林洪偉

大學數(shù)學在其他學科領域中的應用

林洪偉

本文介紹大學數(shù)學在初等數(shù)學、物理化學、生物醫(yī)學、經(jīng)濟學、計算機科學等不同學科領域的具體應用，以激發(fā)學生學習大學數(shù)學的興趣，培養(yǎng)大學生利用大學數(shù)學知識分析本專業(yè)相關問題，從而提高自己解決專業(yè)問題的能力。

大學數(shù)學；高等數(shù)學；矩陣；離散數(shù)學；概率論

大學數(shù)學是高等教育的一個重要組成部分，這是因為不論是數(shù)學專業(yè)，還是非數(shù)學專業(yè)中的天文學、力學、物理學、化學、生物學、計算機、通信等專業(yè)，甚至人文類專業(yè)都與大學數(shù)學有著密切的聯(lián)系，大學數(shù)學日趨成為高等院校中幾乎所有專業(yè)都要開設的課程。雖然大學數(shù)學是各類學科的基礎和工具，但是大多數(shù)學生對學習大學數(shù)學的目的不明確，不理解為什么要學習大學數(shù)學，不知道大學數(shù)學在自己專業(yè)是否有具體的應用，從而致使學生難以達到大學數(shù)學教育的基本要求。要使大學生對大學數(shù)學有正確的認識和端正的學習態(tài)度，就必須讓他們清楚認識到大學數(shù)學學習的重要性，特別是在自己所學專業(yè)中的作用，只有這樣才能提高大學生對大學數(shù)學的認識，激發(fā)大學生學習大學數(shù)學的興趣，培養(yǎng)大學生運用所學的大學數(shù)學知識、方法去觀察、分析實際問題，從而提高解決實際問題的能力。本文主要介紹大學數(shù)學在某些相關學科領域中的一些具體應用。

一、在初等數(shù)學教育中的應用

大學數(shù)學與初等數(shù)學有著密切的聯(lián)系，大學數(shù)學是初等數(shù)學的延伸和深化,站在大學數(shù)學的角度看待某些初等數(shù)學問題將會使問題的理解變得更深刻和全面。①因此，對數(shù)學專業(yè)的師范類或有志從事中學數(shù)學教育的大學生來說，大學數(shù)學的學習將為后面從事中學數(shù)學教育提供一定的幫助，在強調(diào)大學數(shù)學作用時，可以從以下幾方面敘述：

(1)圓的面積公式或者圓周率的由來，從而引入極限的概念；

(2)有特殊曲線的斜率問題到一般曲線的斜率，引入導數(shù)的概念，曲線在某點處的斜率實質(zhì)為該點處的導數(shù)；

(3)中學涉及不等式的證明、函數(shù)單調(diào)性的判斷可以利用導數(shù)的知識；

(4)中學很多實際應用問題可以歸結(jié)為函數(shù)求極值問題，問題解在導數(shù)為零的點中選取。

(5)中學有很多平面圖形求面積、立體圖形求體積問題，規(guī)則圖形很容易處理，但是對于曲邊梯形面積、曲頂柱體體積問題在分割、求和、取極限過程中的以直代曲、以規(guī)則代替不規(guī)則的思想方法正是精確與不精確、有限與無限辯證關系的一種體現(xiàn)，導致定積分概念的產(chǎn)生。

大學數(shù)學的方法可以使我們居高臨下地去面對初等問題，確定解題思路，幫助我們剖析某些問題的實質(zhì)，尋求簡捷的求解方法。中學數(shù)學中常涉及的大學數(shù)學知識有極限、導數(shù)、微分、定積分、行列式、向量、概率等問題。

二、在物理學、化學中的應用

中學時期數(shù)理化三個學科聯(lián)系密切，進入大學以后，物理、化學相關專業(yè)的學生更應該清楚大學數(shù)學作為工具學科，對物理、化學的發(fā)展和研究起到很大的推動作用。微積分是大學數(shù)學的核心，它們卻是由物理學的奠基人牛頓在研究經(jīng)典力學的過程中創(chuàng)立的，化學是一門關于物質(zhì)存在和轉(zhuǎn)化的科學，大學數(shù)學在化學中的應用同樣相當廣泛②，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

