趙 晨 周 寧 鄒 棟 李瑞平 張衛(wèi)華

(西南交通大學(xué)牽引動力國家重點實驗室， 成都 610031)

基于非線性多剛體受電弓模型的弓網(wǎng)仿真分析

趙 晨 周 寧 鄒 棟 李瑞平 張衛(wèi)華

(西南交通大學(xué)牽引動力國家重點實驗室， 成都 610031)

文章基于拉格朗日方程導(dǎo)出的受電弓框架微分方程，推導(dǎo)了非線性受電弓多剛體模型的弓網(wǎng)耦合動力學(xué)方程。在此基礎(chǔ)上，研究了升弓力矩以及受電弓等效歸算參數(shù)隨升弓高度的變化關(guān)系。通過采用顯式中心差分法對弓網(wǎng)耦合動力學(xué)方程進行求解，對受電弓多剛體模型與質(zhì)量歸算模型在不同速度等級下的受流質(zhì)量進行了比較。結(jié)果表明，在速度等級低的情況下采用受電弓質(zhì)量塊模型即可滿足仿真要求，但在速度等級高時更適宜采用非線性多剛體受電弓模型進行仿真分析。

弓網(wǎng)耦合； 中心差分法； 非線性多剛體模型； 歸算質(zhì)量模型

隨著高速鐵路的快速發(fā)展，作為高鐵技術(shù)研究的重要一環(huán)，弓網(wǎng)系統(tǒng)動力學(xué)的研究具有重要意義。列車通過車頂受電弓與接觸網(wǎng)的相互作用完成取流，因此研究弓網(wǎng)關(guān)系對于列車運行的穩(wěn)定性和安全性至關(guān)重要。由于鐵路環(huán)境復(fù)雜，實驗成本較高，計算機仿真已成為研究弓網(wǎng)關(guān)系的重要工具，故應(yīng)選用合理的弓網(wǎng)模型進行仿真分析。傳統(tǒng)仿真分析常常將受電弓考慮為質(zhì)量塊模型[1-3]，通過計算或測量的方法獲得受電弓各部件的歸算參數(shù)[1]。然而隨著高鐵技術(shù)的發(fā)展和弓網(wǎng)系統(tǒng)動力學(xué)研究的深入，對列車受流質(zhì)量的要求也越來越高，傳統(tǒng)質(zhì)量歸算模型越來越不能準確地反映真實的弓網(wǎng)關(guān)系，受電弓的非線性特性越來越不容忽視。在傳統(tǒng)受電弓力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，諸多學(xué)者們對受電弓非線性行為進行了研究[2-5]。梅桂明等人基于拉格朗日方程推導(dǎo)了受電弓運動微分方程，將方程在平衡位置展開，從而將受電弓模型線性化，并通過有限元軟件計算對比了受電弓非線性與線性模型的特性[6-7]。姜靜等人在此基礎(chǔ)上，分析了受電弓升弓高度對歸算參數(shù)的非線性影響，但依舊采用的是質(zhì)量歸算模型，并未對受電弓非線性方程進行求解[8]。本文重新推導(dǎo)了受電弓的非線性運動微分方程，接觸網(wǎng)采用模態(tài)疊加法求解其響應(yīng)，建立了受電弓/接觸網(wǎng)的非線性垂向耦合動力學(xué)模型。在此基礎(chǔ)上，采用中心差分法對耦合動力學(xué)方程進行求解，研究了升弓力矩隨工作高度的變化關(guān)系。最后通過確定受電弓多剛體模型在不同工作高度下的等效歸算參數(shù)，并比較了不同速度等級下非線性多剛體受電弓模型與質(zhì)量歸算模型的受流質(zhì)量，對兩種模型的適用性進行了對比分析。

1 受電弓與接觸網(wǎng)的動力學(xué)模型及運動微分方程

1.1 受電弓動力學(xué)模型及運動微分方程

實際受電弓結(jié)構(gòu)為三維空間結(jié)構(gòu)，求解起來較復(fù)雜，但如果忽略受電弓橫向運動與柔性的影響，受電弓運動軌跡可視為與列車運行方向平行的鉛垂面內(nèi)的平面運動。選定該鉛垂面為研究平面，將受電弓結(jié)構(gòu)各元件向該平面內(nèi)進行投影，并將各鉸鏈簡化為桿件。簡化后的受電弓多剛體模型，如圖1所示。

