唐建國(guó)

（惠州學(xué)院數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，廣東惠州 516007）

單調(diào)可測(cè)集合列外測(cè)度極限的性質(zhì)及其應(yīng)用

唐建國(guó)

（惠州學(xué)院數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，廣東惠州 516007）

本文將外測(cè)度的有限可加性推廣為外測(cè)度的可數(shù)可加性，緊接著利用它推導(dǎo)出遞增可測(cè)集合列外測(cè)度極限的一個(gè)重要性質(zhì)，對(duì)于遞減可測(cè)集合列外測(cè)度的極限也有類似的性質(zhì).從這些性質(zhì)出發(fā)，我們?nèi)菀鬃C明遞增、遞減、收斂及一般可測(cè)集合列測(cè)度極限的一系列重要結(jié)果，此時(shí)一列可測(cè)集合的并與交可測(cè)是其簡(jiǎn)單推論.

外測(cè)度；測(cè)度；可數(shù)可加性；可測(cè)集列；極限

1 引言

一般實(shí)變函數(shù)教材上先給出外測(cè)度的定義，再推導(dǎo)外測(cè)度的性質(zhì)：非負(fù)性、單調(diào)性及次可數(shù)可加性，然后利用外測(cè)度給出可測(cè)集的定義如下[1-6]：

定義設(shè)E是Rq中的點(diǎn)集，如果對(duì)于任一點(diǎn)集T?Rq，都有

則稱E是L可測(cè)的，其測(cè)度記為mE，且mE=m*E.

在可測(cè)集的定義中出現(xiàn)了兩個(gè)集合E和T，為不致引起混淆，我們將定義中給定點(diǎn)集E稱為被檢驗(yàn)集，而任意點(diǎn)集T稱為檢驗(yàn)集.該定義是說(shuō)對(duì)于任意檢驗(yàn)集T，都被給定點(diǎn)集E分成兩塊T?E和T?Ec，而T的外測(cè)度要等于這兩塊的外測(cè)度之和.定義的條件看似十分簡(jiǎn)單，但因檢驗(yàn)集T的個(gè)數(shù)無(wú)窮無(wú)盡，且是不可數(shù)無(wú)窮多個(gè)，因此需要驗(yàn)證不可數(shù)個(gè)等式.從可測(cè)集的定義及外測(cè)度的次可數(shù)可加性，容易看出當(dāng)m*T=+∞時(shí)，定義中的等式顯然是成立的，因此只需對(duì)m*T＜+∞的集T驗(yàn)證定義中的等式即可.根據(jù)［1］第3.2節(jié)的引理，檢驗(yàn)集T可用Rq中的開(kāi)區(qū)間來(lái)代替，結(jié)合m*T＜+∞可知，檢驗(yàn)集T可用Rq中的有界開(kāi)區(qū)間來(lái)代替，這樣可大大減少檢驗(yàn)集的個(gè)數(shù).盡管如此，要驗(yàn)證的等式還是無(wú)窮無(wú)盡.因此除m*E=0等特殊情形外，直接按該定義驗(yàn)證一個(gè)給定點(diǎn)集E可測(cè)幾乎是一件難以完成的事情.這說(shuō)明按定義來(lái)驗(yàn)證點(diǎn)集可測(cè)不具有可操作性.主要原因是定義中所隱含的大量豐富的信息還沒(méi)有被挖掘出來(lái)，這些信息將構(gòu)成可測(cè)集的所有性質(zhì).只有從定義出發(fā)將可測(cè)集的性質(zhì)全部挖掘出來(lái)，我們對(duì)可測(cè)集的認(rèn)識(shí)才能比較全面準(zhǔn)確而深刻.然后才可利用可測(cè)集的性質(zhì)判定一個(gè)集合是否可測(cè)，即給出可測(cè)集合類，這是研究可測(cè)集的基本方法和路徑.

在推導(dǎo)可測(cè)集性質(zhì)時(shí)，文［1］從定義出發(fā)導(dǎo)出了可測(cè)集的兩個(gè)簡(jiǎn)單充要條件，一個(gè)是與定義等價(jià)但表述方式有所不同，另一個(gè)是E可測(cè)當(dāng)且僅當(dāng)Ec可測(cè).然后以并運(yùn)算為主線索推導(dǎo)出了可測(cè)集關(guān)于并交差運(yùn)算的性質(zhì)，由兩個(gè)可測(cè)集的并可測(cè)，推廣到n個(gè)可測(cè)集的并可測(cè)，進(jìn)一步推廣到一列可測(cè)集的并仍可測(cè).在證明n個(gè)可測(cè)集的并可測(cè)時(shí)，得到了如下外測(cè)度的有限可加性：當(dāng)S1,S2,…,Sn可測(cè)且互不相交時(shí)，成立，這些外測(cè)度的有限可加性在證明一列可測(cè)集并可測(cè)時(shí)發(fā)揮了關(guān)鍵作用.

進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，外測(cè)度的有限可加性可進(jìn)一步推廣為外測(cè)度的可數(shù)可加性.設(shè)是一列互不相交的可測(cè)集，則對(duì)有，緊接著利用它可推導(dǎo)出遞增集合列外測(cè)度極限的一個(gè)重要性質(zhì)：設(shè)是Rq的遞增可測(cè)集合列，即，則對(duì)同樣，對(duì)于遞減集合列外測(cè)度的極限也有類似的性質(zhì).從遞增遞減集合列外測(cè)度性質(zhì)出發(fā)，容易證明遞增、遞減、收斂及一般可測(cè)集合列測(cè)度極限的一系列性質(zhì)，并將一列可測(cè)集合并與交可測(cè)作為其簡(jiǎn)單推論.