判別式模型為了得到正確的分類邊界，從非單一樣本的數(shù)據(jù)中抽取出共有的特征。判別式句法分析為了避開聯(lián)合概率模型中所要求的獨立性假設，分析方法中采用條件概率模型。其代表模型是賓西法尼亞大學的最大生成樹句法分析器，這是真正意義上的依存句法分析器。但是，非投影問題對系統(tǒng)復雜度是一個很大的挑戰(zhàn)，判別式依存句法的優(yōu)勢在于對非投影問題的處理分析，該方法更加注重算法復雜度的降低。判別式的句法分析方法和生成式的分析方法一樣，都是進行整個句子內(nèi)的全局搜索，所以算法復雜度是必須要考慮的問題。判別式方法的一個最大缺陷是它的訓練方法繁瑣，需要重復分析訓練集來迭代參數(shù)。

(1)物理學中，很多物理量，例如力、速度、加速度、場強等都是既有大小又有方向的量，稱為向量（或矢量）。當然也有物理量涉及向量的運算，例如力矩為徑向矢量與作用力的數(shù)量積；

(2)微分學是高等數(shù)學的核心之一，在物理學中具有重要應用，導數(shù)概念就來源于變直線運動的瞬時速度，實質(zhì)為增量比的極限。除了瞬時速度，物理學中還有很多量都具有這樣的特征，例如加速度、角速度、線密度、電流強度等；

(3)高等數(shù)學另一核心為積分學，在同濟版的《高等數(shù)學》中，定積分概念的引入利用了物理學中變直線運動，同樣的，重積分、曲線積分、曲面積分大多來源于物理學中具體物理量的計算?？偠灾e分學在物理學中的應用非常廣泛，例如變直線做功、不均勻構(gòu)件的質(zhì)量、不均勻物體的質(zhì)心、物體的引力、磁感應強度、磁通量等。

(4)高等數(shù)學在化學中的應用也相當廣泛，特別對于近代化學，高等數(shù)學顯現(xiàn)出其特別的基礎作用，從定量分析到量子化學，從數(shù)量分析到計量化學，高等數(shù)學在化學中的作用日益增強，所涉及的數(shù)學知識也越來越深奧②，例如基元反應的反應速率計算、利用高等數(shù)學方法可以證明化學熱力學的結(jié)論和推導相關公式。③

三、大學數(shù)學在生物醫(yī)學上的應用

隨著近代生物學的高速發(fā)展，數(shù)學在生命科學的作用愈發(fā)突出，無論是微觀方向的發(fā)展，還是宏觀方向的研究，都必須有精密的數(shù)學計算作為推動其前進的不懈動力。④生物數(shù)學就是在此基礎上誕生的以數(shù)學方法研究和解決生物學問題的一門新興學科。比較經(jīng)典的生物數(shù)學模型有：意大利生物學家D＇Ancona提出的著名的地中海鯊魚問題，數(shù)學家Volterra運用微分方程理論成功地解決了這個問題；描述種群增長最簡單的模型是Malthus方程，以及改進的費爾許爾斯特-珀爾方程（Logistic方程）；L.A.Zadeh提出的模糊集合概念，模糊集合適合描述生物學中許多“軟”的模糊現(xiàn)象，為生命現(xiàn)象的數(shù)量化提供了新的數(shù)學工具等等。

現(xiàn)代醫(yī)學發(fā)展的總體趨勢是從定性研究向定量研究的轉(zhuǎn)變，能夠更有效地探索醫(yī)學科學領域中物質(zhì)的量與量關系的規(guī)律性，推動醫(yī)學科學突破狹隘經(jīng)驗的束縛，向著定量、精確、可計算、可預測、可控制的方向發(fā)展，而這些都需要利用數(shù)學的理論知識探索其數(shù)量規(guī)律。例如：常微分方程可以應用到臨床醫(yī)學的定量分析和群體醫(yī)學的動態(tài)分析；生物統(tǒng)計學、概率論可以為藥物使用、人口統(tǒng)計與流行病、公共衛(wèi)生管理等作出決策；數(shù)學模型可以為臨床醫(yī)學、預防醫(yī)學等建立醫(yī)學數(shù)學模型；得到可供人們作出分析、判斷、預測和決策的結(jié)果；另外，臨床醫(yī)療和醫(yī)學科研所涉及的各類醫(yī)學儀器都離不開數(shù)學和計算機的支持。⑤

