李龍躍， 劉付顯， 趙慧珍

(空軍工程大學防空反導學院， 陜西 西安 710051)

多射擊模式下防御效率分析與計算

李龍躍， 劉付顯， 趙慧珍

(空軍工程大學防空反導學院， 陜西 西安 710051)

針對紅方(防御方)防御藍方(進攻方)目標的射擊戰(zhàn)斗過程，研究了多射擊模式下紅方射彈分配和防御效率計算方法。首先，在“射擊—射擊”策略下，基于給定的射彈數(shù)和目標數(shù)，給出了紅方獲得最大防御效率時射彈分配方法；其次，在“齊射—觀察—齊射”策略下，考慮射擊次數(shù)和齊射彈數(shù)等因素，給出了紅方多次射擊防御效率迭代遞推生成方法；最后，通過實例分析對射彈分配和防御效率計算方法進行了驗證，并對內(nèi)含規(guī)律進行了討論。

射擊模式；齊射—觀察—齊射；防御效率；生成函數(shù)

很多軍事作戰(zhàn)問題可以抽象為紅方(防御方)防御藍方(進攻方)的射擊戰(zhàn)斗問題，如：地空導彈射擊空氣動力目標或彈道目標的防空戰(zhàn)斗過程，或高炮對空射擊、陸軍坦克交戰(zhàn)和水面艦艇編隊防空等類似的防御性對抗過程[1-2]。防御效率可以理解為紅方對達成防御戰(zhàn)斗目標程度的度量，與單發(fā)殺傷概率、可射擊次數(shù)和藍紅方攻防實力等因素密切相關(guān)。射擊模式直接影響防御效率，本文設(shè)定射擊模式包括2層內(nèi)容：一是單次射擊攔截彈數(shù)量，如對目標進行單發(fā)射擊或多發(fā)齊射；二是射擊策略，如選擇采用“射擊—射擊”策略或“射擊—觀察—射擊”策略。由于不同射擊模式對紅方防御效率有較大影響，因此研究射擊策略、射彈數(shù)量、殺傷概率、射擊次數(shù)、目標類型等與防御效率之間的內(nèi)在影響規(guī)律至關(guān)重要。文獻[3-9]作者等對相關(guān)問題進行了研究，但這些研究將“射擊—射擊”策略或“射擊—觀察—射擊”策略分開，且以單因素研究為主，對“齊射—觀察—齊射”策略的研究不充分。針對以往研究的局限性，筆者在多種射擊模式下研究紅方射彈分配和防御效率計算方法，旨在為一類藍紅射擊對抗問題在射擊模式選擇和防御效率計算上提供借鑒。

1 “射擊—射擊”策略

在“射擊—射擊”策略下，假設(shè)紅方共有N枚射彈，若藍方目標之間無差別，令紅方單發(fā)殺傷概率為p，則防御效率(EffectivenessofDefense,ED)E=1-(1-p)N。若藍方目標共有k種類型，紅方對第i種類型藍方目標的單發(fā)殺傷概率為pi(i=1,2,…,k)，則ED可記為

(1)

(2)

式(2)兩邊求微分后，得到

以射擊3類藍方目標(k=3)為例，可得到以下方程：

-ln(1-p1)(1-p1)n1[1-(1-p1)n1]-1E=λ。

(3)

-ln(1-p2)(1-p2)n2[1-(1-p2)n2]-1E=λ，

(4)

-ln(1-p3)(1-p3)n3[1-(1-p3)n3]-1E=λ。

(5)

式(3)除以(4)得到

(6)

解式(6)可得

推廣可得[10]

(7)

其中i=2,3,…,k-1。由式(7)可以看出：在已知殺傷概率的情況下，只需要確定n1便可以計算得出ni。

式(5)可以寫成

-ln(1-p3)(1-p3)N-n1-n2[1-(1-p3)N-n1-n2]-1E=λ，

(8)

式(3)除以式(8)可得

F(n1)=ln(1-p1)(1-p1)n1[1-(1-p3)N-n1-n2]-

ln(1-p3)(1-p3)N-n1-n2[1-(1-p1)n1]=0，

(9)

式(9)中n2可以通過式(7)求得，因此式(9)中的未知量只有n1，由此可以解出n1。將式(9)進行推廣得到

F(n1)=ln(1-p1)(1-p1)n1[1-(1-pk)N-n1-n2-…-nk-1]-

ln(1-pk)(1-pk)N-n1-n2-…-nk-1[1-(1-p1)n1]=0，

當00時,有

(10)

由式(10)可見：0

2 “齊射—觀察—齊射”策略

將對t個目標進行i次射擊后，i個目標突防成功的概率表示為

(11)

(12)

為求得“齊射—觀察—齊射”策略下的最大ED，根據(jù)遞推關(guān)系建立動態(tài)規(guī)劃模型：

(13)

式中：i=0,1,…,n，邊界條件為

E(n,t=0,s)=1，

(14)

(15)

