于金青 鄧 碩

（1.石家莊郵電職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，河北 石家莊050021；2.河北地質(zhì)大學(xué)數(shù)理學(xué)院，河北 石家莊050031）

數(shù)學(xué)史融入定積分概念的教學(xué)案例

于金青1鄧 碩2

（1.石家莊郵電職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，河北 石家莊050021；2.河北地質(zhì)大學(xué)數(shù)理學(xué)院，河北 石家莊050031）

定積分是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的工具，能否把握定積分的思想直接影響后期定積分的應(yīng)用。本文將數(shù)學(xué)史融入到定積分概念的教學(xué)中，設(shè)計(jì)具體的教學(xué)方案，使得學(xué)生能夠理解其中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，方便以后的應(yīng)用。

定積分；分割；近似；求和；取極限

16、17世紀(jì)，天文學(xué)、光學(xué)的發(fā)展，航海的需要，礦山的開發(fā)，火藥、槍炮的制作提出了一系列物理和數(shù)學(xué)問(wèn)題[1]。例如面積和變速直線運(yùn)動(dòng)的路程，當(dāng)時(shí)直線形的面積不難求出，但曲線圍成的面積就比較困難，如行星的矢徑掃過(guò)的面積，同樣，勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程容易求出，而變速直線運(yùn)動(dòng)的路程不易求出。“無(wú)限細(xì)分、無(wú)限求和”的積分思想在古代就已經(jīng)萌芽，最早可以追溯到希臘由阿基米德等人提出的計(jì)算面積和體積的方法。后來(lái)也逐步得到了一系列求面積（積分）的重要結(jié)果，但這些結(jié)果都是孤立的、不連貫的[2]。直到17世紀(jì)，牛頓和萊布尼茲在許多數(shù)學(xué)家工作的基礎(chǔ)上和科學(xué)積累的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)了微分與積分互為逆運(yùn)算，從而創(chuàng)立了微積分。

在講授定積分概念時(shí)，結(jié)合數(shù)學(xué)史，用當(dāng)時(shí)求面積和路程的方法求曲邊梯形的面積和變速運(yùn)動(dòng)的路程[3]，從而引入定積分的概念。

1 具體問(wèn)題

1．1 曲邊梯形的面積

先介紹曲邊梯形的數(shù)學(xué)定義：由連續(xù)曲線y=f（x）（f（x）≥0）、x軸與兩條直線x=a、x=b所圍成的圖形是曲邊梯形。接下來(lái)舉一個(gè)具體的例子：由連續(xù)曲線y=x2、x軸與兩條直線x=0、x=1所圍成的曲邊梯形。

當(dāng)時(shí)人們并沒(méi)有像現(xiàn)在這樣的定積分工具，就無(wú)法套用現(xiàn)成的面積公式求出精確值。那么如何求由連續(xù)曲線y=x2、x軸與兩條直線x= 0、x=1所圍成的曲邊梯形的面積？沒(méi)有現(xiàn)成的公式，那么能否退一步，先求出它的近似值？當(dāng)時(shí)可以用的公式是矩形的面積公式，是否可以用矩形近似表示曲邊梯形呢？整個(gè)的曲邊梯形不能用矩形近似表示，那么就把曲邊梯形切分。

具體來(lái)說(shuō)，當(dāng)時(shí)的人們是按照下面的步驟進(jìn)行求解的。

分割：

對(duì)于上面給的具體的曲邊梯形，在區(qū)間[0,1]內(nèi)插入n個(gè)等分點(diǎn)0==1，這樣就把區(qū)間[0，1]分成了n個(gè)小區(qū)間每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為，從而曲邊梯形分成了n個(gè)小窄曲邊梯形

近似：

求和：

曲邊梯形面積的近似值為：

接下來(lái)，用多媒體展示當(dāng)分割無(wú)限加細(xì)時(shí)，矩形面積的和無(wú)限接近曲邊梯形面積的精確值。也就是說(shuō)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，近似值就無(wú)限接近于精確值，這正好就是極限概念的敘述。因此要想得到精確值，就得對(duì)近似值求極限。

取極限：

因此，曲邊梯形面積的精確值為：

1.2 變速運(yùn)動(dòng)的路程

設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度v=v（t）=t2+2是時(shí)間間隔[0，1]上t的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程s。

同樣，當(dāng)時(shí)人們并沒(méi)有像現(xiàn)在這樣的定積分工具，無(wú)法套用現(xiàn)成的公式求出精確值。那么能否退一步，先求出它的近似值？當(dāng)時(shí)可以用的是勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式，是否可以用勻速運(yùn)動(dòng)近似表示變速運(yùn)動(dòng)呢？整個(gè)的變速運(yùn)動(dòng)的路程不能用勻速運(yùn)動(dòng)的路程近似表示，那么就把變速運(yùn)動(dòng)的路程切分。

具體來(lái)說(shuō)，當(dāng)時(shí)的人們是按照下面的步驟進(jìn)行求解的。

分割：

對(duì)于上面給的具體的變速運(yùn)動(dòng)，在區(qū)間[0,1]內(nèi)插入n個(gè)等分點(diǎn)，=1，這樣就把區(qū)間[0,1]分成了n個(gè)小區(qū)間每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為，從而變速運(yùn)動(dòng)的路程分成了n個(gè)變速運(yùn)動(dòng)的路程