2 單調(diào)可測(cè)集合列外測(cè)度極限的性質(zhì)

由此可得（5）式成立.在（5）式中取T=S即得（6）式.

注1從定理2的證明過(guò)程中可以看出，我們只需重新排列（7）式中各式子的順序，即可由定理2證明定理1的結(jié)論，這說(shuō)明定理1與定理2是完全等價(jià)的.定理1與定理2是同一個(gè)結(jié)論的兩種表現(xiàn)形式，外測(cè)度可數(shù)可加性是用級(jí)數(shù)來(lái)表示，而遞增集合列外測(cè)度極限的計(jì)算公式采用的是極限形式.這在實(shí)際應(yīng)用中為我們提供兩個(gè)選項(xiàng)，可根據(jù)問(wèn)題所給條件選擇一個(gè)比較方便應(yīng)用的形式.

注2由定理3證明中的（11）式知，只要（11）式中的正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，即可得到定理3的（8）式成立.要保證（11）式的正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，除定理3中給出的條件m*T＜+∞外，還可有兩個(gè)選項(xiàng)m*Sc＜+∞和存在正整數(shù)N使m*SN＜+∞.這三個(gè)條件只要有一個(gè)滿足，（8）式就一定成立.定理3在證明遞增遞減可測(cè)集合列的測(cè)度極限定理時(shí)，將帶來(lái)極大方便，特別對(duì)遞減可測(cè)集合列，只需取一個(gè)特殊的m*T＜+∞代入即可得結(jié)果.

3 在單調(diào)可測(cè)集合列測(cè)度極限中的應(yīng)用

在可測(cè)集的定義中，若m*T=+∞，則等式m*T=m*(T?E)+m*(T?Ec)顯然成立.因此在證明集合可測(cè)時(shí)，僅需對(duì)m*T＜+∞的情形驗(yàn)證即可，在此情形下（8）式成立.

4 在一般可測(cè)集合列測(cè)度極限中的應(yīng)用

本節(jié)應(yīng)用單調(diào)可測(cè)集合列外測(cè)度極限的性質(zhì)，得到收斂集合列測(cè)度極限的重要結(jié)論.對(duì)于更一般的可測(cè)集合列，應(yīng)用該性質(zhì)也推得了其測(cè)度上極限及下極限的有關(guān)不等式.

在（15）式的第一第二式中分別取T=S及

5 結(jié)語(yǔ)

本文在外測(cè)度已有理論的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出了單調(diào)可測(cè)集合列外測(cè)度極限的兩個(gè)重要性質(zhì)，即定理2和定理3.應(yīng)用這兩個(gè)定理容易證明一列可測(cè)集合的并或交可也可測(cè)，證明的思路是從特殊過(guò)渡到一般.我們先證明了單調(diào)增加可測(cè)集合列的并及單調(diào)減少可測(cè)集合列的交均可測(cè)，對(duì)這兩種單調(diào)可測(cè)集合列均成立集合列極限的測(cè)度等于集合列測(cè)度的極限，即定理4和定理5.這時(shí)，可測(cè)集合列的并或交可測(cè)的結(jié)果就成為定理4和定理5的簡(jiǎn)單推論.此外，應(yīng)用定理2和定理3我們證明了收斂可測(cè)集合列測(cè)度的極限定理，即證明了收斂集合列其極限的測(cè)度等于集合列測(cè)度的極限（定理6）.對(duì)于更一般的可測(cè)集合列（極限不一定存在），應(yīng)用定理2和定理3容易推得集合列測(cè)度的上極限和下極限的有關(guān)不等式（定理7）.整個(gè)推導(dǎo)過(guò)程邏輯線條清晰，證明方法簡(jiǎn)便易行，顯示了單調(diào)可測(cè)集合列外測(cè)度極限的性質(zhì)在本文證明過(guò)程中的重要作用和優(yōu)越性.

［1］程其襄，張奠宙，魏國(guó)強(qiáng).實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)［M］.第3版.北京：高等教育出版社，2013

［2］夏道行，嚴(yán)紹宗.實(shí)變函數(shù)與泛函分析［M］.第2版.北京：高等教育出版社，2010

［3］鄭維行，王聲望.實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要［M］.第3版.北京：高等教育出版社，2004

［4］胡適耕.實(shí)變函數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，2009

［5］徐森林.實(shí)變函數(shù)論［M］.第2版.北京：高等教育出版社，2001

［6］周民強(qiáng).實(shí)變函數(shù)論［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2001

【責(zé)任編輯：吳躍新】

Properties Related to the Limitation of Exterior Measure of a Monotonous Measurable Set Sequence and Its Applications

TANG Jian-guo
（School of Mathematics and Data Science，Huizhou University，Huizhou 516007，Guangdong China）

In this paper；we generalize the finite additive property of exterior measure to the countable and additive property of exterior measure；and then we deduce an important property related to the limitation of exterior measure of an increasing set sequence by using it.For a decreasing set sequence；there is a similar property related to the limitation of exterior measure.From these properties；we can easily prove a series of important results related to limitations of the measure of increasing；decreasing；convergence and general measurable set sequences.At this time；it is simple corollaries that union and intersection of a measurable set sequence are also measurable set.

exterior measure；measure；property of countable and additive；sequence of measurable set；limitation

O174.1

A

1671-5934（2016）04-0010-04

收搞日期：2016-08-18

廣東省人才引進(jìn)資金項(xiàng)目（A410.0204）；惠州學(xué)院科研項(xiàng)目（C511.0211）

唐建國(guó)（1965-），男，教授，博士，湖南永州人，研究方向?yàn)槠⒎址匠虜?shù)值解等.