2015年新課標高考概率與統(tǒng)計試題分類評析

◇北京呂大軍

統(tǒng)計與概率都是研究隨機現(xiàn)象的學(xué)科.統(tǒng)計側(cè)重于從數(shù)據(jù)分析來刻畫隨機現(xiàn)象,概率側(cè)重于建立理論模型來刻畫隨機現(xiàn)象.

概率統(tǒng)計學(xué)的基本知識和思想方法是現(xiàn)代公民必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng).在現(xiàn)代信息社會中,統(tǒng)計與概率在日常生活、社會經(jīng)濟及各學(xué)科的應(yīng)用日益廣泛,使學(xué)生具備基本的統(tǒng)計與概率的思想、方法和知識解決有關(guān)應(yīng)用問題,無疑是高考考查的重點.

統(tǒng)計內(nèi)容考試要求是,理解隨機抽樣的意義與方法,會作出各種統(tǒng)計圖表并進行分析;理解用樣本估計總體的思想,會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征;會利用散點圖認識變量間的相關(guān)關(guān)系;了解最小二乘法的思想,能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程;了解一些常見的統(tǒng)計方法,了解獨立性檢驗(只要求2×2列聯(lián)表)的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用.

概率內(nèi)容考試要求是,了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性,理解頻率與概率的區(qū)別;了解2個互斥事件的概率加法公式,了解條件概率和2個事件相互獨立的概念,理解古典概型及其概率計算公式,了解幾何概型的意義;理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念,理解超幾何分布、n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布,理解離散型隨機變量均值、方差的概念,能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差.

1對統(tǒng)計相關(guān)知識的考查

這類試題一般以實際問題為背景,考查抽樣方法、統(tǒng)計圖表、用樣本估計總體、線性回歸、相關(guān)性檢驗等統(tǒng)計基礎(chǔ)知識,考查考生收集、整理分析數(shù)據(jù),做出推斷與決策的能力.

例1(課標Ⅱ卷) 根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量(單位:萬t)柱形圖.以下結(jié)論不正確的是().

圖1

A逐年比較,2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著;

B2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效;

C2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢;

D2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)

由柱形圖得,2006年以來,我國二氧化硫排放量呈下降趨勢,故年排放量與年份負相關(guān),故選D.

本題考查考生通過讀圖獲取信息、利用統(tǒng)計相關(guān)知識進行分析并得出正確結(jié)論的能力.

例2(安徽卷)若樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10的標準差為8,則數(shù)據(jù)2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的標準差為().

A8;B15;C16;D32

本題主要考查樣本的方差與標準差公式與應(yīng)用,要求學(xué)生會靈活利用公式進行計算與推理.

2對古典概型與幾何概型的考查

這類試題考查必然事件、隨機事件、基本事件、等可能性等概率基本概念;古典概型是考查的重點,理科會結(jié)合計數(shù)原理的相關(guān)知識綜合考查;幾何概型試題一般屬于容易題,也可能結(jié)合其他章節(jié)的相關(guān)知識進行綜合考查.

例3(廣東卷) 袋中共有15個除了顏色外完全相同的球,其中有10個白球,5個紅球．從袋中任取2個球,所取的2個球中恰有1個白球、1個紅球的概率為().

本題考查計數(shù)原理的相關(guān)知識、古典概率的計算,屬于容易題.

例4(陜西卷)設(shè)復(fù)數(shù)z=(x-1)+yi(x、y∈R),若|z|≤1,則y≥x的概率為().

本題綜合復(fù)數(shù)、不等式的相關(guān)知識,考查幾何概型的計算,體現(xiàn)各知識間的交會.

3對離散型隨機變量及其分布列的考查

這類試題主要考查離散型隨機變量及其分布列,考查離散型隨機變量的均值(數(shù)學(xué)期望)與方差.試題一般以實際問題為背景,事件與概率、計數(shù)原理等知識都可融入這類試題中,因此試題的綜合性較強.讀懂題目,理解實際問題中蘊含的數(shù)學(xué)意義是解題的關(guān)鍵.