圖1 受電弓多剛體模型

圖1中，(m1，J1)，(m2，J2)，(m3，J3)分別為拉桿、下臂桿以及上臂桿的質(zhì)量和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量；l1，l2，l3分別為拉桿、下臂桿和上臂桿的長度；l4為鉸點C與D之間的距離，l5，l6，l7分別為拉桿、下臂桿和上臂桿的質(zhì)心到鉸點A，B，C之間的距離；UA，UB，UC，UD分別是鉸點A，B，C，D的阻尼；MH，KH，CH分別是弓頭的質(zhì)量、剛度和阻尼；α，My分別為升弓角和升弓力矩；ZE和ZH分別為框架頂部以及弓頭的垂向位移；e，f分別是與基座相連的兩鉸支點間垂向與橫向間距；δ為上臂桿與CD之間的夾角；Fh為弓頭與框架間的作用力；FC為弓網(wǎng)之間的接觸壓力。

1.1.1 框架運動微分方程

如圖1所示，受電弓框架部分為一四連桿結(jié)構(gòu)，有且僅有一個自由度，故可將升弓角α作為自變量，根據(jù)拉格朗日方程，有

(1)

式中：L——框架的總動能與總勢能之差；Qα——廣義力，可由虛功原理得到。

由式(1)可得：

(2)

式(2)即為受電弓框架的運動微分方程，其相關(guān)變量表達式見文獻[7]。

1.1.2 弓頭運動微分方程

利用牛頓第二定律可得到弓頭的運動微分方程

(3)

1.1.3 受電弓整體運動微分方程

根據(jù)顯式中心差分公式[9]，對受電弓弓頭位移，有

(4)

(5)

式中：α0——初始升弓角；γ0——初始升弓角α0下γ的初始值。

對升弓角使用中心差分公式，有：

(6)

(7)

(8)

1.2 接觸網(wǎng)模型及運動微分方程

本文采用直接建模法進行接觸網(wǎng)建模[10]，然后通過模態(tài)分析得到接觸網(wǎng)的模態(tài)和節(jié)點信息。鑒于接觸網(wǎng)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜不易描述性和有限元法靈活、簡潔和求解準確性高的特點，本文采用有限元法進行接觸網(wǎng)的模態(tài)分析。接觸網(wǎng)的模態(tài)分析實質(zhì)上是求解系統(tǒng)無阻尼自由振動方程：

(9)

式中：Mc、Cc、Kc——接觸網(wǎng)系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼及剛度陣；

a(t)——系統(tǒng)響應(yīng)；

Qc(t)——載荷向量。

(10)

式中：E——單位矩陣；Ω——對角矩陣，對角元素為第i階模態(tài)頻率的平方。

從而實現(xiàn)了接觸網(wǎng)運動微分方程的解耦，求解模態(tài)空間下廣義坐標(biāo)u(t)后，通過坐標(biāo)反變換即可得到系統(tǒng)響應(yīng)a(t)，為后續(xù)弓網(wǎng)耦合求解奠定了基礎(chǔ)。

1.3 受電弓與接觸網(wǎng)垂向耦合動力學(xué)模型

受電弓與接觸網(wǎng)之間通過接觸壓力形成耦合動力學(xué)系統(tǒng)，接觸壓力采用罰函數(shù)法進行模擬。當(dāng)弓與網(wǎng)發(fā)生離線時，接觸壓力為0；當(dāng)弓與網(wǎng)未離線時，接觸壓力等于接觸剛度與弓網(wǎng)位移差的乘積。通過聯(lián)立受電弓與接觸網(wǎng)運動微分方程以及接觸力計算公式，即可得到受電弓與接觸網(wǎng)垂向耦合動力學(xué)模型。

(11)

1.4 基于非線性多剛體模型弓網(wǎng)仿真的算法流程圖

基于非線性多剛體模型弓網(wǎng)仿真的算法流程，如圖2所示。

圖2 算法流程圖

2 受電弓與接觸網(wǎng)模型參數(shù)確定

2.1 受電弓與接觸網(wǎng)基本參數(shù)

受電弓與接觸網(wǎng)基本參數(shù)，如表1～表3所示。

表1 受電弓基本參數(shù)

