陳磊

摘 要： 為幫助高中生建立連接體運動的模型，作者歸類了常見的運動實例運用整體法進行探討研究。最終得到了處理有相對運動的連接體問題，無論加速度是否相同都可以使用整體法解題。

關鍵詞： 連接體 相對運動 整體法

動態(tài)平衡是指通過控制某些物理量，使物體的形態(tài)發(fā)生緩慢變化，而在這個過程中物體又始終處于一系列的平衡狀態(tài)。在此，筆者對解決這類問題的常用方法進行指導。

一、矢量三角形法

解法指導：矢量三角形法適用于物體所受的三個力中，有一力的大小、方向均不變（通常為重力，也可以是其他力），另一個力的大小變化、方向不變，第三個力則大小、方向均發(fā)生變化的問題，對變化過程的動態(tài)平衡進行的定性分析。

二、相似三角形

解法指導：對受三個力作用而平衡的物體，先正確分析物體的受力，畫出受力分析圖，再尋找與力的三角形相似的幾何三角形，利用相似三角形的性質，建立比例關系，把力的問題轉化為幾何三角形邊長的大小變化問題進行討論。

如果在對力利用平行四邊形定則（或三角形定則）運算的過程中，力三角形與幾何三角形相似，則可根據相似三角形對應的邊成比例等性質求解。

三、數學函數解析法

例3：如圖3-1所示，置于固定斜面上的物體A受到平行于斜面向下的力F作用保持靜止，若力F大小不變，將力F在豎直平面內由沿斜面向下緩慢的轉到沿斜面向上（轉動范圍如圖中虛線所示）。在F轉動的過程中，物體始終保持靜止，在此過程中物體與斜面間的（？搖？搖）

A.彈力可能先增大后減小

B.彈力一定先減小后增大

C.摩擦力可能先減小后增大

D.摩擦力一定一直減小

解析：由于力F的方向是變化的，我們可以分情況討論：

1.當力F斜向下與斜面的夾角為θ（θ≤90°）時，對物體進行受力分析，建立直角坐標系，如圖3-2所示，分別在x、y軸上列平衡方程為Fcosθ+mgsinα=f，N+Fsinθ=mgcosα，當θ增大時，物體與斜面的彈力減小，物體與斜面的摩擦力減小。

2.當力F斜向上與斜面的夾角為θ（θ≤90°）時，由于F與mgsinα大小關系不確定，需要再次分情況討論：

①當F≤mgsinα時，f的方向一直向上，對物體進行受力分析，建立直角坐標系，如圖3-3所示，分別在x、y軸上列平衡方程為Fcosθ+f=mgsinα，N+Fsinθ=mgcosα，當θ從90°逐漸減小時，物體與斜面的彈力增大，物體與斜面的摩擦力一定一直減小。

②當F>mgsinα時，f的方向依然不確定，還需繼續(xù)討論。若力F斜向上與斜面的夾角為β時有Fcosβ=mgsinα，此時f不存在，對物體進行受力分析如圖3-4所示。則

（I）當β<θ<90°時，f的方向一直向上，對物體進行受力分析，建立直角坐標系，如圖3-5所示，分別在x、y軸上列平衡方程為Fcosθ+f=mgsinα，N+Fsinθ=mgcosα，當θ從90°逐漸減小到β時，物體與斜面的彈力增大，物體與斜面的摩擦力減小。

（II）當0≤θ≤β時，f的方向一直向下，對物體進行受力分析，建立直角坐標系，如圖3-6所示，分別在X、Y軸上列平衡方程為Fcosθ=mgsinα+f，N+Fsinθ=mgcosα，當θ從β逐漸減小為0時，物體與斜面的彈力增大，物體與斜面的摩擦力增大。

故此過程中物體與斜面間的彈力一定先減小后增大；當F≤mgsinα時，物體與斜面的摩擦力一定一直減?。划擣>mgsinα時，物體與斜面的摩擦力先減小為零后反向增大。所以B、C正確。

解法指導：適用于物體所受力中，有一個力大小、方向都變，有一力大小變、方向不變（或大小不變、方向變），在變化過程中，有兩個力的方向始終保持垂直，且其中一個力的大小、方向均不變的問題，此時，可利用數學函數解析的方法求出所要找的答案。

我們在處理力學中連接體問題時，經常用到整體法。即將系統(tǒng)視為一個整體，看整體受力與加速度的關系。傳統(tǒng)的觀點是只有連接體內各個物體運動情況完全一樣或者說相對靜止時，才可以將連接體視為一個整體。

題型一：有相同加速度，無相對運動

思考：由例1，我們可以得到啟發(fā)，能用整體法解題的根本原因是連接體有相同的加速度，那如果連接體內物體均無加速度則是不是也可以利用整體法解題？

題型二：無加速度，有相對運動

例2：如圖2所示，物體A、B質量分別為m和3m，A、B間滑動摩擦因數和B與水平地面間滑動摩擦因數均為μ，在水平拉力F作用下使A、B相對勻速滑動，求F的大小？

解析：題中A、B兩物體均做勻速運動，它們的加速度都是0，也可以認為它們具有相同的加速度。與例1所不同的是它們有相對運動，首先分析A的受力如圖3所示：

則繩的拉力T=mmg

以整體為研究對象，受力分析如圖4所示：

其中Fm=4mmg

所以F=Fm+2T=6mmg

例3：如圖5所示，質量為M的楔形物塊靜止在水平地面上，其傾角為a，斜面上有一質量為m的小物塊，小物塊與斜面之間存在摩擦力。用恒力F沿斜面向上拉小物塊，使之勻速上滑，在小物塊運動的過程中，楔形物塊始終保持靜止。求地面對楔形物塊的支持力和摩擦力。

題型三：無相同加速度，有相對運動

例4：如圖7質量為M的楔形木塊靜止在水平面上，傾斜角為a的斜面上，一質量為m的物體正以加速度a下滑，求水平面對楔形木塊的彈力F■和摩擦力f。

在水平方向上楔形木塊是否受力，若受力方向如何？還需通過加速度判斷。因為連接體中有一個物體其加速度有一向左的分量，所以整體必定受到一向左的力，而這個力只可能由地面施加。即地面對楔形木塊的摩擦力

例5：如圖10所示質量為M的木板放在傾角為θ的光滑固定斜面上，一個質量為m的人站在木板上，要保證木板相對斜面靜止，則人必須怎樣運動？

解析：本題中斜面固定，我們把人與木板視為一個整體，既然斜面光滑，那么斜面對木板只有彈力而無摩擦力，整體受力如圖11所示。

根據牛頓第二定律得（M+m）gsinq=Ma+ma

由題意可知木板相對斜面是靜止的，所以其加速度為0，那么由上式可得gsinq方向沿斜面向下

拓展延伸：由題型一和題型三，我們進一步思考，若連接體內各物體分別以各自的且并不相同的加速度運動，是否也可以用整體法解呢？

這類問題較復雜，高中階段不作要求，有興趣的讀者可以展開討論。

可見，處理連接體問題，并非只有相對靜止才可以使用整體法，有相對運動甚至加速度不相同的連接體都可以使用整體法解題。