近似：

求和：

變速運(yùn)動(dòng)路程的近似值為：

當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，近似值就無(wú)限接近于精確值，即：近似值的極限就是精確值。

取極限：

因此，變速直線運(yùn)動(dòng)的路程的精確值為：

2 一般問(wèn)題

2.1 一般曲邊梯形面積的求法

分割：

針對(duì)一般的曲邊梯形，在區(qū)間[a,b]內(nèi)插入n個(gè)等分點(diǎn)，a=a+=b，這樣就把區(qū)間[a,b]分成了n個(gè)小區(qū)間每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為，從而曲邊梯形分成了n個(gè)小窄曲邊梯形

近似：

求和：

曲邊梯形面積的近似值為：

同樣，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，近似值就無(wú)限接近于精確值，這正好就是極限概念的敘述。因此要想得到精確值，就得對(duì)近似值求極限。

取極限：

2.2 一般的變速直線運(yùn)動(dòng)路程的求法

設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度v=v（t）是時(shí)間間隔[T1，T2]上t的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程s。

分割：

針對(duì)一般的變速運(yùn)動(dòng)的路程，在區(qū)間[T1，T2]內(nèi)插入n個(gè)等分點(diǎn)，，這樣就把區(qū)間[T1，T2]分成了 n個(gè)小區(qū)間每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為△ti=，從而變速運(yùn)動(dòng)的路程分成了n個(gè)變速運(yùn)動(dòng)的路程

近似：

求和：

變速運(yùn)動(dòng)路程的近似值為：

同樣，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，近似值就無(wú)限接近于精確值。因此要想得到精確值，就得對(duì)近似值求極限。

取極限：

3 定積分的概念

很多問(wèn)題都與上述兩個(gè)問(wèn)題存在著共同之處：解決問(wèn)題的方法步驟相同，所求量的極限結(jié)構(gòu)式相同。這樣就逐漸產(chǎn)生了定積分的一般概念：假設(shè)f（x）在[a，b]上有界，分割[a，b]：a=x0＜x1＜x2＜…＜xn=b，（n=2,3,…），其中（i=1，2，3，…，n）.在每個(gè)小區(qū)間[xi-1，xi]任取一點(diǎn)ξi，構(gòu)造和式，如果當(dāng)n→∞時(shí)，下述極限存則f（x）稱在[a，b]上的積分存在，并稱這個(gè)極限值為f（x）在[a，b]上的定積分。記為：

可以看出，上述定積分的定義與現(xiàn)行教科書中的定義不一樣。定積分概念有兩個(gè)任意，實(shí)際上，可以將區(qū)間分割方式的任意性要求取消，改為對(duì)區(qū)間進(jìn)行等分[4]。事實(shí)上，上述定義與現(xiàn)行教科書中的黎曼積分定義是等價(jià)的。

［1］李文林．?dāng)?shù)學(xué)史概論(第二版)[M]．高等教育出版社，2003.

［2］[美]莫里斯·克萊因．古今數(shù)學(xué)思想（第二冊(cè)）[M]．上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,2009．

［3］[美]H.伊夫斯.數(shù)學(xué)史概論[M]．歐陽(yáng)絳,譯．山西經(jīng)濟(jì)出版社，1993.

［4］郭鏡明,韓云瑞,張棟恩．美國(guó)微積分教材精粹選編[M].高等教育出版社，2012．

［責(zé)任編輯：李書培］

2.2.1 參數(shù)的動(dòng)態(tài)顯示

模擬量使用動(dòng)態(tài)棒圖顯示，當(dāng)參數(shù)超過(guò)高限或低于底限時(shí)相應(yīng)的指示燈亮同時(shí)發(fā)出聲音報(bào)警信號(hào)，開關(guān)量使用指示燈表示，紅色表示斷開，綠色表示接通。

2．2．2 通信操作部分

“接收”按鈕完成參數(shù)的手動(dòng)接收，通信操作通過(guò)下拉菜單選擇通信使用的串口號(hào)，通信狀態(tài)CD、DTR用來(lái)顯示單片機(jī)和上位機(jī)是否準(zhǔn)備就緒。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)CH341USB轉(zhuǎn)串口功能完成了USB接口標(biāo)準(zhǔn)下的數(shù)據(jù)采集，基于USB接口的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)由于具有使用簡(jiǎn)單、即插即用、開放性、高速、穩(wěn)定、可靠性高等優(yōu)點(diǎn)，因此特別適用于儀器儀表、虛擬儀器、數(shù)據(jù)采集、數(shù)據(jù)采集設(shè)備和監(jiān)控設(shè)備等場(chǎng)合。

【參考文獻(xiàn)】

［1］胡漢才.單片機(jī)原理及其接口技術(shù)[M].北京:清華大學(xué)出版社,1996.48-95.

［2］曹桂琴.數(shù)據(jù)采集基礎(chǔ)[M].大連:大連理工大學(xué)出版社,2002:39-41.

［3］葉玉明,姚伯威,彭偉.基于USB總線數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)研究[J].中國(guó)測(cè)試技術(shù)報(bào), 2003(1):7-8.

［責(zé)任編輯：李書培］

于金青（1976—），女，河北石家莊人，石家莊郵電職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，講師，研究方向?yàn)榻F(xiàn)代數(shù)學(xué)史。

鄧碩（1987—），女，河北石家莊人，河北地質(zhì)大學(xué)數(shù)理學(xué)院，助教，研究方向?yàn)榇鷶?shù)編碼理論。