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        線性齊次Q周期系數(shù)系統(tǒng)的Floquet理論

        2016-03-15 01:25:47曲婧佳商玉鳳
        長春師范大學學報 2016年2期

        曲婧佳,商玉鳳

        (空軍航空大學基礎部,吉林長春 130022)

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        線性齊次Q周期系數(shù)系統(tǒng)的Floquet理論

        曲婧佳,商玉鳳

        (空軍航空大學基礎部,吉林長春 130022)

        [摘要]本文介紹了線性齊次周期系數(shù)系統(tǒng)的Floquet理論,在此基礎上進一步推導出線性齊次Q周期系數(shù)系統(tǒng)的Floquet理論。

        [關鍵詞]線性齊次周期系數(shù)系統(tǒng);線性齊次Q周期系數(shù)系統(tǒng);Floquet理論

        1線性齊次周期系數(shù)系統(tǒng)的Floquet理論

        考慮線性齊次周期系數(shù)系統(tǒng)

        (1)

        其中,A(t)是在(-∞,+∞)上連續(xù)且以T(T>0)為周期的n×n矩陣函數(shù),滿足A(t+T)=A(t).

        定理1在變換x=H(t)y之下,系統(tǒng)(1)可化為線性齊次常數(shù)系統(tǒng)

        其中,K=T-1lnD,設Φ(t)是系統(tǒng)(1)的一個基本解矩陣,D為使得Φ(t+T)=Φ(t)D的常值矩陣,H(t)=Φ(t)e-tK.

        2線性齊次Q周期系數(shù)系統(tǒng)的Floquet理論

        下面考慮線性齊次Q周期系數(shù)系統(tǒng)

        (2)

        其中,A(t)是在(-∞,+∞)上連續(xù)的n×n矩陣函數(shù),且滿足A(t+T)Q=QA(t),T>0,Q為可逆常值矩陣.

        定理2設Φ(t)是系統(tǒng)(2)的一個基本解矩陣,則Q-1Φ(t+T)也是系統(tǒng)(2)的基本解矩陣,此外,對于每個Φ(t),存在一個可微且滿足P(t+T)=QP(t)的非奇異矩陣函數(shù)P(t),以及一個常值矩陣R使得

        Φ(t)=P(t)etRQ.

        證明記Ψ(t)=Q-1Φ(t+T),t∈(-∞,+∞).因為

        所以Ψ(t)滿足

        =Q-1QA(t)Q-1Φ(t+T)=A(t)Q-1Φ(t+T)

        =A(t)Ψ(t),t∈(-∞,+∞).

        此外,由于對于一切t∈(-∞,+∞),detΦ(t)≠0,故detΨ(t)=det(Q-1Φ(t+T))≠0,所以Ψ(t)=Q-1

        Φ(t+T)系統(tǒng)(2)的一個基本解矩陣.

        因此,Φ(t)與Ψ(t)只相差一個非奇異矩陣C,Q-1Φ(t+T)=Φ(t)C,且存在一個常值矩陣R使得C=eTRQ,即有

        R=T-1[lnC]Q-1.

        (3)

        P(t)=Φ(t)e-tRQ.

        (4)

        因為Φ(t)是系統(tǒng)(2)的一個基本解矩陣,所以它對一切t∈(-∞,+∞)都是非奇異的和可微的,e-tRQ對于一切t∈(-∞,+∞)也都是非奇異的和可微的,所以P(t)也是非奇異的和可微的.此外

        P(t+T)=Φ(t+T)e-(t+T)RQ=QΦ(t)Ce-(t+T)RQ=QΦ(t)eTRQe-(t+T)RQ=QΦ(t)e-tRQ=QP(t).

        由(4)得到結論

        Φ(t)=P(t)etRQ.

        對于系統(tǒng)(2)有類似定理1的結論.

        定理3系統(tǒng)(2)在變換x=P(t)y之下,可化為線性齊次常數(shù)系統(tǒng)

        (5)

        其中,R和P(t)分別由(3)和(4)給出.

        證明x=P(t)y,兩邊對t求導,得到

        由于x滿足系統(tǒng)(2),故有

        從而

        (6)

        利用(4),并考慮到Φ(t)是系統(tǒng)(2)的一個基本解矩陣,可知

        =A(t)Φ(t)e-tRQ-A(t)Φ(t)e-tRQ+Φ(t)RQe-tRQ

        =Φ(t)e-tRQRQ

        =P(t)RQ.

        (7)

        將(7)代入(6),即得(5).

        [參考文獻]

        [1]陸啟韶,彭臨平,楊卓琴.常微分方程與動力系統(tǒng)[M].北京:北京航空航天大學出版社,2010.

        [2]韓茂安.動力系統(tǒng)的周期解與分支理論[M].北京:科學出版社,2002.

        [3]伍卓群,李勇.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2004.

        The Floquet Theory of Linear Homogeneous Q Periodic Coefficient System

        QU Jing-jia,SHANG Yu-feng

        (Fundamental Department, Aviation University of Air Force, Changchun Jilin 130022, China)

        Abstract:In this paper, we introduced the Floquet theory of linear homogeneous periodic coefficient system, then deduced Floquet theory of linear homogeneous Q periodic coefficient system.

        Key words:linear homogeneous periodic coefficient system;linear homogeneous Q periodic coefficient system; Floquet theory

        [作者簡介]曲婧佳(1986- ),女,講師,碩士,從事常微分方程研究。

        [收稿日期]2015-10-11

        [中圖分類號]O175

        [文獻標識碼]A

        [文章編號]2095-7602(2016)02-0007-02

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