陳憲麥，向尚，徐磊，賀天龍，陳文韜，賈晨

(1．中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410075；

2.高速鐵路建造技術(shù)國家工程實驗室，湖南 長沙 410075；

3.西南交通大學(xué) 牽引動力國家重點實驗室，四川 成都 610031)

?

武廣客運專線通用軌道譜及其反演簡化算法

陳憲麥1，2，向尚1，徐磊3，賀天龍1，陳文韜1，賈晨1

(1．中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410075；

2.高速鐵路建造技術(shù)國家工程實驗室，湖南 長沙 410075；

3.西南交通大學(xué) 牽引動力國家重點實驗室，四川 成都 610031)

摘要:基于鐵路軌道精細化管理的需要，針對武廣客運專線2013年全年的軌道不平順檢測數(shù)據(jù)進行功率譜密度的計算與統(tǒng)計處理，采用新的4參數(shù)擬合公式，建立武廣客運專線上、下界限譜和建議譜的通用譜結(jié)構(gòu)及擬合參數(shù)。同時，出于車-軌(橋)系統(tǒng)動力仿真的需要，基于國內(nèi)已較為成熟的譜密度反演算法，考慮譜密度時頻域轉(zhuǎn)化的統(tǒng)一性，提出在獲得譜密度結(jié)構(gòu)及擬合參數(shù)的基礎(chǔ)上，直接模擬任意波段及長度的軌道不平順空間序列的簡化算法。

關(guān)鍵詞：武廣客運專線；擬合公式；通用軌道譜；軌道不平順模擬

武廣客運專線為京廣客運專線的南段，最高運營時速達350 km，其線路必須保證高平順性。李再幃等[1]對武廣高速鐵路軌道不平順的功率譜和時頻譜進行了部分研究。為了更科學(xué)地評價、管理武廣客運專線軌道的平順狀態(tài)，提高我國軌道管理的科學(xué)技術(shù)水平，優(yōu)化改進高速車-軌(橋)耦合系統(tǒng)的動力學(xué)性能，制定經(jīng)濟、合理的軌道維修計劃，有必要依據(jù)更為詳實的軌道不平順檢測數(shù)據(jù)，提出符合武廣客運專線軌道狀態(tài)特征的標(biāo)準(zhǔn)譜密度函數(shù)。另一方面，軌道譜作為重要的動力隨機輸入函數(shù)，以其擬合曲線函數(shù)為基礎(chǔ)的不平順模擬是一個不可避免的問題，最常用的方法有二次濾波、白噪聲、三角級數(shù)和頻域等方法[2-9]。本文采用模擬精度較高的頻域法，并對其進行了算法的簡化與改進。

1武廣線軌道不平順功率譜分析

不同的鐵路線路，其軌道不平順功率譜密度PSD(以下簡稱軌道譜)在波長和幅值的分布特征上必然存在差異。關(guān)于通用軌道譜的建立，我國目前還處于探索、發(fā)展階段，沒有大量實測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析是無法實現(xiàn)的。陳憲麥等[10]基于12條干線鐵路，按120，160和200 km/h等3個速度等級建立了通用軌道譜，同時根據(jù)譜線下方面積(即軌道不平順均方值)定量評價軌道平順性的原理，建立了基于軌道軌道譜的定量評判方法。然而，隨著高速客運專線的發(fā)展，時速250 km/h乃至300 km/h以上的高速鐵路通用軌道譜還需進一步研究，這是按線路速度等級進行軌道譜劃分的方法。

實際上，如果更為細致地分析軌道平順狀態(tài)，每條鐵路線路都可建立相應(yīng)的軌道通用譜，以作為該線路鐵路工務(wù)部門養(yǎng)護維修、狀態(tài)評估及動力仿真用譜。

1.1軌檢數(shù)據(jù)的軌道譜統(tǒng)計

利用輪次檢驗法分析武廣客運專線2013全年的軌檢數(shù)據(jù)，結(jié)果表明，大多數(shù)軌道不平順樣本是平穩(wěn)或弱平穩(wěn)的，本文分析中，均視為平穩(wěn)數(shù)據(jù)處理。對于異常數(shù)據(jù)的剔除，采用康雄等[11]提供的方法。筆者針對武廣客運專線2013全年的動檢數(shù)據(jù)，以4 096個點(1.024 km)作為一個計算單元，每個月份隨機抽取200個計算樣本，采用周期圖法計算并提取軌道譜圖的最大值，建議值和最小值。其中，建議值的提取辦法如下：針對每個月份的每個波長點(即軌道譜圖的橫坐標(biāo)點)，計算其軌道譜值的概率分布密度，提取概率分布密度最大的譜值作為此波長的建議譜值(見圖1)。