由式(14)、(15)可見：若藍方目標數(shù)量為0，則紅方ED為100%；若藍方目標數(shù)量不為0，但射擊次數(shù)為0，則紅方ED為0。式(12)中的γ為變量，為方便研究，假定“齊射—觀察—齊射”策略下的γ是定值，即紅方每次對目標齊射的射彈數(shù)γsalvo是一定的，則有nsalvoγsalvo=N,其中γsalvo≥0，nsalvo為可齊射的次數(shù)。定義剩余s次射擊機會、射擊t個目標的殺傷成功概率分布P(0≤x≤t)可由遞推生成函數(shù)

Gs(nsalvo,t)=

(16)

表示，式中：1次齊射的失敗概率qsalvo=(1-p)γsalvo，成功概率psalvo=1-(1-p)γsalvo；

剩余射擊次數(shù)的遞歸算子定義為

如果用P(x=j)表示殺傷j個目標的概率，則有

射擊機會只有1次(s=1)時，根據(jù)式(16)有

G1(nsalvo,t)=(qsalvo+psalvo)min(nsalvo,t)；

(17)

射擊機會有2次(s=2)且nsalvo>t時，第2次齊射的生成函數(shù)為

b(t,qsalvo)(α1)；

(18)

(19)

式中：α1、α2分別為第1、2次射擊后突防成功的目標數(shù)量。由此可以推廣射擊機會有s次且nsalvo>t時，第s次齊射的生成函數(shù)為

psalvo)βs-1b(βs-2,qsalvo)(αs-1)，

(20)

式中：β0=t

(21)

式中：cij為相應(yīng)的多項式系數(shù)。

3 實例仿真

紅方共有6枚射彈，藍方來襲目標共有2個，紅方對2個目標的殺傷概率分別為0.6和0.4。在“射擊—射擊”策略下，圖1為ED隨射擊目標1的攔截彈數(shù)量的變化曲線，可以看出：在n1=2.55時ED最大，且僅有一個最大值，取整后結(jié)果為向2個目標分別射擊3枚彈。圖2為F(n1)隨射擊目標1的攔截彈數(shù)量的變化曲線，可以看出：F(n1)為單調(diào)遞增函數(shù)，在n1=2.55時F(n1)=0?？梢姡簣D1、2求得的n1結(jié)果一致，驗證了采用第1節(jié)方法求解n1的魯棒性。

圖1 ED隨射擊目標1的攔截彈數(shù)量的變化曲線

圖2 F(n1)隨射擊目標1的攔截彈數(shù)量的變化曲線

在“齊射—觀察—齊射”策略下，當目標無差別時，假設(shè)藍方目標有3個，紅方最多有6次齊射機會，即nsalvo=6，紅方剩余可射擊次數(shù)s=3。圖3為在“齊射—觀察—齊射”策略下，紅方單發(fā)殺傷概率、齊射次數(shù)、齊射彈數(shù)和防御效率之間的關(guān)系仿真結(jié)果。

圖3 “齊射—觀察—齊射”策略下仿真結(jié)果

從圖1-3可以看出：在紅方有多次射擊機會的前提下，“射擊—觀察—射擊”策略優(yōu)于“射擊—射擊”策略；在“射擊—觀察—射擊”策略下，選擇多次、多發(fā)齊射能有效提高防御效率。原因在于：如果給定紅方射彈數(shù)和藍方目標數(shù)，選擇“射擊—射擊”策略時，紅方防御效率是凹函數(shù)[10]，具有一個極大值，可直接根據(jù)二分法求出射彈的分配方案；選擇“齊射—觀察—齊射”策略時，紅方的防御效率隨著射擊次數(shù)和齊射彈數(shù)的增加而單調(diào)遞增。

4 結(jié)論

在多種射擊模式下，筆者基于數(shù)學歸納法給出了“射擊—射擊”策略下紅方射彈分配方法和“齊射—觀察—齊射”策略下紅方防御效率的迭代遞推計算方法，結(jié)果表明：上述方法能輔助理解類似問題中射擊策略、射彈數(shù)量、殺傷概率、射擊次數(shù)等與防御效率之間的關(guān)系，且計算簡單、結(jié)果可靠，具有工程應(yīng)用推廣價值。然而，紅方齊射彈數(shù)和射擊次數(shù)不能無限增加，下一步將結(jié)合成本、資源等因素研究紅方射擊模式優(yōu)化問題。

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(責任編輯：尚彩娟)

Analysis and Calculation of Defense Efficiency in Multiple Shooting Mode

LI Long-yue, LIU Fu-xian, ZHAO Hui-zhen

(Air and Missile Defense College, Air Force Engineering University, Xi’an 710051, China)

Considering the shooting process of the red (defensive side) shooting the blue (offensive side), a calculation method of interceptor allocation and Effectiveness of Defense (ED) in multishooting mode is proposed. Firstly, for shoot-shoot strategy, the interceptors’allocation method to gain maximum effectiveness of defense is proposed under given number of red interceptors and blue targets. Secondly, for salvo-look-salvo strategy, in consideration of the factors such as shooting times and salvo size, the iterative recursive generation method is given for multi shooting ED of the red. The simulation examples are carried out to verify the method of interceptor allocation and ED, and the inherent law is discussed.

shooting mode; salvo-look-salvo; effectiveness of defense; generating function

1672-1497(2016)05-0050-04

2016-07-18

全軍軍事類研究生課題

李龍躍(1988-)，男，博士研究生。

E83

A

10.3969/j.issn.1672-1497.2016.05.010