例5(新課標Ⅰ卷)投籃測試中,每人投3次,至少投中2次才能通過測試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨立,則該同學(xué)通過測試的概率為().

A0.648;B0.432;C0.36;D0.312

此類題考查獨立重復(fù)試驗、互斥事件概率公式,要求學(xué)生熟知幾種基本的概率模型.

例6(廣東卷)已知隨機變量X服從二項分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,則p=________.

依題意可得E(X)=np=30,且D(X)=np(1-p)=20,解得p=1/3.

本題考查二項分布的性質(zhì),重點考查二項分布中隨機變量的均值與方差公式.

例7(福建卷)某銀行規(guī)定,一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤,該銀行卡將被鎖定,小王到銀行取錢時,發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼,但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一,小王決定從中不重復(fù)地隨機選擇1個進行嘗試.若密碼正確,則結(jié)束嘗試;否則繼續(xù)嘗試,直至該銀行卡被鎖定.

(1) 求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率;

(2) 設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(2) 依題意可得,X所有可能的取值是1、2、3. 又

所以X的分布列為

X123P161623

在求基本事件的個數(shù)時,要準確理解基本事件的構(gòu)成,這樣才能保證所求事件包含的基本事件數(shù)的求法與基本事件總數(shù)的求法的一致性.

4對統(tǒng)計與概率的創(chuàng)新性問題的考查

統(tǒng)計與概率是應(yīng)用數(shù)學(xué),要突出應(yīng)用性.設(shè)計新穎的實際背景、提出有具體意義的實際問題(不是直接求均值、求方差等),是創(chuàng)新問題設(shè)計的出發(fā)點;與其他數(shù)學(xué)知識相結(jié)合突出其應(yīng)用性,加深對統(tǒng)計與概率的理解,也是解答問題的關(guān)鍵點.

例8(北京卷)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1 L汽油行駛的里程,下圖描述了甲、乙、丙3輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是().

圖2

A消耗1L汽油,乙車最多可行駛5km;

B以相同速度行駛相同路程,3輛車中,甲車消耗汽油最多;

C甲車以80km·h-1的速度行駛1h,消耗10L汽油;

D某城市機動車最高限速80km·h-1,相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油

由題目中給出的“燃油效率”的定義, 乙車消耗1L汽油,最多行駛的路程為乙車圖象最高點的縱坐標值, 其明顯大于5, 故選項A錯誤; 以相同的速度行駛相同的路程, 甲燃油效率最高,所以甲車最省油,故選項B錯誤;C中甲車以80km·h-1的速度行駛1h,甲車每消耗1L汽油行駛的里程10km,行駛80km,消耗8L汽油,故選項C錯誤;某城市機動車最高限速80km·h-1, 由于丙比乙的燃油效率高,相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油,故選D.

本題考查了考生對統(tǒng)計圖表的閱讀理解能力. 要求考生會提取信息, 并利用“燃油效率”這個新定義進行數(shù)據(jù)加工,從而得出正確的結(jié)論.在統(tǒng)計中,要注重考查常用的數(shù)據(jù)處理方法.

例9(安徽卷) 已知2件次品和3件正品放在一起,現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分,每次隨機檢測1件產(chǎn)品,檢測后不放回,直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束.

(1) 求第1次檢測出的是次品且第2次檢測出的是正品的概率.

(2) 已知每檢測1件產(chǎn)品需要費用100元,設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位:元),求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).

解法1(1) 設(shè)“第1次檢查出的是次品且第2次檢測出的是正品”為事件A，得

(2)X的可能取值為200、300、400. 所以

所以X的分布列為

X200300400P11031035

解法2設(shè)Ai表示“第i次取到正品”.

(1) 設(shè)“第1次檢查出的是次品且第2次檢測出的是正品”為事件A. 得出

(2)X的可能取值為200、300、400.所以

以下同解法1.

概率的綜合問題常從實際問題出發(fā),要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成,看復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的事件的和事件，還是能轉(zhuǎn)化為幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件;要明確隨機變量可能取哪些值,結(jié)合事件特點選取恰當(dāng)?shù)姆椒ㄓ嬎氵@些可能取值的概率值.

(作者單位：北京宏志中學(xué))