圖1　53.76 m波長處200個樣本軌道譜值分布Fig.1 Track spectrum value distribution on 200 samples of 53.76 m wavelength

按相同的思路，可獲得2013年軌檢數(shù)據(jù)的最大值、建議值和最小值，匯總到圖2中，分析內(nèi)容包括左高低、右高低、左軌向、右軌向、水平和軌距不平順軌道譜。分別取所有譜線之平均值作為武廣客運專線軌道譜最大值、建議值、最小值標(biāo)準(zhǔn)原譜，見圖2中黑色粗實線，這是建立武廣客運專線通用軌道譜的基礎(chǔ)。

1.2軌道標(biāo)準(zhǔn)原譜的擬合

圖2中的軌道不平順原譜從統(tǒng)計的角度展示了武廣線2013全年的軌道不平順幅頻分布特性，當(dāng)用于車-軌(橋)系統(tǒng)動力仿真或軌道狀態(tài)評判時，需要恰當(dāng)?shù)臄M合譜函數(shù)。軌道譜的擬合應(yīng)以擬合參數(shù)少，便于應(yīng)用和參數(shù)優(yōu)化為原則?；诖?，結(jié)合國內(nèi)外成功應(yīng)用的軌道譜密度函數(shù)[12-13]，選用式(1)擬合圖2中不同類型軌道不平順的計算結(jié)果，形成符合武廣客運專線軌道基本狀態(tài)的通用譜函數(shù)，如圖3所示。

S(f)=(Af2+Bf)/(1+Bf+Cf2+Df3)2

(1)

式中：f為空間頻率；A，B，C和D為擬合參數(shù)；S(f)為軌道譜值。

(a)左高低不平順；(b) 右高低不平順；(c)左軌向不平順；(d)右軌向不平順；(e)水平不平順;(f)軌距不平順圖2　武廣客運專線軌道不平順功率譜Fig.2 Railway track irregularities of Wuhan-Guangzhou Passenger Special Line(①，②和③為實測的PSD最大值，建議值和最小值；粗實線為相應(yīng)的平均值)

圖3中，針對每種軌道不平順類型，從2013年每個月隨機抽取10個樣本(每個樣本長度1 024 m)進行軌道不平順功率的計算與整合，并與本文提出的武廣客運專線上限界譜、建議譜和下限界譜通用標(biāo)準(zhǔn)譜線進行比較分析，結(jié)果表明，本文計算得出的通用標(biāo)準(zhǔn)譜線是比較合理的，建議譜線基本反映了軌道不平順實測譜的幅頻特征，而上、下限界譜也較為經(jīng)濟適度，下限界譜表示軌道不平順處于極好的狀態(tài)；上限界譜表示軌道不平順狀態(tài)不應(yīng)超過這個限值。表1列出了武廣客運專線的通用標(biāo)準(zhǔn)譜特征參數(shù)，通用譜的有效波長范圍為1～70 m。

2隨機不平順反演算法的簡化

通用的譜密度函數(shù)結(jié)構(gòu)及其特征參數(shù)在軌道狀態(tài)診斷與評價中是可以直接應(yīng)用的，但在車-軌(橋)系統(tǒng)的振動分析過程中，需要時域的隨機不平順作為耦合系統(tǒng)的激勵輸入。這時，必須將軌道不平順譜密度函數(shù)等效變換為具有同樣波幅特性的軌道不平順空間序列。應(yīng)該說，鐵路軌道不平順隨機過程的數(shù)值模擬方法已較為成熟(見文獻[5-9])，基本能滿足動力仿真激勵輸入的要求?，F(xiàn)階段，國內(nèi)應(yīng)用較多的軌道譜反演方法基本是以逆傅里葉變換為基礎(chǔ)的[8-9]，通過速度將空間譜密度與時間譜聯(lián)系起來[9]，見式(2)和(3)。

Ω=f/V

(2)

(3)

式中：Ω為空間頻率；f為時間頻率；V為行車速度；G(f)為時間譜密度；SV(Ω)為空間譜密度。

(a)左高低不平順；(b) 右高低不平順；(c)左軌向不平順；(d)右軌向不平順；(e)水平不平順;(f)軌距不平順圖3　武廣客運專線通用軌道譜Fig.3 General track spectrum of Wuhan-Guangzhou Passenger Special Line(①，②和③分別為上限界譜，建議譜和下限界譜的通用標(biāo)準(zhǔn)譜線)