注：Fu為靜態(tài)抬升力。

表2 接觸網(wǎng)基本參數(shù)[11]

2.2 受電弓升弓力矩確定

根據(jù)表1受電弓基本參數(shù)無法確定受電弓升弓力矩My的大小，但可以通過靜態(tài)抬升力Fu間接確定。在靜態(tài)工作情況下，受電弓升弓力矩My與升弓角α存在一一對應(yīng)的關(guān)系，根據(jù)虛功原理，由δW=0可得升弓力矩My計算公式：

表3 接觸網(wǎng)前20階固有頻率(Hz)

(12)

式中Fh0=Fu+MHg，即受電弓處于靜態(tài)時弓頭與框架相互間作用力。

受電弓升弓力矩和升弓高度隨受電弓升弓角α的變化關(guān)系圖，如圖3所示。由曲線可知，受電弓升弓高度與升弓角近似滿足線性關(guān)系，而升弓力矩隨升弓角變化不大。在升弓角為20°～60°時，升弓高度約為0.8～2.5 m，升弓力矩約為950～1 010 kN·m。

圖3 升弓力矩和升弓高度隨升弓角α變化關(guān)系圖

2.3 受電弓質(zhì)量塊模型歸算參數(shù)確定

為了對受電弓非線性多剛體模型和質(zhì)量歸算模型受流質(zhì)量進行對比，須對受電弓質(zhì)量塊模型的歸算參數(shù)進行確定。為了求解的精確性，不忽略歸算模型的非線性影響。對受電弓框架非線性運動微分方程在平衡位置進行泰勒展開，并忽略高階項的影響：

(13)

k3=l1cosα+k2l3cosγ

受電弓框架的等效歸算參數(shù)隨升弓角度的變化關(guān)系，如圖4所示，歸算質(zhì)量隨升弓角變化不大，在11.3～12.6kg之間變化。歸算阻尼和剛度變化較大，變化范圍分別為130～180Ns/m和595～765N/m。表1給出了受電弓弓頭的相關(guān)參數(shù)，那么考慮非線性影響的受電弓質(zhì)量塊模型參數(shù)都已確定，等效后的受電弓質(zhì)量歸算模型，如圖5所示。

圖4 受電弓質(zhì)量塊模型歸算參數(shù)隨升弓角α變化關(guān)系圖

3 多剛體模型與質(zhì)量塊模型動態(tài)特性比較

為了對兩種模型的適用性進行評估，在不同行車速度條件下就第二節(jié)中參數(shù)分別對多剛體模型和質(zhì)量塊模型進行弓網(wǎng)動力學(xué)仿真分析。圖6給出了行車速度100～400km/h共8個速度等級下，兩種模型接觸壓力及其標(biāo)準差的統(tǒng)計值。

圖5 受電弓質(zhì)量歸算模型

圖6 不同速度等級下兩模型接觸壓力及標(biāo)準差統(tǒng)計值

由統(tǒng)計結(jié)果可知，兩種模型接觸壓力均隨速度的提升而略有增大，且多剛體模型接觸壓力均值略大于質(zhì)量塊模型接觸壓力均值。但對于接觸壓力標(biāo)準差而言，在速度等級低的情況下，質(zhì)量塊模型和多剛體模型差別不大，當(dāng)速度超過200km/h時，多剛體模型接觸壓力標(biāo)準差明顯大于質(zhì)量塊模型接觸壓力標(biāo)準差。為更直觀地反映兩受電弓模型接觸壓力隨運行里程的變化關(guān)系，圖7給出了速度等級分別為100km/h、200km/h、300km/h和400km/h的接觸壓力里程曲線對比。

圖7更直觀地反映了兩種模型接觸壓力隨列車運行里程的變化情況，在速度為100km/h和200km/h時，兩種模型接觸壓力吻合度較高，接觸壓力均值和標(biāo)準差差別不大，當(dāng)速度超過200km/h時，兩模型接觸壓力均值和標(biāo)準差差別略增大，多剛體模型率先發(fā)生了離線。

由于濾波頻率對接觸力結(jié)果影響較大，且本文模態(tài)階數(shù)為500階，截斷頻率為31.39Hz，故對圖7中300km/h質(zhì)量塊和多剛體模型接觸力結(jié)果統(tǒng)計值分別在10Hz，20Hz和30Hz濾波以及不濾波情況下進行對比，其對比結(jié)果，如表4所示。

