yè)學(xué)科平臺(tái)軟件.它是以數(shù)學(xué)為根本，以“動(dòng)態(tài)幾何”為特色來(lái)動(dòng)態(tài)表現(xiàn)設(shè)計(jì)者的思想，供用戶探索幾何奧秘的一個(gè)新工具.它能夠準(zhǔn)確地、動(dòng)態(tài)地表現(xiàn)幾何問(wèn)題，為充分展現(xiàn)幾何元素在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下保持幾何關(guān)系不變性，提供了方便的動(dòng)態(tài)演示.因此幾何畫板帶來(lái)的不僅是教學(xué)軟件的技術(shù)提升，更是創(chuàng)編數(shù)學(xué)題目方法的一次革命.

這次要?jiǎng)?chuàng)作一個(gè)綜合題，要求是難度值0.35左右，主要知識(shí)：三角形（或四邊形）、相似、方程及函數(shù).筆者集中重做了2006~2011年連續(xù)6年的溫州市中考?jí)狠S題，將目光聚焦在四邊形中，確定把直角梯形作為背景圖.

①確定起點(diǎn)

在幾何畫板上直接給定直角梯形，數(shù)據(jù)是簡(jiǎn)單又特殊的一組勾股數(shù)，并將起點(diǎn)定的很低，低到學(xué)生很意外，即第（1）小題確定為：

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=30cm， AD=40cm，連結(jié)BD，且BD=BC，（1）求線段BC的長(zhǎng).

看似簡(jiǎn)單，卻也處處體現(xiàn)了筆者的精心設(shè)計(jì).

②確定動(dòng)點(diǎn)

在AD、BD長(zhǎng)度的基礎(chǔ)上，動(dòng)點(diǎn)P的速度選為4cm／s，動(dòng)點(diǎn)Q的速度選為5cm／s，顯然是非常不錯(cuò)的.而且筆者一開(kāi)始就堅(jiān)定地選擇點(diǎn)P要從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，但同時(shí)出發(fā)的點(diǎn)Q是從點(diǎn)B還是從點(diǎn)D出發(fā)，則讓人十分糾結(jié).在這個(gè)問(wèn)題上幾何畫板發(fā)揮了它不可替代的作用：一遍遍的演示.

③確定“中點(diǎn)”

這個(gè)“中點(diǎn)”并不是指線段或位置的中點(diǎn)，而是指這個(gè)壓軸題里中等難度的小題.根據(jù)創(chuàng)作要求，筆者確定了函數(shù)與等腰三角形這兩塊知識(shí)為主要考查對(duì)象，同時(shí)在解題過(guò)程中須應(yīng)用相似、方程、函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)及分類的數(shù)學(xué)思想.并且難度不能過(guò)高，要給中等學(xué)業(yè)水平的學(xué)生以發(fā)揮的空間.

設(shè)動(dòng)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），△PDQ的面積為S.若動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，S關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)解析式自然是沒(méi)有問(wèn)題的，且難度不高.但是，當(dāng)下一步把題目定為：當(dāng)t為何值時(shí)，△PDQ為等腰三角形時(shí)，則在形狀探究上就出了問(wèn)題，演算與幾何畫板操作都發(fā)現(xiàn)在這種情況下的數(shù)據(jù)不甚理想，所以改為點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā).幾何畫板演示下△PDQ的形狀經(jīng)變化成為等腰三角形直觀了，學(xué)生在做草圖解決此題也簡(jiǎn)單了，即第②③小題確定為：

②設(shè)△PDQ的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式.

③當(dāng)t為何值時(shí)，△PDQ為等腰三角形.

這樣大部分學(xué)生至少能解決一部分題目，部分同學(xué)能解決整個(gè)②③題.

④確定亮點(diǎn)

若題目就此作罷，顯然十分一般，并無(wú)特色，所以最后的“升華”必不可少.能否找到一個(gè)亮點(diǎn)，就成了這個(gè)題目創(chuàng)作成敗的關(guān)鍵.在幾何畫板上，筆者做了無(wú)數(shù)次的嘗試，最終形成了以下主要思路：

a.以上題目均設(shè)定在△ABD中，梯形這個(gè)條件并沒(méi)有被充分利用，所以整個(gè)題目?jī)?nèi)容應(yīng)擴(kuò)大到△BCD內(nèi).

b.線段PQ若延長(zhǎng)，既可交在邊CD上，還也可交在折線D-C-B（設(shè)交點(diǎn)為E），為問(wèn)題的多樣性帶來(lái)可能.

c.可以通過(guò)圖形變換來(lái)加強(qiáng)幾何題的靈活性、探索性，如旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱等.

d.點(diǎn)P關(guān)于對(duì)角線BD的對(duì)稱點(diǎn)P′可通過(guò)幾何畫板得到，并在幾何畫板上讓點(diǎn)P與P′關(guān)聯(lián)，再設(shè)置速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)時(shí)來(lái)觀察點(diǎn)P′的位置變化．

e.在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)若連結(jié)P′E，則P′E與BD在兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)平行.

最終將第④小題設(shè)定為：連結(jié)并延長(zhǎng)PQ交折線D-C-B于點(diǎn)E，若點(diǎn)P關(guān)于線段BD的對(duì)稱點(diǎn)為P′，連結(jié)P′E，當(dāng)t= ____時(shí)，P′E∥BD（要求直接寫出答案）.

附兩種情況：