不平順類型上限界譜特征參數(shù)(×103)建議譜特征參數(shù)(×103)下限界譜特征參數(shù)(×103)ABCDABCDABCD左高低49.353-0.0310.7502.6392.220-0.0250.7501.3920.157-0.00150.1996.37右高低45.768-0.0340.7492.2232.400-0.0240.7502.0220.0820.0000570.1993.39左軌向47.396-0.0150.3000.6241.200-0.0160.5001.0100.428-0.00661.1532.618右軌向5.000-0.0130.3000.4951.200-0.0150.5001.0200.363-0.00560.9522.999水平121.6400.0650.3002.5001.5000.0030.6371.2210.1000.00230.6590.736軌距414.84-0.0484.5919.99510.229-0.0905.000-1.0121.184-0.0103.0004.100

需要指出的是，標(biāo)準(zhǔn)軌道譜密度函數(shù)的形成來源于對大量軌道檢測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計與整合，所以根據(jù)軌檢車的有效檢測波長范圍，標(biāo)準(zhǔn)軌道譜的有效空間頻率上、下限是基本確定的。由式(2)可知，當(dāng)行車速度一定時，時間頻率的上、下限也是確定的，并且隨著速度的增加有效時間頻率范圍逐漸向高頻移動。

實際上，在列車-軌道(橋梁)耦合動力計算中，只需輸入軌道隨機不平順空間序列即可獲得系統(tǒng)的振動響應(yīng)時程，同時軌道譜密度函數(shù)一般采用空間頻率作為自變量，根據(jù)時域采樣定理[9]：如果連續(xù)數(shù)據(jù)的頻譜是有限頻帶寬度，那么結(jié)合式(2)，時域信號的采樣間隔Δt與其最高截斷頻率fc應(yīng)滿足如下關(guān)系，即

(4)

式中，Ωc為最高截止空間頻率。式(4)表明在速度一定的情況下，空間采樣間隔與時間采樣間隔實際上是統(tǒng)一的，所以只要合理模擬軌道不平順隨機信號的空間函數(shù)，譜的時頻域轉(zhuǎn)化是不必要的，并且在文獻[3]中，模擬時間、采樣周期、采樣個數(shù)等基本參數(shù)相互依賴，需滿足一定的條件才能較好的反演軌道不平順隨機序列，在一定程度上增加了模擬的復(fù)雜度。本文在文獻[3]方法的基礎(chǔ)上，針對基于軌道譜的不平順隨機序列模擬問題做了如下簡化：

1)不考慮行車速度V，即不按式(2)和式(3)進行空間譜與時間譜的轉(zhuǎn)換，僅對空間域的通用軌道譜(見圖3)進行不平順信號模擬。因為軌道不平順的模擬最重要的是反映鐵路線路軌道譜結(jié)構(gòu)的幅頻特性；

2)不選取時間間隔Δt，直接按下截止波長Ld確定空間采樣間隔Δd(Δd=Ld/2)和空間采樣點數(shù)Nr確定模擬的線路里程長度。

基于上述2點簡化，結(jié)合式(1)所示的譜密度函數(shù)結(jié)構(gòu)和表1中的譜特征參數(shù)，可按如下步驟反演軌道隨機不平順空間序列：

1)對于軌道不平順的單邊功率譜，確定其頻域采樣點數(shù)Nr，一般保證Nr為2的整數(shù)次冪，上、下截止波長Lu和Ld(上、下截止頻率為1/Ld、1/Lu)，取原始頻域范圍為0～1/Ld。由于周期圖法估計出的功率譜具有周期性，且為偶對稱序列，將其轉(zhuǎn)化為雙邊譜Sx(f)，頻率間隔為

Δf=1/Ld/(2Nr)

(5)

對于采樣點置零等問題可參考文獻[3]；

2)對于空間序列{x(n)}，n=1,2,…,N，頻譜模值為

(6)

3)獨立相位序列ξn的計算，其各分量均值為零，ξn為復(fù)數(shù)，且|ξn|=1，設(shè)

ξn=cosΦn+isinΦn=exp(iΦn)

(7)

式中Φn服從0～2π均勻分布。頻譜X(k)，k=0,1,…,Nr可由下式計算

(k=1,2,…,Nr)

(8)

然后由對稱條件獲得X(k)，k=1,…,2Nr。

4)將得到的復(fù)序列X(k)進行IFFT可獲得軌道隨機不平順模擬信號。本文與文獻[3]最大的不同在于步驟1中，上、下截止波長，頻域范圍，頻率間隔之間的聯(lián)系和計算方法不同。按照本文的方法，原則上可以模擬任意波長范圍、任意長度的軌道隨機不平順空間信號，當(dāng)然對于某些波長的模擬是不準(zhǔn)確的，因為實測的軌檢數(shù)據(jù)精度有限，通用軌道譜只在一定范圍內(nèi)有效，本文假定任意波長處的功率譜值均是服從擬合譜密度函數(shù)的。圖4為采用鐵科院7參數(shù)譜擬合公式與本文擬合公式對武廣客運專線某月份左高低不平順的擬合效果比較，可見本文采用的擬合公式效果較優(yōu)，并且參數(shù)較少，擬合參數(shù)見表2。