四、大學數(shù)學在經(jīng)濟學中的應用

大學數(shù)學在經(jīng)濟學中的應用由來已久，從當今高校開設的各類經(jīng)濟數(shù)學課程可以看出大學數(shù)學作為基礎學科在經(jīng)濟學各學科的發(fā)展中起著至關重要的作用。例如連續(xù)復利的計算借助了大學數(shù)學方法將經(jīng)濟學中的離散變量進行連續(xù)化處理，最終得出連續(xù)復利的實質(zhì)為一數(shù)列的極限；經(jīng)濟學中很多變化率問題，如增長率、邊際問題、彈性問題等都涉及導數(shù)的計算；積分學在經(jīng)濟學中的一個經(jīng)典應用就是由邊際函數(shù)求總函數(shù)，例如由邊際成本求總成本；利用微分方程可以分析商品的市場價格與需求量(供給量)之間的函數(shù)關系,預測可再生資源的產(chǎn)量、預測商品的銷售量、分析關于國民收入、儲蓄與投資的關系問題等⑥；銀行吸收存款后涉及準備金計算和放款總額需要利用級數(shù)來進行計算等。

五、大學數(shù)學在計算機科學中的應用

隨著計算機領域科學的飛速發(fā)展，我們已身處在又一次的科技革命之中，移動通信、可穿戴設備、物聯(lián)網(wǎng)概念的提出和實施改變著人們的生活方式，而現(xiàn)代計算機發(fā)展是隨著新的數(shù)學問題而產(chǎn)生的，大學數(shù)學思想在其中發(fā)揮著非常重要的作用，大學數(shù)學課程都對計算機科學發(fā)展產(chǎn)生重要的影響。

矩陣論在很多領域獲得了廣泛的應用⑦，而矩陣分解在機器學習和模式識別的應用中,矩陣的低秩逼近可以大大降低數(shù)據(jù)特征的維數(shù),節(jié)省存儲和計算資源。另外，稀疏矩陣在國家領空、海域監(jiān)測中具有重要的應用。

離散數(shù)學是現(xiàn)代數(shù)學的一個重要分支,在數(shù)學中有著重要的應用,同時也是計算機科學中基礎理論的重要課程,對計算機科學的研究和計算機技術的發(fā)展有著重大的意義。例如：由離散數(shù)學的數(shù)理邏輯中的命題與邏輯演算發(fā)展而來的數(shù)字邏輯被廣泛應用到了計算機科學中,比較突出地表現(xiàn)在計算機程序設計中尤其是硬件設計中；數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的圖和樹這兩個重要概念就是由離散數(shù)學中圖論理論引出來的，關系數(shù)據(jù)模型是以關系數(shù)學中的笛卡兒積為理論基礎的。

組合數(shù)學是研究離散對象的數(shù)學，與計算機所處理的對象是一致的，組合數(shù)學在計算機方面的應用極其廣泛，例如Ramsey數(shù)在信息檢索、分組交換網(wǎng)設計等計算機科學領域中的重要應用。

大學數(shù)學課程除了在上述五個大的方面有重要應用之外，還滲透到各行各業(yè)的方方面面中，例如經(jīng)濟管理、軍事戰(zhàn)爭、工程設計等等，因此如果沒有大學數(shù)學的發(fā)展，那么人類社會很多方面都難以進步和發(fā)展。愛因斯坦曾說，熱愛是最好的老師。希望大學生在充分認識到大學數(shù)學應用的廣泛性及重要性同時，能夠熱愛和學好大學數(shù)學，把自己專業(yè)涉及的問題歸納為數(shù)學問題，進而有效地解決問題。

引文注釋

①彭小林，林廣群.高等數(shù)學在中學數(shù)學教學中的應用[J].西藏教育，2011(11)：26-27.

②李玲.高等數(shù)學在不同學科領域中的應用[J].四川文理學院學報，2011(21)：149-151.

③路慶華，張坤玲.高等數(shù)學在化學熱力學中的應用[J].石家莊職業(yè)技術學院學報，2015 (27)：62-65.

④廖祥,秦晉,劉清成.數(shù)學在生物學中的應用[J].科技向?qū)В?011(7)：26.

⑤安建平.淺談高等數(shù)學在醫(yī)學中的應用[J].數(shù)理醫(yī)藥學雜志,2000(2).

⑥許玲.論高等數(shù)學在經(jīng)濟學中的作用[J].高等數(shù)學，2012(4)：55-55.

⑦HubertLJ,Meulman J J,Heiser W J.Two purposes for matrix factorization.A historical appraisal.SIAM Review,2000（42）：68～82

(作者單位：金陵科技學院)

10.16653/j.cnki.32-1034/f.2016.24.048

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