解析球反射揭示虹之謎

◇遼寧鄭金

當(dāng)光線射入透明球體時,先在其界面發(fā)生折射,然后一部分光線在界面內(nèi)側(cè)發(fā)生反射,再次遇到界面時出射光線在界面發(fā)生色散.當(dāng)太陽光照射雨后的云層時,形成彩虹.應(yīng)用幾何光學(xué)知識和數(shù)學(xué)知識可解答有關(guān)問題,揭示彩虹形成的原理.

1球體反射問題

圖1

圖2

(1) 在圖上大致畫出光線在球內(nèi)的路徑和方向.

(2) 求入射光與出射光之間的夾角α.

(3) 如果入射的是一束白光,透明球的色散情況與玻璃相仿,問哪種顏色光的α角最大,哪種顏色光的α角最小?

圖3

(1) 光線從入射到出射的光路如圖3所示.入射光線AB經(jīng)玻璃折射后,折射光線為BC,又經(jīng)球內(nèi)壁反射后從D點射出,折射光線為DE,OB、OD為球的半徑r.

(3) 由上可知,n越小,sinr越大,α角越大,所以紅光的夾角α最大,紫光的夾角α最小.

圖4

例2雨過天晴,人們?？吹教炜罩谐霈F(xiàn)彩虹,它是由陽光照射到空中彌漫的水珠上時出現(xiàn)的現(xiàn)象.如圖4所示，一束細(xì)光線射入水珠,水珠可視為一個半徑為R的球,球心O到入射光線的距離為d,水的折射率為n.求：這束光線從射向水珠經(jīng)一次反射到射出水珠的過程中,每一次偏轉(zhuǎn)的角度.

圖5

δ=2δ1+δ2=π+2i-4r=180°+90°-120°=150°.

要特別注意光線在水滴內(nèi)不能發(fā)生全反射,而是部分反射.

2球體色散問題

例3雨后太陽光入射到水滴中發(fā)生色散而形成彩虹.設(shè)水滴為球形,圖6中的圓代表水滴過球心的截面,a、b代表2條不同顏色的出射光線.以下說法正確的是().

圖6

Aa光的頻率比b光小;

B在水滴中,a光的傳播速度比b光小;

Ca光在P處發(fā)生了全反射;

D射出水滴的光線一定與入射光線平行

圖7

例4(2015年重慶卷) 虹和霓是太陽光在水珠內(nèi)分別經(jīng)過1次和2次反射后出射而形成的,可用白光照射玻璃球來說明.2束平行白光照射到透明玻璃球后,在水平的白色桌面上會形成MN和PQ兩條彩色光帶,光路如圖7所示.M、N、P、Q點的顏色分別為().

A紫、紅、紅、紫;B紅、紫、紅、紫;

C紅、紫、紫、紅;D紫、紅、紫、紅

白光中的可見光譜從紅到紫排列,波長漸小,頻率漸大,則對同一介質(zhì)的折射率漸大,即n紫>n紅.由折射定律可知紫光的折射角較大，由光路可知，紫光將到達(dá)M點和Q點,而紅光到達(dá)N點和P點,故選項A正確.

3虹的形成原理

當(dāng)太陽的平行光線照射到水滴上時,各處的入射角不同,因此在水滴內(nèi)經(jīng)折射、反射后射出的光線不平行,出射方向與入射方向之間的夾角稱為偏向角,若光線入射角不同,則出射角不同,可以證明,有一條光線的偏向角最小,稱為笛卡兒光線.

圖8

這表明,當(dāng)入射角發(fā)生變化時,偏向角不能小于δmin=π+2(imin-2rmin),那么在笛卡兒光線附近的光線,由于折射,將趨近于笛卡兒光線的某一側(cè),因為這時入射角在一定范圍內(nèi)的變化相應(yīng)于偏向角的變化最小,即光線的偏向角大致與笛卡兒光線接近,此時在笛卡兒光線附近的光能量較集中,光強(qiáng)度較大,正是沿著該方向才能看到虹的一種色光,因此在研究彩虹的形成時,關(guān)鍵是確定這條光線的位置.

對于波長為656.3 nm的紅光,水的折射率為n=1.3318,可知最小偏向角為δmin=137°42′,則θmax=180°-δmin=42°18′.

該角度稱為紅光的虹角或角半徑,這樣的虹稱為42°虹.這個角度是指被觀測到的光線與太陽光線的夾角,而不是與地平線的夾角.只有當(dāng)太陽光線水平時,才表示與地平線的夾角.對于紫光,n=1.3435,則θmax=40°36′.所以紅光的虹角為42°,紫光的虹角為40°,其他顏色的光的相應(yīng)角度介于二者之間.可知虹的寬度張角為1°42′,張角的2條邊對應(yīng)不同顏色的光線,即上邊對應(yīng)紅色光線,下邊對應(yīng)紫色光線,因此從彩虹的外側(cè)到內(nèi)側(cè)顏色依次為紅、橙、黃、綠、藍(lán)、青、紫.

圖9

雨過天晴,當(dāng)太陽高度比較低時,我們背對太陽,在雨幕背景的天空中,有時可看見彩虹.它是由大量水珠對日光的折射、反射、再折射而形成的.由于云層水滴很遠(yuǎn),一個水滴的出射光線經(jīng)過色散后到達(dá)觀察者時已顯得非常發(fā)散,盡管從每一水滴上出射的光線中含有各種色光,但在某一位置的觀察者從一個水滴上只能看到一種顏色的光,而且只能從較高位置的水滴上看見紅光,從較低位置的水滴上看見紫光.如圖9所示,設(shè)想太陽光平行于地平線照射遠(yuǎn)方云層(相當(dāng)于背景較暗的屏幕),你背對太陽,當(dāng)發(fā)現(xiàn)雨后的天空出現(xiàn)彩虹時,紅光來自對你的眼睛仰角為42°的半圓周上的所有小水滴的色散;同樣,紫光來自仰角為40°的半圓周的小水滴的色散,在2圓弧之間能看到其他顏色的光.凡是在一個角半徑為42°的圓錐曲面上的水滴,都對彩虹的形成有貢獻(xiàn).若太陽從地平線上逐漸升高,則虹的高度將下降,其可見部分將減小,因此當(dāng)太陽光線與地平線的夾角大于42°時,將看不到虹了,所以通常在雨后的上午或傍晚能看到虹.

(作者單位：遼寧省凌源市職教中心)