圖4　左高低不平順譜擬合曲線Fig.4 Fitting curves of left vertical track irregularity

從圖5(c)和6(c)可知，本文所改進的軌道隨機不平順模擬算法是有效的，模擬值與解析值基本一致，需指明的是，在圖5(c)和圖6(c)中模擬值的功率譜是按照最大熵譜計算獲得的，并且其采樣率不能取為1/Δd,而應(yīng)取為2/Ld,否則算不出正確的譜密度。同時，對圖5(a)和5(b)進行對比可知，在0.5～2 m波長段，鐵科院7參數(shù)擬合譜反演幅值遠大于本文擬合譜反演結(jié)果，這是與圖4所示擬合譜結(jié)果相一致的。

表2　特征參數(shù)

(a)鐵科院7參數(shù)譜反演；(b)本文擬合譜反演；(c)本文擬合譜解析值與模擬值比較圖5　0.5～2 m波長段軌道不平順的模擬Fig.5 Track irregularity simulation of 0.01-2 m wavelength

(a)鐵科院7參數(shù)譜反演；(b)本文擬合譜反演；(c)本文擬合譜解析值與模擬值比較圖6　0.5～80 m波長段軌道不平順的模擬Fig.6 Track irregularity simulation of 0.5-80 m wavelength

3結(jié)論

1)基于武廣客運專線2013年全年的軌道不平順檢測數(shù)據(jù)，采用一個4參數(shù)的擬合公式對武廣客運專線的標(biāo)準(zhǔn)原譜密度函數(shù)進行了擬合，確定了上、下界限譜及建議譜通用函數(shù)結(jié)構(gòu)形式及特征參數(shù)，為武廣客運專線的軌道養(yǎng)護維修、狀態(tài)評判及病害診斷奠定了一定的基礎(chǔ)。

2)基于較為成熟的軌道譜反演算法，對軌道不平順隨機序列的模擬方法做了簡化，在已知譜密度函數(shù)結(jié)構(gòu)及擬合參數(shù)的情況下，原則上可以模擬任意波段及長度的軌道不平順空間序列，簡化后的算法無需在模擬時間、采樣周期、采樣個數(shù)、截止頻率之間中進行參數(shù)調(diào)整，且快捷、有效、精度高。

3)鐵科院7參數(shù)擬合譜的數(shù)據(jù)是基于當(dāng)時的軌檢車測量獲得，其采樣頻率為3.28個/m，有效波長為1～30 m。該公式對計算譜值進行擬合的時候，小波長一端存在一定的誤差。本文計算結(jié)果表明，若要將該7參數(shù)公式推廣用于高速線路計算譜的擬合，還需做進一步的驗證完善工作。

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(編輯蔣學(xué)東)

Study on general track spectrum and the simplified inversealgorithm of Wuhan-Guangzhou passenger special line

CHEN Xianmai1,2, XIANG Shang1, XU Lei3, HE Tianlong1, CHEN Wentao1, JIA Chen1

(1. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China;

2. National Engineering Laboratory of High Speed Railway Construction Technology, Changsha 410075, China;

3. State Key Laboratory of Traction Power , Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

Abstract:In order to meet the requirements of refined management of railway track, the paper described the investigation on power spectrum density calculation and statistical processing for track irregularity inspection data of Wuhan-Guangzhou Passenger Special Line in 2013. The general spectrum structure of the upper-lower boundaries and suggestion spectrum, were established by adopting a new four-parameter fitting formula. Besides, the track irregularity spatial series should be constructed with the requirement of vehicle-track (or vehicle-bridge) system dynamical simulation being taken into consideration. Therefore, based on the domestic inverse algorithms of spectrum density which have been relatively matured, and the consideration of the uniformity in the conversion process of spectrum density in time and frequency domain, this paper proposed a simplified inverse algorithm which can directly simulate any wave-band at any length of the track irregularity spatial series on the basis of acquiring the spectrum density structure and fitting parameters.

Key words:Wuhan-Guangzhou passenger special line; fitting formula; general track spectrum; track irregularity simulation

中圖分類號：U213.2；U211.5

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1672-7029(2016)02-0226-07

通訊作者：陳憲麥(1975-)，男，甘肅會寧人，副教授，從事軌道動力學(xué)、線路評估及養(yǎng)護維修領(lǐng)域的研究;E-mail：xianmaichen@aliyun.com

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(51478482)；武漢鐵路局科技發(fā)展計劃資助項目(13G04，14G06)

收稿日期：2015-05-15