圖7 不同速度等級下兩種模型接觸壓力里程圖

由表4可知，對于兩種受電弓模型，在不同濾波條件下接觸力均值不變，而接觸力標(biāo)準差相差較大。當(dāng)濾波頻率低于20Hz時，接觸力標(biāo)準差受濾波頻率影響較大；當(dāng)濾波頻率高于20Hz時，接觸力標(biāo)準差受濾波頻率影響較小，當(dāng)采用30Hz濾波時，接觸力標(biāo)準差與不濾波情況已基本無異。說明無論是對于質(zhì)量塊模型還是多剛體模型，主要頻率貢獻依然來源于0～20Hz，受20Hz以上高頻成分影響不大。

表4 兩種模型不同濾波條件下接觸力統(tǒng)計值對比

為了進一步了解兩種模型的頻域特性，對時速為300 km/h工況下兩種模型進行時域頻譜分析。

圖8 時速300 km/h兩種模型頻譜分析對比圖

通過時域頻譜分析，從頻譜圖中可以明顯看到3個峰值，其頻率分別為1.39 Hz，12.8 Hz和18.6 Hz，均未超過20 Hz，且兩種模型對應(yīng)的主頻大小無異，只是貢獻稍有不同。說明了該弓網(wǎng)系統(tǒng)為一低頻系統(tǒng)，采用多剛體模型或質(zhì)量塊模型均能反映出弓網(wǎng)系統(tǒng)的低頻信息。

4 結(jié)論

本文通過拉格朗日方程推導(dǎo)了受電弓非線性多剛體模型，并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)了弓網(wǎng)非線性耦合動力學(xué)方程，根據(jù)虛功原理反推得到了受電弓升弓力矩，并研究了質(zhì)量塊模型歸算參數(shù)的非線性影響。最后采用模態(tài)疊加法和中心差分法對受電弓非線性多剛體模型和質(zhì)量歸算模型進行弓網(wǎng)動力學(xué)仿真，通過對不同速度等級下兩種模型接觸壓力里程圖和頻譜圖進行對比，發(fā)現(xiàn)：

(1)受電弓升弓高度隨升弓角呈線性變化，升弓力矩隨升弓角變化不大，受電弓質(zhì)量塊模型歸算質(zhì)量隨升弓角變化很小，但歸算剛度和歸算阻尼隨升弓角變化較大。

(2)在速度等級低的情況下兩種模型反映的弓網(wǎng)行為基本一致，使用質(zhì)量塊模型即可滿足仿真要求；但在速度等級高的情況下，雖然兩種模型反映的頻譜特性基本一致，均只能反映弓網(wǎng)系統(tǒng)的低頻信息，但使用質(zhì)量塊模型計算的接觸力結(jié)果已產(chǎn)生較大誤差，推薦使用多剛體受電弓模型進行弓網(wǎng)動力學(xué)仿真。

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Dynamic Simulation of Pantograph and Catenary System Based on Nonlinear Multi-body Pantograph Model

ZHAO Chen ZHOU Ning ZOU Dong LI Ruiping Zhang Weihua

(State Key Laboratory of Traction Power, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

Based on the differential equations of the pantograph framework derived from the Lagrange equation, the pantograph/catenary coupling dynamic equations of the nonlinear pantograph multi-body model are derived in this paper. On this basis, the relationship between the pantograph uplifting torque as well as the imputed parameters and the working heights is studied. In order to compare the current collection quality of the pantograph multi-body model and the lumped mass model at different speed grades, the explicit central difference method is used to solve the pantograph/catenary coupling dynamic equations. The results show that when the train speed is low, the lumped mass model could be able to meet the simulation requirements. However, the nonlinear pantograph multi-body model is more suitable for high speed condition.

Pantograph/Catenary coupling; Central difference method; Nonlinear multi-body model; Lumped mass model.

2016-01-19

趙晨(1991-)，男，碩士研究生。

四川省應(yīng)用基礎(chǔ)研究計劃項目(2014JY0078),國家自然科學(xué)基金項目(51475391)

1674—8247(2016)03—0001—06

U264.3+4

A